Страница 94, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

11.13. Используя алгоритм, постройте график функции:

1) $y = \sin \left(2x + \frac{2\pi}{3}\right)$;

2) $y = \sin(3x - 4)$;

3) $y = \sin \left(4x + \frac{4\pi}{3}\right)$.

Для построения графиков функций вида $y = \sin(kx + \phi)$ используется следующий алгоритм, основанный на преобразовании графика базовой функции $y = \sin(x)$:

1. Построить график функции $y = \sin(x)$ (синусоида с периодом $2\pi$).

2. Выполнить сжатие или растяжение графика вдоль оси Ox. График функции $y = \sin(kx)$ получается из графика $y = \sin(x)$ сжатием к оси Oy в $k$ раз, если $k > 1$, или растяжением от оси Oy в $1/k$ раз, если $0 < k < 1$. Период функции изменяется и становится равным $T = \frac{2\pi}{|k|}$.

3. Выполнить сдвиг (параллельный перенос) полученного графика вдоль оси Ox. Для этого представим функцию в виде $y = \sin(k(x + \frac{\phi}{k}))$. График сдвигается влево на величину $|\frac{\phi}{k}|$, если $\frac{\phi}{k} > 0$, и вправо на величину $|\frac{\phi}{k}|$, если $\frac{\phi}{k} < 0$.

Применим этот алгоритм к каждой из заданных функций.

1) $y = \sin(2x + \frac{2\pi}{3})$

Представим функцию в виде $y = \sin(2(x + \frac{\pi}{3}))$.

Здесь $k=2$ и фазовый сдвиг $-\frac{\phi}{k} = -\frac{\pi}{3}$.

Алгоритм построения:

1. Строим график функции $y = \sin(x)$.

2. Сжимаем этот график вдоль оси Ox в 2 раза. Получаем график функции $y = \sin(2x)$. Период этой функции равен $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$.

3. Сдвигаем график функции $y = \sin(2x)$ вдоль оси Ox влево на $\frac{\pi}{3}$.

В результате получаем искомый график функции $y = \sin(2x + \frac{2\pi}{3})$.

Ответ: График функции $y = \sin(2x + \frac{2\pi}{3})$ получается из графика $y = \sin(x)$ путем сжатия по оси Ox в 2 раза и последующего сдвига по оси Ox на $\frac{\pi}{3}$ влево.

2) $y = \sin(3x - 4)$

Представим функцию в виде $y = \sin(3(x - \frac{4}{3}))$.

Здесь $k=3$ и фазовый сдвиг $-\frac{\phi}{k} = \frac{4}{3}$.

Алгоритм построения:

1. Строим график функции $y = \sin(x)$.

2. Сжимаем этот график вдоль оси Ox в 3 раза. Получаем график функции $y = \sin(3x)$. Период этой функции равен $T = \frac{2\pi}{3}$.

3. Сдвигаем график функции $y = \sin(3x)$ вдоль оси Ox вправо на $\frac{4}{3}$.

В результате получаем искомый график функции $y = \sin(3x - 4)$.

Ответ: График функции $y = \sin(3x - 4)$ получается из графика $y = \sin(x)$ путем сжатия по оси Ox в 3 раза и последующего сдвига по оси Ox на $\frac{4}{3}$ вправо.

3) $y = \sin(4x + \frac{4\pi}{3})$

Представим функцию в виде $y = \sin(4(x + \frac{\pi}{3}))$.

Здесь $k=4$ и фазовый сдвиг $-\frac{\phi}{k} = -\frac{\pi}{3}$.

Алгоритм построения:

1. Строим график функции $y = \sin(x)$.

2. Сжимаем этот график вдоль оси Ox в 4 раза. Получаем график функции $y = \sin(4x)$. Период этой функции равен $T = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$.

3. Сдвигаем график функции $y = \sin(4x)$ вдоль оси Ox влево на $\frac{\pi}{3}$.

В результате получаем искомый график функции $y = \sin(4x + \frac{4\pi}{3})$.

Ответ: График функции $y = \sin(4x + \frac{4\pi}{3})$ получается из графика $y = \sin(x)$ путем сжатия по оси Ox в 4 раза и последующего сдвига по оси Ox на $\frac{\pi}{3}$ влево.

11.14. Используя преобразования, постройте график и найдите промежутки возрастания функции:

1) $y = 3 + \sin \left( 4x + \frac{4\pi}{3} \right)$;

2) $y = 2\sin(3x - 4) - 1$;

3) $y = -2\sin \left( 4x + \frac{4\pi}{3} \right).$

1) $y = 3 + \sin(4x + \frac{4\pi}{3})$

Запишем функцию в виде $y = \sin(4(x + \frac{\pi}{3})) + 3$.

