Номер 11.8, страница 93, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

11.8. Постройте график и запишите промежутки убывания функции:

1) $y = 2 - \sin 0.5x;$ 2) $y = 1 + \sin 1.5x;$

3) $y = 2\sin 2x;$ 4) $y = -\sin 3x.$

1) $y = 2 - \sin(0.5x)$

Построение графика:

График функции $y = 2 - \sin(0.5x)$ можно построить из графика $y = \sin(x)$ с помощью следующих преобразований: 1. Растяжение вдоль оси Ox в 2 раза (коэффициент 0.5 при x). Период функции становится $T = \frac{2\pi}{0.5} = 4\pi$. Получаем график функции $y = \sin(0.5x)$. 2. Симметричное отражение полученного графика относительно оси Ox (знак минус перед синусом). Получаем график функции $y = -\sin(0.5x)$. 3. Сдвиг последнего графика вверх на 2 единицы вдоль оси Oy. Получаем искомый график $y = 2 - \sin(0.5x)$. Область значений функции: $[1; 3]$.

Нахождение промежутков убывания:

Для нахождения промежутков убывания функции найдем ее производную и определим, при каких значениях $x$ производная неположительна ($y' \le 0$).

$y' = (2 - \sin(0.5x))' = 0 - (\sin(0.5x))' = -\cos(0.5x) \cdot (0.5x)' = -0.5\cos(0.5x)$.

Решим неравенство $y' \le 0$:

$-0.5\cos(0.5x) \le 0$.

Разделим обе части на -0.5, изменив знак неравенства на противоположный:

$\cos(0.5x) \ge 0$.

Функция косинус неотрицательна, когда ее аргумент находится в промежутке $[-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Следовательно, получаем двойное неравенство:

$-\frac{\pi}{2} + 2\pi k \le 0.5x \le \frac{\pi}{2} + 2\pi k$.

Умножим все части неравенства на 2, чтобы выразить $x$:

$-\pi + 4\pi k \le x \le \pi + 4\pi k$.

Таким образом, функция убывает на промежутках вида $[-\pi + 4\pi k, \pi + 4\pi k]$, где $k$ - любое целое число.

Ответ: $[-\pi + 4\pi k, \pi + 4\pi k], k \in \mathbb{Z}$.

2) $y = 1 + \sin(1.5x)$

Построение графика:

График функции $y = 1 + \sin(1.5x)$ можно построить из графика $y = \sin(x)$ с помощью следующих преобразований: 1. Сжатие вдоль оси Ox в 1.5 раза (коэффициент 1.5 при x). Период функции становится $T = \frac{2\pi}{1.5} = \frac{4\pi}{3}$. Получаем график функции $y = \sin(1.5x)$. 2. Сдвиг полученного графика вверх на 1 единицу вдоль оси Oy. Получаем искомый график $y = 1 + \sin(1.5x)$. Область значений функции: $[0; 2]$.

Нахождение промежутков убывания:

Найдем производную функции:

$y' = (1 + \sin(1.5x))' = 0 + (\sin(1.5x))' = \cos(1.5x) \cdot (1.5x)' = 1.5\cos(1.5x)$.

Решим неравенство $y' \le 0$:

$1.5\cos(1.5x) \le 0$.

$\cos(1.5x) \le 0$.

Функция косинус неположительна, когда ее аргумент находится в промежутке $[\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Следовательно:

$\frac{\pi}{2} + 2\pi k \le 1.5x \le \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$.

Заменим 1.5 на $\frac{3}{2}$:

$\frac{\pi}{2} + 2\pi k \le \frac{3}{2}x \le \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$.

Умножим все части неравенства на $\frac{2}{3}$:

$\frac{2}{3}(\frac{\pi}{2} + 2\pi k) \le x \le \frac{2}{3}(\frac{3\pi}{2} + 2\pi k)$.

$\frac{\pi}{3} + \frac{4\pi k}{3} \le x \le \pi + \frac{4\pi k}{3}$.

Таким образом, функция убывает на промежутках вида $[\frac{\pi}{3} + \frac{4\pi k}{3}, \pi + \frac{4\pi k}{3}]$, где $k$ - любое целое число.

Ответ: $[\frac{\pi}{3} + \frac{4\pi k}{3}, \pi + \frac{4\pi k}{3}], k \in \mathbb{Z}$.

3) $y = 2\sin(2x)$

Построение графика:

График функции $y = 2\sin(2x)$ можно построить из графика $y = \sin(x)$ с помощью следующих преобразований: 1. Сжатие вдоль оси Ox в 2 раза (коэффициент 2 при x). Период функции становится $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$. Получаем $y = \sin(2x)$. 2. Растяжение полученного графика вдоль оси Oy в 2 раза (коэффициент 2 перед синусом). Получаем искомый график $y = 2\sin(2x)$. Область значений функции: $[-2; 2]$.

Нахождение промежутков убывания:

Найдем производную функции:

$y' = (2\sin(2x))' = 2(\sin(2x))' = 2\cos(2x) \cdot (2x)' = 4\cos(2x)$.

Решим неравенство $y' \le 0$:

$4\cos(2x) \le 0$.

$\cos(2x) \le 0$.

Функция косинус неположительна, когда ее аргумент находится в промежутке $[\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Следовательно:

$\frac{\pi}{2} + 2\pi k \le 2x \le \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$.

Разделим все части неравенства на 2:

$\frac{\pi}{4} + \pi k \le x \le \frac{3\pi}{4} + \pi k$.

Таким образом, функция убывает на промежутках вида $[\frac{\pi}{4} + \pi k, \frac{3\pi}{4} + \pi k]$, где $k$ - любое целое число.

Ответ: $[\frac{\pi}{4} + \pi k, \frac{3\pi}{4} + \pi k], k \in \mathbb{Z}$.

4) $y = -\sin(3x)$

Построение графика:

График функции $y = -\sin(3x)$ можно построить из графика $y = \sin(x)$ с помощью следующих преобразований: 1. Сжатие вдоль оси Ox в 3 раза (коэффициент 3 при x). Период функции становится $T = \frac{2\pi}{3}$. Получаем $y = \sin(3x)$. 2. Симметричное отражение полученного графика относительно оси Ox (знак минус перед синусом). Получаем искомый график $y = -\sin(3x)$. Область значений функции: $[-1; 1]$.

Нахождение промежутков убывания:

Найдем производную функции:

$y' = (-\sin(3x))' = -(\sin(3x))' = -\cos(3x) \cdot (3x)' = -3\cos(3x)$.

Решим неравенство $y' \le 0$:

$-3\cos(3x) \le 0$.

Разделим обе части на -3, изменив знак неравенства на противоположный:

$\cos(3x) \ge 0$.

Функция косинус неотрицательна, когда ее аргумент находится в промежутке $[-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Следовательно:

$-\frac{\pi}{2} + 2\pi k \le 3x \le \frac{\pi}{2} + 2\pi k$.

Разделим все части неравенства на 3:

$-\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3} \le x \le \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}$.

Таким образом, функция убывает на промежутках вида $[-\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}, \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}]$, где $k$ - любое целое число.

Ответ: $[-\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}, \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}], k \in \mathbb{Z}$.