Номер 11.4, страница 92, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

11.4. Найдите наименьший положительный период функции:

1) $y = 2\sin2x;$

2) $y = \sin4x\cos x + \sin x \cos4x;$

3) $y = \frac{2}{3}\sin3x + 1;$

4) $y = \sin x\cos x;$

5) $y = \sin4x\cos3x - \sin3x\cos4x;$

6) $y = \sin3x\cos3x.$

1) $y = 2\sin(2x)$

Данная функция имеет вид $y = A\sin(kx+b)+C$, где $A=2$, $k=2$, $b=0$, $C=0$. Наименьший положительный период функции $\sin(x)$ равен $2\pi$. Для функции $y = A\sin(kx+b)+C$ наименьший положительный период $T$ вычисляется по формуле $T = \frac{T_{base}}{|k|}$, где $T_{base}$ — основной период исходной функции. В нашем случае $T_{base} = 2\pi$ и $k=2$. Таким образом, период функции $y = 2\sin(2x)$ равен $T = \frac{2\pi}{|2|} = \pi$.

Ответ: $\pi$.

2) $y = \sin(4x)\cos(x) + \sin(x)\cos(4x)$

Для упрощения выражения воспользуемся тригонометрической формулой синуса суммы: $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$. В данном случае $\alpha=4x$ и $\beta=x$. Тогда функция принимает вид $y = \sin(4x+x) = \sin(5x)$. Это функция вида $y = \sin(kx)$ с коэффициентом $k=5$. Наименьший положительный период такой функции равен $T = \frac{2\pi}{|k|} = \frac{2\pi}{5}$.

Ответ: $\frac{2\pi}{5}$.

3) $y = \frac{2}{3}\sin(3x) + 1$

Функция имеет вид $y = A\sin(kx) + C$, где $A=\frac{2}{3}$, $k=3$ и $C=1$. Коэффициент $A$, отвечающий за амплитуду, и слагаемое $C$, отвечающее за вертикальный сдвиг, не влияют на величину периода. Период определяется только коэффициентом $k$ при аргументе $x$. Наименьший положительный период функции равен $T = \frac{2\pi}{|k|} = \frac{2\pi}{3}$.

Ответ: $\frac{2\pi}{3}$.

4) $y = \sin(x)\cos(x)$

Воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$. Из нее следует, что $\sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{2}\sin(2\alpha)$. Применив эту формулу к нашей функции, получим $y = \frac{1}{2}\sin(2x)$. Это функция вида $y = A\sin(kx)$ с $A=\frac{1}{2}$ и $k=2$. Наименьший положительный период равен $T = \frac{2\pi}{|k|} = \frac{2\pi}{2} = \pi$.

Ответ: $\pi$.

5) $y = \sin(4x)\cos(3x) - \sin(3x)\cos(4x)$

Для упрощения выражения воспользуемся тригонометрической формулой синуса разности: $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$. В данном случае $\alpha=4x$ и $\beta=3x$. Тогда функция принимает вид $y = \sin(4x-3x) = \sin(x)$. Наименьший положительный период функции $y = \sin(x)$ является основным периодом синуса и равен $2\pi$.

Ответ: $2\pi$.

6) $y = \sin(3x)\cos(3x)$

Как и в пункте 4, воспользуемся формулой, вытекающей из синуса двойного угла: $\sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{2}\sin(2\alpha)$. Положим $\alpha = 3x$. Тогда функция преобразуется к виду $y = \frac{1}{2}\sin(2 \cdot 3x) = \frac{1}{2}\sin(6x)$. Это функция вида $y = A\sin(kx)$ с $A=\frac{1}{2}$ и $k=6$. Наименьший положительный период равен $T = \frac{2\pi}{|k|} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$.

Ответ: $\frac{\pi}{3}$.