Номер 11.9, страница 93, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

11.9. Сравните значения выражений:

1) $\sin \frac{5\pi}{7}$ и $\sin \frac{7\pi}{8}$;

2) $\sin \frac{4\pi}{9}$ и $\sin \frac{3\pi}{8}$;

3) $\sin \frac{3\pi}{11}$ и $\sin \frac{5\pi}{13}$.

1) Для сравнения значений $\sin \frac{5\pi}{7}$ и $\sin \frac{7\pi}{8}$ определим, в каких четвертях находятся углы. Поскольку $\frac{1}{2} < \frac{5}{7} < 1$ и $\frac{1}{2} < \frac{7}{8} < 1$, то оба угла $\frac{5\pi}{7}$ и $\frac{7\pi}{8}$ находятся в интервале $(\frac{\pi}{2}, \pi)$, то есть во второй координатной четверти. На промежутке $[\frac{\pi}{2}, \pi]$ функция $y=\sin x$ является убывающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Сравним значения аргументов $\frac{5\pi}{7}$ и $\frac{7\pi}{8}$. Приведем дроби к общему знаменателю $56$: $\frac{5}{7} = \frac{5 \cdot 8}{7 \cdot 8} = \frac{40}{56}$; $\frac{7}{8} = \frac{7 \cdot 7}{8 \cdot 7} = \frac{49}{56}$. Так как $40 < 49$, то $\frac{40}{56} < \frac{49}{56}$, следовательно, $\frac{5\pi}{7} < \frac{7\pi}{8}$. Поскольку функция синус убывает во второй четверти, из неравенства $\frac{5\pi}{7} < \frac{7\pi}{8}$ следует, что $\sin \frac{5\pi}{7} > \sin \frac{7\pi}{8}$.

Ответ: $\sin \frac{5\pi}{7} > \sin \frac{7\pi}{8}$.

2) Для сравнения значений $\sin \frac{4\pi}{9}$ и $\sin \frac{3\pi}{8}$ определим, в каких четвертях находятся углы. Поскольку $0 < \frac{4}{9} < \frac{1}{2}$ и $0 < \frac{3}{8} < \frac{1}{2}$, то оба угла $\frac{4\pi}{9}$ и $\frac{3\pi}{8}$ находятся в интервале $(0, \frac{\pi}{2})$, то есть в первой координатной четверти. На промежутке $[0, \frac{\pi}{2}]$ функция $y=\sin x$ является возрастающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Сравним значения аргументов $\frac{4\pi}{9}$ и $\frac{3\pi}{8}$. Приведем дроби к общему знаменателю $72$: $\frac{4}{9} = \frac{4 \cdot 8}{9 \cdot 8} = \frac{32}{72}$; $\frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 9}{8 \cdot 9} = \frac{27}{72}$. Так как $32 > 27$, то $\frac{32}{72} > \frac{27}{72}$, следовательно, $\frac{4\pi}{9} > \frac{3\pi}{8}$. Поскольку функция синус возрастает в первой четверти, из неравенства $\frac{4\pi}{9} > \frac{3\pi}{8}$ следует, что $\sin \frac{4\pi}{9} > \sin \frac{3\pi}{8}$.

Ответ: $\sin \frac{4\pi}{9} > \sin \frac{3\pi}{8}$.

3) Для сравнения значений $\sin \frac{3\pi}{11}$ и $\sin \frac{5\pi}{13}$ определим, в каких четвертях находятся углы. Поскольку $0 < \frac{3}{11} < \frac{1}{2}$ и $0 < \frac{5}{13} < \frac{1}{2}$, то оба угла $\frac{3\pi}{11}$ и $\frac{5\pi}{13}$ находятся в интервале $(0, \frac{\pi}{2})$, то есть в первой координатной четверти. На промежутке $[0, \frac{\pi}{2}]$ функция $y=\sin x$ является возрастающей. Сравним значения аргументов $\frac{3\pi}{11}$ и $\frac{5\pi}{13}$. Приведем дроби к общему знаменателю $11 \cdot 13 = 143$: $\frac{3}{11} = \frac{3 \cdot 13}{11 \cdot 13} = \frac{39}{143}$; $\frac{5}{13} = \frac{5 \cdot 11}{13 \cdot 11} = \frac{55}{143}$. Так как $39 < 55$, то $\frac{39}{143} < \frac{55}{143}$, следовательно, $\frac{3\pi}{11} < \frac{5\pi}{13}$. Поскольку функция синус возрастает в первой четверти, из неравенства $\frac{3\pi}{11} < \frac{5\pi}{13}$ следует, что $\sin \frac{3\pi}{11} < \sin \frac{5\pi}{13}$.

Ответ: $\sin \frac{3\pi}{11} < \sin \frac{5\pi}{13}$.