График этой функции можно получить из графика основной функции $y_0 = \sin(x)$ с помощью следующих последовательных преобразований:

1. Сжатие графика по оси абсцисс (оси $Ox$) в 4 раза. Получим график функции $y_1 = \sin(4x)$. Период функции станет $T = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$.

2. Сдвиг полученного графика влево вдоль оси $Ox$ на $\frac{\pi}{3}$. Получим график функции $y_2 = \sin(4(x + \frac{\pi}{3}))$.

3. Сдвиг полученного графика вверх вдоль оси ординат (оси $Oy$) на 3 единицы. Получим искомый график функции $y = \sin(4(x + \frac{\pi}{3})) + 3$.

Для нахождения промежутков возрастания функции, воспользуемся тем, что функция $y = \sin(t)$ возрастает на промежутках $[-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$. В нашем случае аргумент $t = 4x + \frac{4\pi}{3}$.

Следовательно, нам нужно решить двойное неравенство:

$-\frac{\pi}{2} + 2\pi k \le 4x + \frac{4\pi}{3} \le \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Вычтем $\frac{4\pi}{3}$ из всех частей неравенства:

$-\frac{\pi}{2} - \frac{4\pi}{3} + 2\pi k \le 4x \le \frac{\pi}{2} - \frac{4\pi}{3} + 2\pi k$

$-\frac{3\pi + 8\pi}{6} + 2\pi k \le 4x \le \frac{3\pi - 8\pi}{6} + 2\pi k$

$-\frac{11\pi}{6} + 2\pi k \le 4x \le -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k$

Разделим все части неравенства на 4:

$-\frac{11\pi}{24} + \frac{\pi k}{2} \le x \le -\frac{5\pi}{24} + \frac{\pi k}{2}$.

Ответ: промежутки возрастания функции: $[-\frac{11\pi}{24} + \frac{\pi k}{2}, -\frac{5\pi}{24} + \frac{\pi k}{2}]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) $y = 2\sin(3x - 4) - 1$

Запишем функцию в виде $y = 2\sin(3(x - \frac{4}{3})) - 1$.

График этой функции можно получить из графика основной функции $y_0 = \sin(x)$ с помощью следующих последовательных преобразований:

1. Сжатие графика по оси $Ox$ в 3 раза. Получим график функции $y_1 = \sin(3x)$. Период функции станет $T = \frac{2\pi}{3}$.

2. Сдвиг полученного графика вправо вдоль оси $Ox$ на $\frac{4}{3}$. Получим график функции $y_2 = \sin(3(x - \frac{4}{3}))$.

3. Растяжение полученного графика вдоль оси $Oy$ в 2 раза. Получим график функции $y_3 = 2\sin(3(x - \frac{4}{3}))$. Амплитуда станет равной 2.

4. Сдвиг полученного графика вниз вдоль оси $Oy$ на 1 единицу. Получим искомый график функции $y = 2\sin(3(x - \frac{4}{3})) - 1$.

Для нахождения промежутков возрастания функции, учтем, что коэффициент перед синусом (2) положительный. Значит, функция возрастает на тех же промежутках, где возрастает $\sin(t)$. Функция $y = \sin(t)$ возрастает на промежутках $[-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$. В нашем случае $t = 3x - 4$.

Решим двойное неравенство:

$-\frac{\pi}{2} + 2\pi k \le 3x - 4 \le \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Прибавим 4 ко всем частям неравенства:

$4 - \frac{\pi}{2} + 2\pi k \le 3x \le 4 + \frac{\pi}{2} + 2\pi k$

Разделим все части неравенства на 3:

$\frac{4}{3} - \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3} \le x \le \frac{4}{3} + \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}$.

Ответ: промежутки возрастания функции: $[\frac{4}{3} - \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}, \frac{4}{3} + \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

3) $y = -2\sin(4x + \frac{4\pi}{3})$

Запишем функцию в виде $y = -2\sin(4(x + \frac{\pi}{3}))$.

График этой функции можно получить из графика основной функции $y_0 = \sin(x)$ с помощью следующих последовательных преобразований:

1. Сжатие графика по оси $Ox$ в 4 раза. Получим график функции $y_1 = \sin(4x)$. Период функции станет $T = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$.

2. Сдвиг полученного графика влево вдоль оси $Ox$ на $\frac{\pi}{3}$. Получим график функции $y_2 = \sin(4(x + \frac{\pi}{3}))$.

3. Растяжение полученного графика вдоль оси $Oy$ в 2 раза. Получим график функции $y_3 = 2\sin(4(x + \frac{\pi}{3}))$. Амплитуда станет равной 2.

