Номер 11.7, страница 93, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

11.7. Для функции $f(x)$ проверьте справедливость двух равенств и сделайте вывод — является ли число $T$ периодом функции:

1) $f(x) = \sin x$, $\sin(\frac{\pi}{6}) = 0.5$ и $\sin(\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{3}) = 0.5$, $T = \frac{2\pi}{3}$;

2) $f(x) = \begin{cases} x+2 \text{ при } x \le 1 \\ 3-x \text{ при } x > 1 \end{cases}$, $f(-1) = 1$ и $f(-1+3) = f(2)=1$, $T=3$.

1) Проверим справедливость данных равенств для функции $f(x) = \sin x$ и числа $T = \frac{2\pi}{3}$.

Первое равенство: $ \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} = 0,5 $. Равенство верно.

Второе равенство: $ \sin(\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{3}) = \sin(\frac{\pi}{6} + \frac{4\pi}{6}) = \sin(\frac{5\pi}{6}) $. Используя формулу приведения $ \sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha $, получаем $ \sin(\frac{5\pi}{6}) = \sin(\pi - \frac{\pi}{6}) = \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} = 0,5 $. Равенство также верно.

Теперь сделаем вывод, является ли $T = \frac{2\pi}{3}$ периодом функции $f(x) = \sin x$. Число $T$ является периодом функции $f(x)$, если для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$. В нашем случае равенство выполнилось для частного случая $x = \frac{\pi}{6}$, но это не означает, что оно будет выполняться для всех $x$.

Для проверки найдем контрпример. Возьмем $x = 0$.

$f(0) = \sin(0) = 0$.

$f(0+T) = f(\frac{2\pi}{3}) = \sin(\frac{2\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Так как $f(0) \neq f(0+T)$ (ведь $0 \neq \frac{\sqrt{3}}{2}$), число $T = \frac{2\pi}{3}$ не является периодом функции $f(x) = \sin x$. Известно, что наименьший положительный период функции $y = \sin x$ равен $2\pi$.

Ответ: оба равенства верны, но число $T = \frac{2\pi}{3}$ не является периодом функции.

2) Проверим справедливость данных равенств для функции $f(x) = \begin{cases} x+2 & \text{при } x \le 1 \\ 3-x & \text{при } x > 1 \end{cases}$ и числа $T = 3$.

Первое равенство: $f(-1)$. Так как $-1 \le 1$, используем первую формулу: $f(-1) = -1 + 2 = 1$. Равенство $f(-1)=1$ верно.

Второе равенство: $f(-1+3) = f(2)$. Так как $2 > 1$, используем вторую формулу: $f(2) = 3 - 2 = 1$. Равенство $f(-1+3) = f(2) = 1$ верно.

Теперь сделаем вывод, является ли $T = 3$ периодом функции $f(x)$. Как и в предыдущем пункте, выполнение равенства $f(x_0+T) = f(x_0)$ для одного конкретного значения $x_0 = -1$ не доказывает периодичность функции.

Для проверки найдем контрпример. Возьмем $x = 1$.

$f(1)$: так как $1 \le 1$, используем первую формулу: $f(1) = 1 + 2 = 3$.

$f(1+T) = f(1+3) = f(4)$. Так как $4 > 1$, используем вторую формулу: $f(4) = 3 - 4 = -1$.

Так как $f(1) \neq f(1+T)$ (ведь $3 \neq -1$), число $T = 3$ не является периодом данной функции.

Ответ: оба равенства верны, но число $T = 3$ не является периодом функции.