Номер 11.15, страница 94, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

11.15. Исследуйте на четность, найдите промежутки убывания и множество значений функции:

1) $y = 3 + 2\sin2x$;

2) $y = -2\sin(3x - 2)$;

3) $y = 4 - 2\sin(2x + 4)$.

1) Исследуем функцию $y = 3 + 2\sin(2x)$.

Исследование на четность.

Область определения функции $D(y) = (-\infty; +\infty)$, симметрична относительно нуля.Найдем $y(-x)$:

$y(-x) = 3 + 2\sin(2(-x)) = 3 + 2\sin(-2x) = 3 - 2\sin(2x)$.

Поскольку $y(-x) \neq y(x)$ (например, при $x=\frac{\pi}{4}$, $y(x)=5$, а $y(-x)=1$) и $y(-x) \neq -y(x) = -3 - 2\sin(2x)$, функция не является ни четной, ни нечетной. Это функция общего вида.

Промежутки убывания.

Найдем производную функции: $y' = (3 + 2\sin(2x))' = 2\cos(2x) \cdot (2x)' = 4\cos(2x)$.

Функция убывает, когда ее производная неположительна, то есть $y' \le 0$.

$4\cos(2x) \le 0 \implies \cos(2x) \le 0$.

Это неравенство выполняется, когда аргумент косинуса $2x$ находится в промежутке $[\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{3\pi}{2} + 2\pi n]$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$\frac{\pi}{2} + 2\pi n \le 2x \le \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$

Разделив все части на 2, получим промежутки для $x$:

$\frac{\pi}{4} + \pi n \le x \le \frac{3\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Множество значений.

Значения функции $\sin(t)$ лежат в отрезке $[-1, 1]$, поэтому $-1 \le \sin(2x) \le 1$.

Умножим неравенство на 2: $-2 \le 2\sin(2x) \le 2$.

Прибавим 3 ко всем частям: $3 - 2 \le 3 + 2\sin(2x) \le 3 + 2$.

Получаем $1 \le y \le 5$.

Множество значений функции $E(y) = [1; 5]$.

Ответ: функция общего вида; промежутки убывания $[\frac{\pi}{4} + \pi n, \frac{3\pi}{4} + \pi n]$, $n \in \mathbb{Z}$; множество значений $[1; 5]$.

2) Исследуем функцию $y = -2\sin(3x - 2)$.

Исследование на четность.

Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$, симметрична относительно нуля.Найдем $y(-x)$:

$y(-x) = -2\sin(3(-x) - 2) = -2\sin(-3x - 2) = -2\sin(-(3x + 2)) = 2\sin(3x + 2)$.

Поскольку $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x) = 2\sin(3x - 2)$, функция является функцией общего вида.

Промежутки убывания.

Найдем производную: $y' = (-2\sin(3x - 2))' = -2\cos(3x - 2) \cdot (3x - 2)' = -6\cos(3x - 2)$.

Функция убывает при $y' \le 0$:

$-6\cos(3x - 2) \le 0 \implies \cos(3x - 2) \ge 0$.

Это неравенство выполняется, когда аргумент косинуса $3x - 2$ находится в промежутке $[-\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{\pi}{2} + 2\pi n]$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$-\frac{\pi}{2} + 2\pi n \le 3x - 2 \le \frac{\pi}{2} + 2\pi n$

Прибавим 2 ко всем частям: $2 - \frac{\pi}{2} + 2\pi n \le 3x \le 2 + \frac{\pi}{2} + 2\pi n$.

Разделим на 3: $\frac{2}{3} - \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3} \le x \le \frac{2}{3} + \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Множество значений.

Так как $-1 \le \sin(3x - 2) \le 1$, умножим на -2 (при этом знаки неравенства меняются):

$2 \ge -2\sin(3x - 2) \ge -2$.

То есть, $-2 \le y \le 2$.

Множество значений функции $E(y) = [-2; 2]$.

Ответ: функция общего вида; промежутки убывания $[\frac{2}{3} - \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}, \frac{2}{3} + \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}]$, $n \in \mathbb{Z}$; множество значений $[-2; 2]$.

3) Исследуем функцию $y = 4 - 2\sin(2x + 4)$.

Исследование на четность.

Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$, симметрична относительно нуля.Найдем $y(-x)$:

$y(-x) = 4 - 2\sin(2(-x) + 4) = 4 - 2\sin(-2x + 4) = 4 - 2\sin(-(2x - 4)) = 4 + 2\sin(2x - 4)$.

Поскольку $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x) = -4 + 2\sin(2x + 4)$, функция является функцией общего вида.

Промежутки убывания.

Найдем производную: $y' = (4 - 2\sin(2x + 4))' = -2\cos(2x + 4) \cdot (2x + 4)' = -4\cos(2x + 4)$.

Функция убывает при $y' \le 0$:

$-4\cos(2x + 4) \le 0 \implies \cos(2x + 4) \ge 0$.

Это неравенство выполняется, когда $2x + 4$ находится в промежутке $[-\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{\pi}{2} + 2\pi n]$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$-\frac{\pi}{2} + 2\pi n \le 2x + 4 \le \frac{\pi}{2} + 2\pi n$

Вычтем 4 из всех частей: $-4 - \frac{\pi}{2} + 2\pi n \le 2x \le -4 + \frac{\pi}{2} + 2\pi n$.

Разделим на 2: $-2 - \frac{\pi}{4} + \pi n \le x \le -2 + \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Множество значений.

Так как $-1 \le \sin(2x + 4) \le 1$, умножим на -2:

$2 \ge -2\sin(2x + 4) \ge -2$.

Прибавим 4 ко всем частям: $4 + 2 \ge 4 - 2\sin(2x + 4) \ge 4 - 2$.

$6 \ge y \ge 2$.

Множество значений функции $E(y) = [2; 6]$.

Ответ: функция общего вида; промежутки убывания $[-2 - \frac{\pi}{4} + \pi n, -2 + \frac{\pi}{4} + \pi n]$, $n \in \mathbb{Z}$; множество значений $[2; 6]$.