Номер 12.5, страница 98, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

12.5. Найдите наименьший положительный период функции:

1) $y = 2\cos2x;$

2) $y = \cos4x \cos x + \sin x \sin4x;$

3) $y = \frac{2}{3}\cos2x + 1;$

4) $y = 2 - \cos4x;$

5) $y = \cos4x \cos3x - \sin3x \sin4x;$

6) $y = \sin x - \cos3x.$

1) Дана функция $y = 2\cos(2x)$. Наименьший положительный период функции $f(x) = \cos(x)$ равен $T_0 = 2\pi$. Для функции вида $y = A\cos(kx+b)+C$ наименьший положительный период $T$ находится по формуле $T = \frac{T_0}{|k|}$. В данном случае $k=2$. Следовательно, период $T = \frac{2\pi}{|2|} = \pi$.

Ответ: $\pi$.

2) Упростим данную функцию, используя формулу косинуса разности: $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$. В нашем случае, $y = \cos(4x)\cos(x) + \sin(x)\sin(4x) = \cos(4x - x) = \cos(3x)$. Это функция вида $y = \cos(kx)$ с $k=3$. Наименьший положительный период функции $\cos(x)$ равен $2\pi$. Период данной функции равен $T = \frac{2\pi}{|k|} = \frac{2\pi}{3}$.

Ответ: $\frac{2\pi}{3}$.

3) Дана функция $y = \frac{2}{3}\cos(2x) + 1$. Это функция вида $y = A\cos(kx)+C$. Сдвиг по оси ординат на 1 и умножение на коэффициент $\frac{2}{3}$ не влияют на период. Период определяется частью $\cos(2x)$. Наименьший положительный период функции $\cos(x)$ равен $2\pi$. Для нашей функции с $k=2$ период равен $T = \frac{2\pi}{|2|} = \pi$.

Ответ: $\pi$.

4) Дана функция $y = 2 - \cos(4x)$. Это функция вида $y = C + A\cos(kx)$. Константа 2 и коэффициент -1 перед косинусом не влияют на период. Период определяется частью $\cos(4x)$. Наименьший положительный период функции $\cos(x)$ равен $2\pi$. Для нашей функции с $k=4$ период равен $T = \frac{2\pi}{|4|} = \frac{\pi}{2}$.

Ответ: $\frac{\pi}{2}$.

5) Упростим данную функцию, используя формулу косинуса суммы: $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$. В нашем случае, $y = \cos(4x)\cos(3x) - \sin(3x)\sin(4x) = \cos(4x + 3x) = \cos(7x)$. Это функция вида $y = \cos(kx)$ с $k=7$. Наименьший положительный период функции $\cos(x)$ равен $2\pi$. Период данной функции равен $T = \frac{2\pi}{|k|} = \frac{2\pi}{7}$.

Ответ: $\frac{2\pi}{7}$.

6) Дана функция $y = \sin(x) - \cos(3x)$, которая является суммой двух периодических функций: $f_1(x) = \sin(x)$ и $f_2(x) = -\cos(3x)$. Найдем наименьшие положительные периоды для каждой из них. Для $f_1(x) = \sin(x)$, период $T_1 = 2\pi$. Для $f_2(x) = -\cos(3x)$, период $T_2 = \frac{2\pi}{|3|} = \frac{2\pi}{3}$. Наименьший положительный период исходной функции равен наименьшему общему кратному (НОК) периодов $T_1$ и $T_2$. $T = \text{НОК}(T_1, T_2) = \text{НОК}(2\pi, \frac{2\pi}{3})$. Чтобы найти НОК, найдем наименьшие натуральные числа $n_1$ и $n_2$ такие, что $T = n_1 T_1 = n_2 T_2$. Из равенства $n_1(2\pi) = n_2(\frac{2\pi}{3})$ получаем $n_1 = \frac{n_2}{3}$. Наименьшие натуральные значения, удовлетворяющие этому равенству, это $n_2 = 3$ и $n_1 = 1$. Тогда наименьший период $T = 1 \cdot T_1 = 2\pi$ (проверка: $T = 3 \cdot T_2 = 3 \cdot \frac{2\pi}{3} = 2\pi$).

Ответ: $2\pi$.