Номер 11.18, страница 94, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

11.18. Вычислите значение тригонометрического выражения:

1)

$\frac{\operatorname{ctg} 30^\circ + \cos \frac{\pi}{6}}{\sin \frac{\pi}{2} - 2 \cos 45^\circ}$;

2)

$\frac{\sqrt{2} \sin 135^\circ + \sqrt{2} \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)}{6 \operatorname{tg} \frac{\pi}{4} - 4 \operatorname{ctg} \frac{\pi}{4}}$.

1) $\frac{\text{ctg}30^\circ + \cos\frac{\pi}{6}}{\sin\frac{\pi}{2} - 2\cos45^\circ}$

Для вычисления значения выражения найдем значения каждого тригонометрического члена. Для этого воспользуемся табличными значениями тригонометрических функций для стандартных углов.

Значение котангенса для $30^\circ$:

$\text{ctg}30^\circ = \sqrt{3}$

Значение косинуса для $\frac{\pi}{6}$ (что соответствует $30^\circ$):

$\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Значение синуса для $\frac{\pi}{2}$ (что соответствует $90^\circ$):

$\sin\frac{\pi}{2} = 1$

Значение косинуса для $45^\circ$:

$\cos45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Теперь подставим эти значения в исходное выражение:

$\frac{\sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 - 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}$

Упростим числитель и знаменатель дроби.

Вычисление числителя: $\sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$

Вычисление знаменателя: $1 - 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 1 - \sqrt{2}$

Теперь разделим упрощенный числитель на упрощенный знаменатель:

$\frac{\frac{3\sqrt{3}}{2}}{1 - \sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{3}}{2(1 - \sqrt{2})}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на $(1 + \sqrt{2})$:

$\frac{3\sqrt{3}}{2(1 - \sqrt{2})} \cdot \frac{1 + \sqrt{2}}{1 + \sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{3}(1 + \sqrt{2})}{2(1^2 - (\sqrt{2})^2)} = \frac{3\sqrt{3} \cdot 1 + 3\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{2(1 - 2)} = \frac{3\sqrt{3} + 3\sqrt{6}}{2(-1)} = -\frac{3\sqrt{3} + 3\sqrt{6}}{2}$

Ответ: $-\frac{3(\sqrt{3} + \sqrt{6})}{2}$

2) $\frac{\sqrt{2}\sin135^\circ + \sqrt{2}\cos(-\frac{\pi}{4})}{6\text{tg}\frac{\pi}{4} - 4\text{ctg}\frac{\pi}{4}}$

Найдем значения тригонометрических функций, входящих в выражение.

Используем формулы приведения для $\sin135^\circ$:

$\sin135^\circ = \sin(180^\circ - 45^\circ) = \sin45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Используем свойство четности косинуса, согласно которому $\cos(-x) = \cos(x)$:

$\cos(-\frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Найдем табличные значения для тангенса и котангенса угла $\frac{\pi}{4}$ (или $45^\circ$):

$\text{tg}\frac{\pi}{4} = 1$

$\text{ctg}\frac{\pi}{4} = 1$

Подставим найденные значения в исходное выражение:

$\frac{\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{6 \cdot 1 - 4 \cdot 1}$

Выполним арифметические действия в числителе и знаменателе.

Вычисление числителя: $\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{(\sqrt{2})^2}{2} + \frac{(\sqrt{2})^2}{2} = \frac{2}{2} + \frac{2}{2} = 1 + 1 = 2$

Вычисление знаменателя: $6 \cdot 1 - 4 \cdot 1 = 6 - 4 = 2$

Разделим числитель на знаменатель:

$\frac{2}{2} = 1$

Ответ: $1$