Номер 12.3, страница 98, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

12.3. Докажите, что является нечетной функция $y = f(x):$

1) $f(x) = x^3\cos x;$

2) $f(x) = x^5\cos^2 x;$

3) $f(x) = x\cos^3 x + x;$

4) $f(x) = \cos x \cdot \sin 3x;$

5) $f(x) = \frac{\sin x \cos x}{x^4 - 4};$

6) $f(x) = \frac{\sin 6x}{\cos^2 x - 9}.$

Функция $y = f(x)$ называется нечетной, если для любого $x$ из ее области определения $D(f)$ выполняются два условия:

1. Область определения функции симметрична относительно начала координат (то есть, если $x \in D(f)$, то и $-x \in D(f)$).

2. Для любого $x \in D(f)$ выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

Проверим каждую из заданных функций на соответствие этому определению.

1) $f(x) = x^3\cos x$

Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$, так как функции $x^3$ и $\cos x$ определены для всех действительных чисел. Эта область симметрична относительно нуля.

Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = (-x)^3 \cos(-x)$

Используем свойства степенной функции с нечетным показателем $((-a)^n = -a^n$ для нечетного $n$) и четности функции косинус ($\cos(-x) = \cos x$):

$f(-x) = (-x^3)(\cos x) = -x^3\cos x$

Сравнивая полученное выражение с исходной функцией, видим, что $f(-x) = -f(x)$.

Оба условия выполнены, следовательно, функция является нечетной.

Ответ: Функция является нечетной, что и требовалось доказать.

2) $f(x) = x^5\cos^2 x$

Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$, она симметрична относительно нуля.

Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = (-x)^5 \cos^2(-x)$

Так как степень 5 нечетная, $(-x)^5 = -x^5$. Функция $\cos^2 x = (\cos x)^2$ является четной, так как $\cos(-x) = \cos x$, и значит $\cos^2(-x) = (\cos(-x))^2 = (\cos x)^2 = \cos^2 x$.

$f(-x) = (-x^5)(\cos^2 x) = -x^5\cos^2 x$

Таким образом, $f(-x) = -f(x)$.

Функция является нечетной.

Ответ: Функция является нечетной, что и требовалось доказать.

3) $f(x) = x\cos^3 x + x$

Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$, она симметрична относительно нуля.

Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = (-x)\cos^3(-x) + (-x)$

Функция $\cos^3 x$ является четной, так как $\cos^3(-x) = (\cos(-x))^3 = (\cos x)^3 = \cos^3 x$.

$f(-x) = -x\cos^3 x - x = -(x\cos^3 x + x)$

Следовательно, $f(-x) = -f(x)$.

Функция является нечетной (как сумма двух нечетных функций $g(x) = x\cos^3 x$ и $h(x) = x$).

Ответ: Функция является нечетной, что и требовалось доказать.

4) $f(x) = \cos x \cdot \sin(3x)$

Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$, она симметрична относительно нуля.

Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = \cos(-x) \cdot \sin(3(-x))$

Используем четность косинуса ($\cos(-x) = \cos x$) и нечетность синуса ($\sin(-u) = -\sin u$):

$f(-x) = \cos x \cdot \sin(-3x) = \cos x \cdot (-\sin(3x)) = -\cos x \sin(3x)$

Таким образом, $f(-x) = -f(x)$.

Функция является нечетной (как произведение четной функции $\cos x$ и нечетной функции $\sin(3x)$).

Ответ: Функция является нечетной, что и требовалось доказать.

5) $f(x) = \frac{\sin x \cos x}{x^4 - 4}$

Найдем область определения. Знаменатель не должен быть равен нулю: $x^4 - 4 \ne 0 \implies x^4 \ne 4 \implies x \ne \pm\sqrt{2}$.

Область определения $D(f) = (-\infty; -\sqrt{2}) \cup (-\sqrt{2}; \sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}; +\infty)$. Эта область симметрична относительно нуля.

Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = \frac{\sin(-x) \cos(-x)}{(-x)^4 - 4}$

Преобразуем числитель: $\sin(-x) \cos(-x) = (-\sin x)(\cos x) = -\sin x \cos x$.

Преобразуем знаменатель: $(-x)^4 - 4 = x^4 - 4$.

$f(-x) = \frac{-\sin x \cos x}{x^4 - 4} = - \frac{\sin x \cos x}{x^4 - 4}$

Следовательно, $f(-x) = -f(x)$.

Функция является нечетной.

Ответ: Функция является нечетной, что и требовалось доказать.

6) $f(x) = \frac{\sin(6x)}{\cos(x^2) - 9}$

Найдем область определения. Знаменатель $\cos(x^2) - 9 \ne 0$. Так как $-1 \le \cos(x^2) \le 1$, то $\cos(x^2)$ никогда не равно 9. Знаменатель не равен нулю ни при каких $x$.

Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$, она симметрична относительно нуля.

Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = \frac{\sin(6(-x))}{\cos((-x)^2) - 9}$

Преобразуем числитель: $\sin(6(-x)) = \sin(-6x) = -\sin(6x)$.

Преобразуем знаменатель: $\cos((-x)^2) - 9 = \cos(x^2) - 9$.

$f(-x) = \frac{-\sin(6x)}{\cos(x^2) - 9} = - \frac{\sin(6x)}{\cos(x^2) - 9}$

Таким образом, $f(-x) = -f(x)$.

Функция является нечетной.

Ответ: Функция является нечетной, что и требовалось доказать.