Номер 11.12, страница 93, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

11.12. Постройте согласно алгоритму график функции:

1) $y = 2\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$;

2) $y = 2 + \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$;

3) $y = \sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right)$.

1) Для построения графика функции $y = 2\sin(x - \frac{\pi}{4})$ будем использовать последовательные преобразования графика базовой функции $y = \sin(x)$.

Алгоритм построения:

1. Строим график функции $y_1 = \sin(x)$. Это стандартная синусоида с периодом $2\pi$ и амплитудой 1. Ключевые точки на одном периоде: $(0, 0), (\frac{\pi}{2}, 1), (\pi, 0), (\frac{3\pi}{2}, -1), (2\pi, 0)$.

2. Строим график функции $y_2 = 2\sin(x)$. Для этого растягиваем график $y_1 = \sin(x)$ от оси Ox в 2 раза (вертикальное растяжение). Амплитуда функции увеличивается до 2. Область значений становится $[-2, 2]$. Ключевые точки преобразуются в $(0, 0), (\frac{\pi}{2}, 2), (\pi, 0), (\frac{3\pi}{2}, -2), (2\pi, 0)$.

3. Строим график искомой функции $y = 2\sin(x - \frac{\pi}{4})$. Для этого сдвигаем график $y_2 = 2\sin(x)$ вправо вдоль оси Ox на $\frac{\pi}{4}$ (горизонтальный сдвиг). Этот сдвиг называется фазовым сдвигом. Ключевые точки смещаются: $(\frac{\pi}{4}, 0), (\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4}, 2) = (\frac{3\pi}{4}, 2), (\pi + \frac{\pi}{4}, 0) = (\frac{5\pi}{4}, 0), (\frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{4}, -2) = (\frac{7\pi}{4}, -2), (2\pi + \frac{\pi}{4}, 0) = (\frac{9\pi}{4}, 0)$.

Ответ: График функции $y = 2\sin(x - \frac{\pi}{4})$ получается из графика $y = \sin(x)$ путем растяжения вдоль оси Oy в 2 раза с последующим сдвигом вправо вдоль оси Ox на $\frac{\pi}{4}$.

2) Для построения графика функции $y = 2 + \sin(x + \frac{\pi}{4})$ будем использовать последовательные преобразования графика базовой функции $y = \sin(x)$.

Алгоритм построения:

1. Строим график функции $y_1 = \sin(x)$. Это стандартная синусоида с периодом $2\pi$, амплитудой 1 и областью значений $[-1, 1]$.

2. Строим график функции $y_2 = \sin(x + \frac{\pi}{4})$. Для этого сдвигаем график $y_1 = \sin(x)$ влево вдоль оси Ox на $\frac{\pi}{4}$ (горизонтальный сдвиг). Ключевая точка $(0,0)$ переходит в $(-\frac{\pi}{4}, 0)$.

3. Строим график искомой функции $y = 2 + \sin(x + \frac{\pi}{4})$. Для этого сдвигаем график $y_2 = \sin(x + \frac{\pi}{4})$ вверх вдоль оси Oy на 2 единицы (вертикальный сдвиг). Область значений функции смещается и становится $[2-1, 2+1]$, то есть $[1, 3]$. Ключевая точка $(-\frac{\pi}{4}, 0)$ переходит в $(-\frac{\pi}{4}, 2)$.

Ответ: График функции $y = 2 + \sin(x + \frac{\pi}{4})$ получается из графика $y = \sin(x)$ путем сдвига влево вдоль оси Ox на $\frac{\pi}{4}$ и последующего сдвига вверх вдоль оси Oy на 2.

3) Для построения графика функции $y = \sin(2x - \frac{\pi}{3})$ сначала преобразуем выражение в аргументе синуса, чтобы выделить сдвиг: $y = \sin(2(x - \frac{\pi}{6}))$. Построение будем производить путем преобразования графика базовой функции $y = \sin(x)$.

Алгоритм построения:

1. Строим график функции $y_1 = \sin(x)$. Это стандартная синусоида с периодом $2\pi$ и амплитудой 1.

2. Строим график функции $y_2 = \sin(2x)$. Для этого сжимаем график $y_1 = \sin(x)$ к оси Oy в 2 раза (горизонтальное сжатие). Период функции уменьшается в 2 раза и становится равным $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$. Ключевые точки $(0, 0), (\frac{\pi}{2}, 1), (\pi, 0)$ преобразуются в $(0, 0), (\frac{\pi}{4}, 1), (\frac{\pi}{2}, 0)$.

3. Строим график искомой функции $y = \sin(2(x - \frac{\pi}{6}))$. Для этого сдвигаем график $y_2 = \sin(2x)$ вправо вдоль оси Ox на $\frac{\pi}{6}$ (горизонтальный сдвиг). Ключевые точки смещаются: $(0+\frac{\pi}{6}, 0) = (\frac{\pi}{6}, 0), (\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{6}, 1) = (\frac{5\pi}{12}, 1), (\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{6}, 0) = (\frac{2\pi}{3}, 0)$.

Ответ: График функции $y = \sin(2x - \frac{\pi}{3})$ получается из графика $y = \sin(x)$ путем сжатия к оси Oy в 2 раза с последующим сдвигом вправо вдоль оси Ox на $\frac{\pi}{6}$.