4. Симметричное отражение полученного графика относительно оси $Ox$. Получим искомый график функции $y = -2\sin(4(x + \frac{\pi}{3}))$.

Для нахождения промежутков возрастания функции, учтем, что коэффициент перед синусом (-2) отрицательный. Это значит, что функция возрастает там, где функция $y = \sin(t)$ убывает. Функция $y = \sin(t)$ убывает на промежутках $[\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$. В нашем случае $t = 4x + \frac{4\pi}{3}$.

Решим двойное неравенство:

$\frac{\pi}{2} + 2\pi k \le 4x + \frac{4\pi}{3} \le \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Вычтем $\frac{4\pi}{3}$ из всех частей неравенства:

$\frac{\pi}{2} - \frac{4\pi}{3} + 2\pi k \le 4x \le \frac{3\pi}{2} - \frac{4\pi}{3} + 2\pi k$

$\frac{3\pi - 8\pi}{6} + 2\pi k \le 4x \le \frac{9\pi - 8\pi}{6} + 2\pi k$

$-\frac{5\pi}{6} + 2\pi k \le 4x \le \frac{\pi}{6} + 2\pi k$

Разделим все части неравенства на 4:

$-\frac{5\pi}{24} + \frac{\pi k}{2} \le x \le \frac{\pi}{24} + \frac{\pi k}{2}$.

Ответ: промежутки возрастания функции: $[-\frac{5\pi}{24} + \frac{\pi k}{2}, \frac{\pi}{24} + \frac{\pi k}{2}]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

11.15. Исследуйте на четность, найдите промежутки убывания и множество значений функции:

1) $y = 3 + 2\sin2x$;

2) $y = -2\sin(3x - 2)$;

3) $y = 4 - 2\sin(2x + 4)$.

1) Исследуем функцию $y = 3 + 2\sin(2x)$.

Исследование на четность.

Область определения функции $D(y) = (-\infty; +\infty)$, симметрична относительно нуля.Найдем $y(-x)$:

$y(-x) = 3 + 2\sin(2(-x)) = 3 + 2\sin(-2x) = 3 - 2\sin(2x)$.

Поскольку $y(-x) \neq y(x)$ (например, при $x=\frac{\pi}{4}$, $y(x)=5$, а $y(-x)=1$) и $y(-x) \neq -y(x) = -3 - 2\sin(2x)$, функция не является ни четной, ни нечетной. Это функция общего вида.

Промежутки убывания.

Найдем производную функции: $y' = (3 + 2\sin(2x))' = 2\cos(2x) \cdot (2x)' = 4\cos(2x)$.

Функция убывает, когда ее производная неположительна, то есть $y' \le 0$.

$4\cos(2x) \le 0 \implies \cos(2x) \le 0$.

Это неравенство выполняется, когда аргумент косинуса $2x$ находится в промежутке $[\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{3\pi}{2} + 2\pi n]$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$\frac{\pi}{2} + 2\pi n \le 2x \le \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$

Разделив все части на 2, получим промежутки для $x$:

$\frac{\pi}{4} + \pi n \le x \le \frac{3\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Множество значений.

Значения функции $\sin(t)$ лежат в отрезке $[-1, 1]$, поэтому $-1 \le \sin(2x) \le 1$.

Умножим неравенство на 2: $-2 \le 2\sin(2x) \le 2$.

Прибавим 3 ко всем частям: $3 - 2 \le 3 + 2\sin(2x) \le 3 + 2$.

Получаем $1 \le y \le 5$.

Множество значений функции $E(y) = [1; 5]$.

Ответ: функция общего вида; промежутки убывания $[\frac{\pi}{4} + \pi n, \frac{3\pi}{4} + \pi n]$, $n \in \mathbb{Z}$; множество значений $[1; 5]$.

2) Исследуем функцию $y = -2\sin(3x - 2)$.

Исследование на четность.

Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$, симметрична относительно нуля.Найдем $y(-x)$:

$y(-x) = -2\sin(3(-x) - 2) = -2\sin(-3x - 2) = -2\sin(-(3x + 2)) = 2\sin(3x + 2)$.

Поскольку $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x) = 2\sin(3x - 2)$, функция является функцией общего вида.

Промежутки убывания.

Найдем производную: $y' = (-2\sin(3x - 2))' = -2\cos(3x - 2) \cdot (3x - 2)' = -6\cos(3x - 2)$.

Функция убывает при $y' \le 0$:

$-6\cos(3x - 2) \le 0 \implies \cos(3x - 2) \ge 0$.

