Номер 12.6, страница 98, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

12.6. Найдите наименьший положительный период и постройте график функции:

1) $y = \cos 3x$;

2) $y = \cos 3x \cos 2x + \sin 2x \sin 3x$;

3) $y = \cos \frac{1}{3}x + 1$.

1) Для функции $y = \cos(3x)$.

Нахождение наименьшего положительного периода:

Стандартный наименьший положительный период функции $y = \cos(x)$ равен $T_0 = 2\pi$. Для функции вида $y = A \cos(kx+b)+C$ период находится по формуле $T = \frac{T_0}{|k|}$. В нашем случае коэффициент $k = 3$.

Таким образом, период функции $y = \cos(3x)$ равен $T = \frac{2\pi}{|3|} = \frac{2\pi}{3}$.

Построение графика:

График функции $y = \cos(3x)$ получается из графика стандартной функции $y = \cos(x)$ путем его сжатия вдоль оси абсцисс (оси $Ox$) в 3 раза. Амплитуда функции остается равной 1, а область значений функции: $[-1, 1]$.

Найдем ключевые точки для одного периода $[0, \frac{2\pi}{3}]$:

- Начало периода (максимум): при $x=0$, $y = \cos(0) = 1$. Точка $(0, 1)$.

- Четверть периода (пересечение с осью $Ox$): при $x = \frac{\pi}{6}$, $y = \cos(3 \cdot \frac{\pi}{6}) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$. Точка $(\frac{\pi}{6}, 0)$.

- Половина периода (минимум): при $x = \frac{\pi}{3}$, $y = \cos(3 \cdot \frac{\pi}{3}) = \cos(\pi) = -1$. Точка $(\frac{\pi}{3}, -1)$.

- Три четверти периода (пересечение с осью $Ox$): при $x = \frac{\pi}{2}$, $y = \cos(3 \cdot \frac{\pi}{2}) = 0$. Точка $(\frac{\pi}{2}, 0)$.

- Конец периода (максимум): при $x = \frac{2\pi}{3}$, $y = \cos(3 \cdot \frac{2\pi}{3}) = \cos(2\pi) = 1$. Точка $(\frac{2\pi}{3}, 1)$.

Соединив эти точки плавной кривой (косинусоидой), получим график функции на одном периоде. Далее график периодически повторяется с периодом $\frac{2\pi}{3}$.

Ответ: наименьший положительный период $T = \frac{2\pi}{3}$. График представляет собой косинусоиду, сжатую в 3 раза вдоль оси $Ox$.

2) Для функции $y = \cos(3x)\cos(2x) + \sin(2x)\sin(3x)$.

Упрощение выражения:

Для упрощения данной функции воспользуемся тригонометрической формулой косинуса разности двух углов: $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta$.

В нашем выражении положим $\alpha = 3x$ и $\beta = 2x$.

Тогда функция принимает вид: $y = \cos(3x - 2x) = \cos(x)$.

Нахождение наименьшего положительного периода:

После упрощения мы получили функцию $y = \cos(x)$. Это стандартная функция косинуса, ее наименьший положительный период равен $T = 2\pi$.

Построение графика:

График функции $y = \cos(x)$ является стандартной косинусоидой.

Амплитуда функции равна 1, область значений $[-1, 1]$.

Ключевые точки для одного периода $[0, 2\pi]$:

- Максимумы: $(0, 1)$ и $(2\pi, 1)$.

- Пересечения с осью $Ox$: $(\frac{\pi}{2}, 0)$ и $(\frac{3\pi}{2}, 0)$.

- Минимум: $(\pi, -1)$.

График представляет собой волну, которая начинается в точке $(0, 1)$, опускается до минимума в точке $(\pi, -1)$ и возвращается к максимуму в точке $(2\pi, 1)$.

Ответ: наименьший положительный период $T = 2\pi$. График является стандартной косинусоидой $y=\cos(x)$.

3) Для функции $y = \cos(\frac{1}{3}x) + 1$.

Нахождение наименьшего положительного периода:

Период функции вида $y = A \cos(kx+b)+C$ находится по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$. В данном случае коэффициент $k = \frac{1}{3}$.

Следовательно, период равен $T = \frac{2\pi}{|\frac{1}{3}|} = 2\pi \cdot 3 = 6\pi$.

Построение графика:

График функции $y = \cos(\frac{1}{3}x) + 1$ получается из графика $y = \cos(x)$ с помощью двух последовательных преобразований:

1. Растяжение графика вдоль оси абсцисс (оси $Ox$) в 3 раза. Это преобразование дает функцию $y = \cos(\frac{1}{3}x)$, ее период становится $6\pi$.

2. Сдвиг полученного графика вверх на 1 единицу вдоль оси ординат (оси $Oy$).

В результате этих преобразований, средняя линия графика смещается и становится прямой $y=1$. Амплитуда остается равной 1. Таким образом, значения функции будут колебаться от $1-1=0$ до $1+1=2$. Область значений: $[0, 2]$.

Найдем ключевые точки для одного периода $[0, 6\pi]$:

- Начало периода (максимум): при $x=0$, $y = \cos(0) + 1 = 1 + 1 = 2$. Точка $(0, 2)$.

- Четверть периода (пересечение со средней линией): при $x = \frac{3\pi}{2}$, $y = \cos(\frac{1}{3} \cdot \frac{3\pi}{2}) + 1 = \cos(\frac{\pi}{2}) + 1 = 0 + 1 = 1$. Точка $(\frac{3\pi}{2}, 1)$.

- Половина периода (минимум): при $x = 3\pi$, $y = \cos(\frac{1}{3} \cdot 3\pi) + 1 = \cos(\pi) + 1 = -1 + 1 = 0$. Точка $(3\pi, 0)$.

- Три четверти периода (пересечение со средней линией): при $x = \frac{9\pi}{2}$, $y = \cos(\frac{1}{3} \cdot \frac{9\pi}{2}) + 1 = \cos(\frac{3\pi}{2}) + 1 = 0 + 1 = 1$. Точка $(\frac{9\pi}{2}, 1)$.

- Конец периода (максимум): при $x = 6\pi$, $y = \cos(\frac{1}{3} \cdot 6\pi) + 1 = \cos(2\pi) + 1 = 1 + 1 = 2$. Точка $(6\pi, 2)$.

Ответ: наименьший положительный период $T = 6\pi$. График — косинусоида, растянутая в 3 раза вдоль оси $Ox$ и сдвинутая на 1 единицу вверх. Область значений $[0, 2]$.