Номер 12.12, страница 99, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

12.12. Начертите единичную окружность. На линии синусов отметьте точку, значение синуса от ординаты которой равно $a$ и $-1 \leq a \leq 1$. Через эту точку проведите прямую, параллельную оси $Ox$. Найдите точки пересечения этой прямой с единичной окружностью. На чертеже отметьте углы, синус которых равен $a$, если:

1) $a = -\frac{1}{4}$;

2) $a = \frac{1}{3}$;

3) $a = -\frac{1}{4}$;

4) $a = -\frac{3}{4}$.

Для нахождения углов, синус которых равен заданному числу $a$, используется единичная окружность. Единичная окружность — это окружность с центром в начале координат и радиусом, равным 1. Ось ординат ($Oy$) называется линией синусов, так как ордината любой точки на единичной окружности равна синусу угла, образованного радиус-вектором этой точки и положительным направлением оси абсцисс ($Ox$).

Алгоритм решения:

1. Начертить единичную окружность в системе координат $xOy$.

2. На оси $Oy$ (линии синусов) отметить точку с ординатой, равной $a$.

3. Через эту точку провести горизонтальную прямую с уравнением $y=a$.

4. Найти точки пересечения этой прямой с единичной окружностью. Эти точки и будут соответствовать искомым углам.

5. Записать значения углов. Если прямая $y=a$ пересекает окружность в двух точках, то им соответствуют два угла на промежутке $[0, 2\pi)$: $\alpha_1 = \arcsin(a)$ и $\alpha_2 = \pi - \arcsin(a)$. Все множество углов описывается общей формулой.

1) a = 1/4

На оси $Oy$ отмечаем точку со значением $y = \frac{1}{4}$. Проводим через нее горизонтальную прямую $y=\frac{1}{4}$. Эта прямая пересекает единичную окружность в двух точках, симметричных относительно оси $Oy$. Одна точка находится в I координатной четверти, ей соответствует угол $\alpha_1 = \arcsin(\frac{1}{4})$. Вторая точка находится во II координатной четверти, ей соответствует угол $\alpha_2 = \pi - \arcsin(\frac{1}{4})$. На чертеже эти углы отсчитываются от положительного направления оси $Ox$ против часовой стрелки до радиус-векторов, проведенных в эти точки.

Все углы $x$, для которых $\sin(x) = \frac{1}{4}$, находятся по формуле:

$x = (-1)^n \arcsin(\frac{1}{4}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Углы, соответствующие точкам пересечения прямой $y = \frac{1}{4}$ с единичной окружностью. В общем виде: $x = (-1)^n \arcsin(\frac{1}{4}) + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

2) a = 1/3

На оси $Oy$ отмечаем точку со значением $y = \frac{1}{3}$. Проводим горизонтальную прямую $y=\frac{1}{3}$. Прямая пересекает единичную окружность в двух точках: в I и II четвертях. Угол в I четверти равен $\alpha_1 = \arcsin(\frac{1}{3})$. Угол во II четверти равен $\alpha_2 = \pi - \arcsin(\frac{1}{3})$.

Все углы $x$, для которых $\sin(x) = \frac{1}{3}$, находятся по формуле:

$x = (-1)^n \arcsin(\frac{1}{3}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Углы, соответствующие точкам пересечения прямой $y = \frac{1}{3}$ с единичной окружностью. В общем виде: $x = (-1)^n \arcsin(\frac{1}{3}) + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

3) a = -1/4

На оси $Oy$ отмечаем точку со значением $y = -\frac{1}{4}$. Проводим горизонтальную прямую $y=-\frac{1}{4}$. Эта прямая пересекает единичную окружность в двух точках, расположенных в III и IV координатных четвертях. Угол в IV четверти равен $\alpha_1 = \arcsin(-\frac{1}{4}) = -\arcsin(\frac{1}{4})$. Угол в III четверти равен $\alpha_2 = \pi - \arcsin(-\frac{1}{4}) = \pi + \arcsin(\frac{1}{4})$. На чертеже угол $\alpha_1$ отсчитывается по часовой стрелке, а $\alpha_2$ — против часовой стрелки.

Все углы $x$, для которых $\sin(x) = -\frac{1}{4}$, находятся по формуле:

$x = (-1)^n \arcsin(-\frac{1}{4}) + \pi n = (-1)^{n+1} \arcsin(\frac{1}{4}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Углы, соответствующие точкам пересечения прямой $y = -\frac{1}{4}$ с единичной окружностью. В общем виде: $x = (-1)^{n+1} \arcsin(\frac{1}{4}) + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

4) a = -3/4

На оси $Oy$ отмечаем точку со значением $y = -\frac{3}{4}$. Проводим горизонтальную прямую $y=-\frac{3}{4}$. Прямая пересекает единичную окружность в двух точках: в III и IV четвертях. Угол в IV четверти равен $\alpha_1 = \arcsin(-\frac{3}{4}) = -\arcsin(\frac{3}{4})$. Угол в III четверти равен $\alpha_2 = \pi - \arcsin(-\frac{3}{4}) = \pi + \arcsin(\frac{3}{4})$.

Все углы $x$, для которых $\sin(x) = -\frac{3}{4}$, находятся по формуле:

$x = (-1)^n \arcsin(-\frac{3}{4}) + \pi n = (-1)^{n+1} \arcsin(\frac{3}{4}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Углы, соответствующие точкам пересечения прямой $y = -\frac{3}{4}$ с единичной окружностью. В общем виде: $x = (-1)^{n+1} \arcsin(\frac{3}{4}) + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.