Это неравенство выполняется, когда аргумент косинуса $3x - 2$ находится в промежутке $[-\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{\pi}{2} + 2\pi n]$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$-\frac{\pi}{2} + 2\pi n \le 3x - 2 \le \frac{\pi}{2} + 2\pi n$

Прибавим 2 ко всем частям: $2 - \frac{\pi}{2} + 2\pi n \le 3x \le 2 + \frac{\pi}{2} + 2\pi n$.

Разделим на 3: $\frac{2}{3} - \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3} \le x \le \frac{2}{3} + \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Множество значений.

Так как $-1 \le \sin(3x - 2) \le 1$, умножим на -2 (при этом знаки неравенства меняются):

$2 \ge -2\sin(3x - 2) \ge -2$.

То есть, $-2 \le y \le 2$.

Множество значений функции $E(y) = [-2; 2]$.

Ответ: функция общего вида; промежутки убывания $[\frac{2}{3} - \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}, \frac{2}{3} + \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}]$, $n \in \mathbb{Z}$; множество значений $[-2; 2]$.

3) Исследуем функцию $y = 4 - 2\sin(2x + 4)$.

Исследование на четность.

Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$, симметрична относительно нуля.Найдем $y(-x)$:

$y(-x) = 4 - 2\sin(2(-x) + 4) = 4 - 2\sin(-2x + 4) = 4 - 2\sin(-(2x - 4)) = 4 + 2\sin(2x - 4)$.

Поскольку $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x) = -4 + 2\sin(2x + 4)$, функция является функцией общего вида.

Промежутки убывания.

Найдем производную: $y' = (4 - 2\sin(2x + 4))' = -2\cos(2x + 4) \cdot (2x + 4)' = -4\cos(2x + 4)$.

Функция убывает при $y' \le 0$:

$-4\cos(2x + 4) \le 0 \implies \cos(2x + 4) \ge 0$.

Это неравенство выполняется, когда $2x + 4$ находится в промежутке $[-\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{\pi}{2} + 2\pi n]$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$-\frac{\pi}{2} + 2\pi n \le 2x + 4 \le \frac{\pi}{2} + 2\pi n$

Вычтем 4 из всех частей: $-4 - \frac{\pi}{2} + 2\pi n \le 2x \le -4 + \frac{\pi}{2} + 2\pi n$.

Разделим на 2: $-2 - \frac{\pi}{4} + \pi n \le x \le -2 + \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Множество значений.

Так как $-1 \le \sin(2x + 4) \le 1$, умножим на -2:

$2 \ge -2\sin(2x + 4) \ge -2$.

Прибавим 4 ко всем частям: $4 + 2 \ge 4 - 2\sin(2x + 4) \ge 4 - 2$.

$6 \ge y \ge 2$.

Множество значений функции $E(y) = [2; 6]$.

Ответ: функция общего вида; промежутки убывания $[-2 - \frac{\pi}{4} + \pi n, -2 + \frac{\pi}{4} + \pi n]$, $n \in \mathbb{Z}$; множество значений $[2; 6]$.

*11.16. Постройте график функции и исследуйте ее на монотонность:

1) $y = x + \sin x;$

2) $y = x - \sin x.$

1) y = x + sinx

Построение графика:

График данной функции можно построить методом сложения графиков двух более простых функций: $y_1 = x$ (прямая линия, биссектриса I и III координатных четвертей) и $y_2 = \sin x$ (синусоида).

Для построения графика $y = x + \sin x$ нужно к ординате каждой точки прямой $y_1 = x$ прибавить соответствующую ординату точки на синусоиде $y_2 = \sin x$.

Основные свойства и точки:

• Область определения функции: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Функция является нечетной, так как $y(-x) = (-x) + \sin(-x) = -x - \sin x = -(x + \sin x) = -y(x)$. График симметричен относительно начала координат.
• Точки пересечения с осью Ox: $x + \sin x = 0$. Очевидное решение $x = 0$. Других корней нет, так как при $x > 0$ оба слагаемых положительны (кроме точек $x = k\pi$, где $\sin x=0$), а при $x < 0$ оба слагаемых отрицательны. Таким образом, единственная точка пересечения с осями — $(0, 0)$.
• График колеблется вокруг прямой $y = x$. Когда $\sin x > 0$ (на интервалах $(2\pi k, \pi + 2\pi k)$), график функции лежит выше прямой $y=x$. Когда $\sin x < 0$ (на интервалах $(\pi + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k)$), график лежит ниже прямой $y=x$.
• Точки, в которых график касается прямых, параллельных $y=x$: это точки, где $\sin x = \pm 1$. Например, в точке $x=\pi/2$, $y = \pi/2 + 1$.

