Номер 11.19, страница 94, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

11.19. Упростите выражение:

1) $ \text{tg}\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) \cdot \text{ctg}(4\pi - \alpha) \cdot \text{cos}\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) \cdot \text{tg}(4\pi + \alpha); $

2) $ \left(\frac{\sin5\alpha - \sin3\alpha}{\cos5\alpha - \cos3\alpha}\right). $

1) Упростим выражение $tg(\frac{3\pi}{2} - \alpha) \cdot ctg(4\pi - \alpha) \cdot \cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) \cdot tg(4\pi + \alpha)$, используя формулы приведения.

Рассмотрим каждый множитель по отдельности:

1. $tg(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = ctg(\alpha)$. Так как в аргументе стоит $\frac{3\pi}{2}$, функция меняется на кофункцию (тангенс на котангенс). Угол $(\frac{3\pi}{2} - \alpha)$ находится в III четверти, где тангенс положителен.

2. $ctg(4\pi - \alpha) = ctg(-\alpha) = -ctg(\alpha)$. Период котангенса равен $\pi$, поэтому $4\pi$ (целое число периодов) можно отбросить. Котангенс является нечетной функцией.

3. $\cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = \sin(\alpha)$. Так как в аргументе стоит $\frac{3\pi}{2}$, функция меняется на кофункцию (косинус на синус). Угол $(\frac{3\pi}{2} + \alpha)$ находится в IV четверти, где косинус положителен.

4. $tg(4\pi + \alpha) = tg(\alpha)$. Период тангенса равен $\pi$, поэтому $4\pi$ можно отбросить.

Теперь подставим упрощенные выражения в исходное произведение:

$ctg(\alpha) \cdot (-ctg(\alpha)) \cdot \sin(\alpha) \cdot tg(\alpha)$

Зная, что $tg(\alpha) \cdot ctg(\alpha) = 1$, мы можем упростить выражение:

$ctg(\alpha) \cdot (-ctg(\alpha)) \cdot \sin(\alpha) \cdot \frac{1}{ctg(\alpha)} = -ctg(\alpha) \cdot \sin(\alpha)$

Теперь заменим $ctg(\alpha)$ на $\frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}$:

$-\frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} \cdot \sin(\alpha) = -\cos(\alpha)$

Ответ: $-\cos(\alpha)$

2) Упростим выражение $\frac{\sin(5\alpha) - \sin(3\alpha)}{\cos(5\alpha) - \cos(3\alpha)}$.

Для этого воспользуемся формулами преобразования разности тригонометрических функций в произведение:

Разность синусов: $\sin(x) - \sin(y) = 2\sin(\frac{x-y}{2})\cos(\frac{x+y}{2})$

Разность косинусов: $\cos(x) - \cos(y) = -2\sin(\frac{x-y}{2})\sin(\frac{x+y}{2})$

Применим эти формулы к числителю и знаменателю дроби.

Числитель: $\sin(5\alpha) - \sin(3\alpha) = 2\sin(\frac{5\alpha - 3\alpha}{2})\cos(\frac{5\alpha + 3\alpha}{2}) = 2\sin(\frac{2\alpha}{2})\cos(\frac{8\alpha}{2}) = 2\sin(\alpha)\cos(4\alpha)$.

Знаменатель: $\cos(5\alpha) - \cos(3\alpha) = -2\sin(\frac{5\alpha - 3\alpha}{2})\sin(\frac{5\alpha + 3\alpha}{2}) = -2\sin(\frac{2\alpha}{2})\sin(\frac{8\alpha}{2}) = -2\sin(\alpha)\sin(4\alpha)$.

Теперь подставим полученные выражения обратно в дробь:

$\frac{2\sin(\alpha)\cos(4\alpha)}{-2\sin(\alpha)\sin(4\alpha)}$

Сократим общие множители $2$ и $\sin(\alpha)$ (при условии, что $\sin(\alpha) \neq 0$):

$\frac{\cos(4\alpha)}{-\sin(4\alpha)} = -\frac{\cos(4\alpha)}{\sin(4\alpha)} = -ctg(4\alpha)$

Ответ: $-ctg(4\alpha)$