Номер 11.11, страница 93, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

11.11. Расположите в порядке возрастания значения выражений:

1) $\sin(1.3)$, $\sin(-1.3)$, $\sin(0.3)$, $\sin(0.9)$;

2) $\sin(0.3)$, $\sin(-0.3)$, $\sin(0.7)$, $\sin(1.4)$.

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами функции синуса $y = \sin(x)$.

1. Функция $y = \sin(x)$ является нечетной, то есть $sin(-x) = -sin(x)$ для любого $x$.

2. Функция $y = \sin(x)$ возрастает на промежутке $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

Учтем, что $\pi \approx 3.14$, следовательно, $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$.

1) Расположим в порядке возрастания значения выражений: $sin(1.3)$, $sin(-1.3)$, $sin(0.3)$, $sin(0.9)$.

Аргументы всех синусов (1.3, -1.3, 0.3, 0.9) принадлежат промежутку возрастания функции $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, так как $-1.57 < -1.3 < 0.3 < 0.9 < 1.3 < 1.57$.

Поскольку на этом промежутке функция $y = \sin(x)$ возрастает, то большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Расположим аргументы в порядке возрастания:

$-1.3 < 0.3 < 0.9 < 1.3$

Следовательно, значения синусов от этих аргументов будут располагаться в том же порядке:

$sin(-1.3) < sin(0.3) < sin(0.9) < sin(1.3)$

Также можно рассуждать иначе. Используя свойство нечетности, $sin(-1.3) = -sin(1.3)$. Поскольку $1.3$ радиан находится в первой четверти ($0 < 1.3 < \frac{\pi}{2}$), $sin(1.3) > 0$. Значит, $sin(-1.3)$ — единственное отрицательное число в наборе, и оно будет наименьшим. Остальные аргументы (0.3, 0.9, 1.3) также находятся в первой четверти, и для них выполняется $0.3 < 0.9 < 1.3$, а значит и $sin(0.3) < sin(0.9) < sin(1.3)$.

Ответ: $sin(-1.3)$, $sin(0.3)$, $sin(0.9)$, $sin(1.3)$.

2) Расположим в порядке возрастания значения выражений: $sin(0.3)$, $sin(-0.3)$, $sin(0.7)$, $sin(1.4)$.

Все аргументы (0.3, -0.3, 0.7, 1.4) также принадлежат промежутку возрастания функции $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, так как $-1.57 < -0.3 < 0.3 < 0.7 < 1.4 < 1.57$.

Расположим аргументы в порядке возрастания:

$-0.3 < 0.3 < 0.7 < 1.4$

Так как на этом промежутке функция $y = \sin(x)$ возрастает, то и значения синусов будут располагаться в том же порядке:

$sin(-0.3) < sin(0.3) < sin(0.7) < sin(1.4)$

Аналогично первому пункту, $sin(-0.3) = -sin(0.3)$. Это единственное отрицательное значение, следовательно, оно наименьшее. Аргументы 0.3, 0.7, 1.4 положительны и меньше $\frac{\pi}{2}$, поэтому $sin(0.3) < sin(0.7) < sin(1.4)$.

Ответ: $sin(-0.3)$, $sin(0.3)$, $sin(0.7)$, $sin(1.4)$.