Исследование на монотонность:

Для исследования функции на монотонность найдем ее производную:

$y' = (x + \sin x)' = (x)' + (\sin x)' = 1 + \cos x$.

Функция возрастает на тех промежутках, где ее производная положительна ($y' > 0$), и убывает там, где производная отрицательна ($y' < 0$).

Проанализируем знак производной $y' = 1 + \cos x$.

Известно, что для любого $x$ значение косинуса находится в пределах $-1 \le \cos x \le 1$.

Следовательно, $1 + (-1) \le 1 + \cos x \le 1 + 1$, что дает $0 \le 1 + \cos x \le 2$.

Таким образом, производная $y' = 1 + \cos x \ge 0$ для всех $x$ из области определения. Это означает, что функция не убывает на всей числовой прямой.

Найдем точки, в которых производная равна нулю:

$y' = 0 \Rightarrow 1 + \cos x = 0 \Rightarrow \cos x = -1$.

Это равенство выполняется при $x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Так как производная неотрицательна на всей числовой прямой и обращается в ноль лишь в отдельных точках, функция является строго возрастающей.

Ответ: функция $y = x + \sin x$ является монотонно возрастающей на всей области определения $(-\infty; +\infty)$.

2) y = x - sinx

Построение графика:

График этой функции также можно построить сложением графиков $y_1 = x$ и $y_2 = -\sin x$. График $y_2 = -\sin x$ — это синусоида, симметрично отраженная относительно оси Ox.

Основные свойства и точки:

• Область определения функции: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Функция является нечетной: $y(-x) = (-x) - \sin(-x) = -x + \sin x = -(x - \sin x) = -y(x)$. График симметричен относительно начала координат.
• Точка пересечения с осями: $x - \sin x = 0$. Это уравнение имеет единственный корень $x=0$. Точка пересечения — $(0, 0)$.
• График колеблется вокруг прямой $y = x$. Когда $\sin x > 0$ (на интервалах $(2\pi k, \pi + 2\pi k)$), график функции лежит ниже прямой $y=x$. Когда $\sin x < 0$ (на интервалах $(\pi + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k)$), график лежит выше прямой $y=x$.

Исследование на монотонность:

Найдем производную функции:

$y' = (x - \sin x)' = (x)' - (\sin x)' = 1 - \cos x$.

Проанализируем знак производной $y' = 1 - \cos x$.

Так как $-1 \le \cos x \le 1$, то $-1 \le -\cos x \le 1$.

Следовательно, $1 + (-1) \le 1 - \cos x \le 1 + 1$, что дает $0 \le 1 - \cos x \le 2$.

Производная $y' = 1 - \cos x \ge 0$ для всех $x$ из области определения. Это означает, что функция не убывает на всей числовой прямой.

Найдем точки, в которых производная равна нулю:

$y' = 0 \Rightarrow 1 - \cos x = 0 \Rightarrow \cos x = 1$.

Это равенство выполняется при $x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Так как производная неотрицательна на всей числовой прямой и обращается в ноль лишь в отдельных точках, функция является строго возрастающей.

Ответ: функция $y = x - \sin x$ является монотонно возрастающей на всей области определения $(-\infty; +\infty)$.

11.17. Найдите период и постройте график функции:

1) $y=\{x\}$;

2) $y=3-\{x\}$;

3) $y=2\{2x\}$;

4) $y=\{\frac{x}{3}\} + 2,$

где $\{x\}$ — дробная часть числа $x$.

1) Функция $y = \{x\}$ — это дробная часть числа $x$, определяемая как $\{x\} = x - [x]$, где $[x]$ — целая часть числа $x$.

Нахождение периода: Функция $\{x\}$ является периодической с основным периодом $T=1$, так как для любого $x$ выполняется $\{x+1\} = (x+1) - [x+1] = x+1 - ([x]+1) = x - [x] = \{x\}$, и $T=1$ — наименьшее положительное число с таким свойством.

Построение графика: На промежутке $[0, 1)$ имеем $[x]=0$, поэтому $y = \{x\} = x$. Графиком на этом промежутке является отрезок прямой, соединяющий точки $(0,0)$ и $(1,1)$, причём точка $(0,0)$ принадлежит графику, а точка $(1,1)$ — нет. В силу периодичности, этот отрезок повторяется на каждом промежутке вида $[n, n+1)$, где $n$ — целое число. Таким образом, на промежутке $[n, n+1)$ график функции совпадает с графиком $y = x-n$. Область значений функции: $[0, 1)$.

Ответ: Период $T=1$. График представляет собой совокупность параллельных отрезков с угловым коэффициентом 1; на каждом промежутке $[n, n+1)$ (где $n \in \mathbb{Z}$) график задается уравнением $y=x-n$.

