Задания, страница 96, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Докажите, что промежутки $[2\pi n; \pi+2\pi n]$, где $n$ — целое число, являются промежутками убывания функции $y = \cos x$.

Для доказательства того, что функция $y = \cos x$ убывает на промежутках $[2\pi n; \pi + 2\pi n]$, где $n$ — целое число ($n \in \mathbb{Z}$), мы воспользуемся производной. Функция является убывающей на интервале, если её производная на этом интервале неположительна ($f'(x) \le 0$) и равна нулю лишь в конечном числе точек.

1. Найдём производную функции.

Производная функции $y = \cos x$ находится по известной формуле:

$y' = (\cos x)' = -\sin x$.

2. Определим условие убывания функции.

Функция $y = \cos x$ убывает, когда её производная $y' \le 0$.

Подставим найденную производную в это неравенство:

$-\sin x \le 0$.

Умножив обе части неравенства на -1 и изменив знак неравенства на противоположный, получим:

$\sin x \ge 0$.

3. Решим полученное тригонометрическое неравенство.

Неравенство $\sin x \ge 0$ справедливо для тех значений угла $x$, при которых ордината точки на единичной окружности неотрицательна. Это соответствует углам, находящимся в I и II координатных четвертях, включая границы.

На основном промежутке длиной $2\pi$ решением является отрезок $[0; \pi]$.

4. Учтём периодичность функции синуса.

Период функции $y = \sin x$ равен $2\pi$. Поэтому, чтобы найти все решения неравенства $\sin x \ge 0$, нужно к границам найденного отрезка $[0; \pi]$ прибавить $2\pi n$, где $n$ — любое целое число.

Таким образом, общее решение неравенства имеет вид:

$x \in [0 + 2\pi n; \pi + 2\pi n]$, или $x \in [2\pi n; \pi + 2\pi n]$.

Вывод:

Мы показали, что на промежутках $[2\pi n; \pi + 2\pi n]$ производная функции $y = \cos x$ удовлетворяет условию $y' = -\sin x \le 0$. При этом производная обращается в ноль только в граничных точках $x = 2\pi n$ и $x = \pi + 2\pi n$. Следовательно, функция $y = \cos x$ является убывающей на каждом из промежутков вида $[2\pi n; \pi + 2\pi n]$, где $n \in \mathbb{Z}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Поскольку производная функции $y = \cos x$, равная $y' = -\sin x$, является неположительной ($y' \le 0$) на всех промежутках вида $[2\pi n; \pi + 2\pi n]$, где $n$ - целое число, то функция на этих промежутках является убывающей.