Вопросы, страница 98, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Какие координаты будут у точки $F_1$, соответствующей точке $F(\pi; -1)$, если известно, что она получена в результате:

1) растяжения графика функции $y = \cos x$ вдоль оси $Oy$ в 4 раза;

2) сжатия графика функции $y = \cos x$ вдоль оси $Oy$ в 3 раза?

2. Сравните периоды функций $y = \cos \left(x - \frac{\pi}{4}\right)$, $y = \cos 2x$ и $y = \cos x$, если они заданы на всей области их определения (используйте рисунки 12.4 и 12.5).

1. Исходная точка $F$ имеет координаты $(\pi; -1)$. Проверим, что она принадлежит графику функции $y = \cos x$. Подставим координаты точки в уравнение функции: $-1 = \cos(\pi)$. Это верное равенство.

При преобразованиях растяжения или сжатия графика вдоль оси $Oy$ (вертикальной оси), абсцисса (координата $x$) точки не изменяется, а изменяется только ее ордината (координата $y$).

1) растяжения графика функции $y = \cos x$ вдоль оси Oy в 4 раза

При растяжении графика функции вдоль оси $Oy$ в $k$ раз ($k>1$), новая функция имеет вид $y_1 = k \cdot \cos x$. Ордината каждой точки графика умножается на коэффициент растяжения $k$. В данном случае $k=4$.

Новая точка $F_1$ будет иметь координаты:

$x_1 = \pi$ (абсцисса не меняется)

$y_1 = -1 \cdot 4 = -4$

Таким образом, координаты точки $F_1$ равны $(\pi; -4)$.

Ответ: $(\pi; -4)$.

2) сжатия графика функции $y = \cos x$ вдоль оси Oy в 3 раза

При сжатии графика функции вдоль оси $Oy$ в $m$ раз ($m>1$), новая функция имеет вид $y_2 = \frac{1}{m} \cos x$. Ордината каждой точки графика делится на коэффициент сжатия $m$ (или умножается на $\frac{1}{m}$). В данном случае $m=3$.

Новая точка $F_1$ будет иметь координаты:

$x_1 = \pi$ (абсцисса не меняется)

$y_1 = -1 \cdot \frac{1}{3} = -\frac{1}{3}$

Таким образом, координаты точки $F_1$ равны $(\pi; -\frac{1}{3})$.

Ответ: $(\pi; -\frac{1}{3})$.

2. Для сравнения периодов функций $y = \cos(x - \frac{\pi}{4})$, $y = \cos(2x)$ и $y = \cos x$ найдем основной период каждой из них. Основной период функции, заданной формулой вида $y = A\cos(k(x-b))+C$, вычисляется по формуле $T = \frac{T_0}{|k|}$, где $T_0$ - основной период базовой функции. Для функции $y = \cos x$ основной период $T_0 = 2\pi$.

1. Для функции $y = \cos x$.

Это базовая функция. Коэффициент при $x$ равен $k=1$. Ее основной период равен $T_1 = \frac{2\pi}{|1|} = 2\pi$.

2. Для функции $y = \cos(x - \frac{\pi}{4})$.

Эта функция получена из $y = \cos x$ сдвигом вдоль оси $Ox$ на $\frac{\pi}{4}$ вправо. Такой сдвиг (изменение фазы) не изменяет период функции. Коэффициент при $x$ здесь также $k=1$.

Следовательно, ее период $T_2 = \frac{2\pi}{|1|} = 2\pi$.

3. Для функции $y = \cos(2x)$.

Эта функция получена из $y = \cos x$ сжатием вдоль оси $Ox$ в 2 раза. Коэффициент при $x$ здесь $k=2$.

Ее период $T_3 = \frac{2\pi}{|2|} = \pi$.

Сравнивая полученные периоды, мы видим, что периоды функций $y = \cos x$ и $y = \cos(x - \frac{\pi}{4})$ равны ($2\pi$), а период функции $y = \cos(2x)$ ($\pi$) в два раза меньше.

Ответ: Периоды функций $y = \cos x$ и $y = \cos(x - \frac{\pi}{4})$ равны $2\pi$. Период функции $y = \cos(2x)$ равен $\pi$. Периоды первых двух функций равны между собой и в два раза больше периода третьей функции.