2) Рассмотрим функцию $y = 3 - \{x\}$.

Нахождение периода: Эта функция получена из функции $f(x)=\{x\}$ путем преобразований $y = -f(x)+3$. Такие преобразования (отражение и сдвиг) не меняют период функции. Так как период функции $\{x\}$ равен 1, то и основной период функции $y = 3 - \{x\}$ также равен 1. Проверим: $y(x+1) = 3 - \{x+1\} = 3 - \{x\} = y(x)$.

Построение графика: График функции $y = 3 - \{x\}$ можно построить из графика $y_0 = \{x\}$ в два этапа. Сначала строим график $y_1 = -\{x\}$ — это симметричное отражение графика $y_0=\{x\}$ относительно оси $Ox$. Затем строим график $y = y_1 + 3 = -\{x\} + 3$ — это сдвиг графика $y_1$ на 3 единицы вверх вдоль оси $Oy$. На основном периоде $[0, 1)$ график исходной функции $y_0=\{x\}$ совпадает с $y=x$. Тогда для нашей функции на этом промежутке имеем $y = 3 - x$. Это отрезок прямой, соединяющий точки $(0, 3)$ и $(1, 2)$, причём точка $(0,3)$ принадлежит графику, а точка $(1,2)$ — нет. Далее этот отрезок периодически повторяется с периодом $T=1$. Область значений функции: $(2, 3]$.

Ответ: Период $T=1$. График состоит из множества отрезков прямых $y=3-(x-n) = 3-x+n$ на каждом промежутке $[n, n+1)$ для всех $n \in \mathbb{Z}$.

3) Рассмотрим функцию $y = 2\{2x\}$.

Нахождение периода: Эта функция имеет вид $y = A f(kx)$, где $f(u) = \{u\}$, $A=2$, $k=2$. Если основной период функции $f(u)$ равен $T_f=1$, то основной период функции $y$ равен $T = T_f / |k| = 1/2$.

Построение графика: График функции $y = 2\{2x\}$ можно построить из графика $y_0 = \{x\}$ в два этапа. Сначала строим график $y_1 = \{2x\}$ — это сжатие графика $y_0=\{x\}$ к оси $Oy$ в 2 раза. Период этой функции равен $1/2$. Затем строим график $y = 2y_1 = 2\{2x\}$ — это растяжение графика $y_1$ от оси $Ox$ в 2 раза. На основном периоде $[0, 1/2)$, имеем $0 \le 2x < 1$, поэтому $\{2x\} = 2x$. Тогда $y = 2(2x) = 4x$. Это отрезок прямой, соединяющий точки $(0, 0)$ и $(1/2, 2)$, причём точка $(0,0)$ принадлежит графику, а точка $(1/2, 2)$ — нет. Далее этот отрезок периодически повторяется с периодом $T=1/2$. Область значений функции: $[0, 2)$.

Ответ: Период $T=1/2$. График состоит из множества отрезков прямой $y=2(2x - n) = 4x-2n$ на каждом промежутке $[n/2, (n+1)/2)$ для всех $n \in \mathbb{Z}$.

4) Рассмотрим функцию $y = \{\frac{x}{3}\} + 2$.

Нахождение периода: Эта функция имеет вид $y = f(kx) + B$, где $f(u) = \{u\}$, $k=1/3$, $B=2$. Если основной период функции $f(u)$ равен $T_f=1$, то основной период функции $y$ равен $T = T_f / |k| = 1 / (1/3) = 3$.

Построение графика: График функции $y = \{\frac{x}{3}\} + 2$ можно построить из графика $y_0 = \{x\}$ в два этапа. Сначала строим график $y_1 = \{x/3\}$ — это растяжение графика $y_0=\{x\}$ от оси $Oy$ в 3 раза. Период этой функции равен 3. Затем строим график $y = y_1 + 2 = \{x/3\} + 2$ — это сдвиг графика $y_1$ на 2 единицы вверх вдоль оси $Oy$. На основном периоде $[0, 3)$, имеем $0 \le x/3 < 1$, поэтому $\{x/3\} = x/3$. Тогда $y = x/3 + 2$. Это отрезок прямой, соединяющий точки $(0, 2)$ и $(3, 3)$, причём точка $(0,2)$ принадлежит графику, а точка $(3,3)$ — нет. Далее этот отрезок периодически повторяется с периодом $T=3$. Область значений функции: $[2, 3)$.

Ответ: Период $T=3$. График состоит из множества отрезков прямой $y = (x/3 - n) + 2$ на каждом промежутке $[3n, 3(n+1))$ для всех $n \in \mathbb{Z}$.

11.18. Вычислите значение тригонометрического выражения:

1)

$\frac{\operatorname{ctg} 30^\circ + \cos \frac{\pi}{6}}{\sin \frac{\pi}{2} - 2 \cos 45^\circ}$;

2)

$\frac{\sqrt{2} \sin 135^\circ + \sqrt{2} \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)}{6 \operatorname{tg} \frac{\pi}{4} - 4 \operatorname{ctg} \frac{\pi}{4}}$.

1) $\frac{\text{ctg}30^\circ + \cos\frac{\pi}{6}}{\sin\frac{\pi}{2} - 2\cos45^\circ}$

Для вычисления значения выражения найдем значения каждого тригонометрического члена. Для этого воспользуемся табличными значениями тригонометрических функций для стандартных углов.

Значение котангенса для $30^\circ$:

$\text{ctg}30^\circ = \sqrt{3}$

Значение косинуса для $\frac{\pi}{6}$ (что соответствует $30^\circ$):

$\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Значение синуса для $\frac{\pi}{2}$ (что соответствует $90^\circ$):

$\sin\frac{\pi}{2} = 1$

Значение косинуса для $45^\circ$:

$\cos45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Теперь подставим эти значения в исходное выражение:

$\frac{\sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 - 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}$

Упростим числитель и знаменатель дроби.

Вычисление числителя: $\sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$

Вычисление знаменателя: $1 - 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 1 - \sqrt{2}$

Теперь разделим упрощенный числитель на упрощенный знаменатель:

$\frac{\frac{3\sqrt{3}}{2}}{1 - \sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{3}}{2(1 - \sqrt{2})}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на $(1 + \sqrt{2})$:

$\frac{3\sqrt{3}}{2(1 - \sqrt{2})} \cdot \frac{1 + \sqrt{2}}{1 + \sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{3}(1 + \sqrt{2})}{2(1^2 - (\sqrt{2})^2)} = \frac{3\sqrt{3} \cdot 1 + 3\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{2(1 - 2)} = \frac{3\sqrt{3} + 3\sqrt{6}}{2(-1)} = -\frac{3\sqrt{3} + 3\sqrt{6}}{2}$

Ответ: $-\frac{3(\sqrt{3} + \sqrt{6})}{2}$

2) $\frac{\sqrt{2}\sin135^\circ + \sqrt{2}\cos(-\frac{\pi}{4})}{6\text{tg}\frac{\pi}{4} - 4\text{ctg}\frac{\pi}{4}}$

Найдем значения тригонометрических функций, входящих в выражение.

Используем формулы приведения для $\sin135^\circ$:

$\sin135^\circ = \sin(180^\circ - 45^\circ) = \sin45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Используем свойство четности косинуса, согласно которому $\cos(-x) = \cos(x)$:

$\cos(-\frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Найдем табличные значения для тангенса и котангенса угла $\frac{\pi}{4}$ (или $45^\circ$):

$\text{tg}\frac{\pi}{4} = 1$

$\text{ctg}\frac{\pi}{4} = 1$

Подставим найденные значения в исходное выражение:

$\frac{\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{6 \cdot 1 - 4 \cdot 1}$

Выполним арифметические действия в числителе и знаменателе.

Вычисление числителя: $\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{(\sqrt{2})^2}{2} + \frac{(\sqrt{2})^2}{2} = \frac{2}{2} + \frac{2}{2} = 1 + 1 = 2$

Вычисление знаменателя: $6 \cdot 1 - 4 \cdot 1 = 6 - 4 = 2$

Разделим числитель на знаменатель:

$\frac{2}{2} = 1$

Ответ: $1$

11.19. Упростите выражение:

1) $ \text{tg}\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) \cdot \text{ctg}(4\pi - \alpha) \cdot \text{cos}\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) \cdot \text{tg}(4\pi + \alpha); $

2) $ \left(\frac{\sin5\alpha - \sin3\alpha}{\cos5\alpha - \cos3\alpha}\right). $

1) Упростим выражение $tg(\frac{3\pi}{2} - \alpha) \cdot ctg(4\pi - \alpha) \cdot \cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) \cdot tg(4\pi + \alpha)$, используя формулы приведения.

Рассмотрим каждый множитель по отдельности:

1. $tg(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = ctg(\alpha)$. Так как в аргументе стоит $\frac{3\pi}{2}$, функция меняется на кофункцию (тангенс на котангенс). Угол $(\frac{3\pi}{2} - \alpha)$ находится в III четверти, где тангенс положителен.

2. $ctg(4\pi - \alpha) = ctg(-\alpha) = -ctg(\alpha)$. Период котангенса равен $\pi$, поэтому $4\pi$ (целое число периодов) можно отбросить. Котангенс является нечетной функцией.

3. $\cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = \sin(\alpha)$. Так как в аргументе стоит $\frac{3\pi}{2}$, функция меняется на кофункцию (косинус на синус). Угол $(\frac{3\pi}{2} + \alpha)$ находится в IV четверти, где косинус положителен.

4. $tg(4\pi + \alpha) = tg(\alpha)$. Период тангенса равен $\pi$, поэтому $4\pi$ можно отбросить.

Теперь подставим упрощенные выражения в исходное произведение:

$ctg(\alpha) \cdot (-ctg(\alpha)) \cdot \sin(\alpha) \cdot tg(\alpha)$

Зная, что $tg(\alpha) \cdot ctg(\alpha) = 1$, мы можем упростить выражение:

$ctg(\alpha) \cdot (-ctg(\alpha)) \cdot \sin(\alpha) \cdot \frac{1}{ctg(\alpha)} = -ctg(\alpha) \cdot \sin(\alpha)$

Теперь заменим $ctg(\alpha)$ на $\frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}$:

$-\frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} \cdot \sin(\alpha) = -\cos(\alpha)$

Ответ: $-\cos(\alpha)$

2) Упростим выражение $\frac{\sin(5\alpha) - \sin(3\alpha)}{\cos(5\alpha) - \cos(3\alpha)}$.

Для этого воспользуемся формулами преобразования разности тригонометрических функций в произведение:

Разность синусов: $\sin(x) - \sin(y) = 2\sin(\frac{x-y}{2})\cos(\frac{x+y}{2})$

Разность косинусов: $\cos(x) - \cos(y) = -2\sin(\frac{x-y}{2})\sin(\frac{x+y}{2})$

Применим эти формулы к числителю и знаменателю дроби.

Числитель: $\sin(5\alpha) - \sin(3\alpha) = 2\sin(\frac{5\alpha - 3\alpha}{2})\cos(\frac{5\alpha + 3\alpha}{2}) = 2\sin(\frac{2\alpha}{2})\cos(\frac{8\alpha}{2}) = 2\sin(\alpha)\cos(4\alpha)$.

Знаменатель: $\cos(5\alpha) - \cos(3\alpha) = -2\sin(\frac{5\alpha - 3\alpha}{2})\sin(\frac{5\alpha + 3\alpha}{2}) = -2\sin(\frac{2\alpha}{2})\sin(\frac{8\alpha}{2}) = -2\sin(\alpha)\sin(4\alpha)$.

Теперь подставим полученные выражения обратно в дробь:

$\frac{2\sin(\alpha)\cos(4\alpha)}{-2\sin(\alpha)\sin(4\alpha)}$

Сократим общие множители $2$ и $\sin(\alpha)$ (при условии, что $\sin(\alpha) \neq 0$):

$\frac{\cos(4\alpha)}{-\sin(4\alpha)} = -\frac{\cos(4\alpha)}{\sin(4\alpha)} = -ctg(4\alpha)$

Ответ: $-ctg(4\alpha)$

46.2. Найдите значение производной второго порядка для функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$:

1) $f(x) = x^3 - 3x^2 - 1, x_0 = -1;$

2) $f(x) = x^4 - x^3 - x, x_0 = 2;$

3) $f(x) = \sqrt{3 - x}, x_0 = -1;$

4) $f(x) = \sqrt{2x + 1}, x_0 = 4.$

1) Дана функция $f(x) = x³ - 3x² - 1$ и точка $x₀ = -1$.

Чтобы найти производную второго порядка, сначала найдем первую производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (x³ - 3x² - 1)' = 3x^{3-1} - 3 \cdot 2x^{2-1} - 0 = 3x² - 6x$.

Теперь найдем вторую производную, которая является производной от первой производной:

$f''(x) = (3x² - 6x)' = 3 \cdot 2x^{2-1} - 6 = 6x - 6$.

Подставим значение $x₀ = -1$ в выражение для второй производной, чтобы найти ее значение в этой точке:

$f''(-1) = 6(-1) - 6 = -6 - 6 = -12$.

Ответ: -12.

2) Дана функция $f(x) = x⁴ - x³ - x$ и точка $x₀ = 2$.

Найдем первую производную функции:

$f'(x) = (x⁴ - x³ - x)' = 4x³ - 3x² - 1$.

Найдем вторую производную:

$f''(x) = (4x³ - 3x² - 1)' = 4 \cdot 3x² - 3 \cdot 2x - 0 = 12x² - 6x$.

Вычислим значение второй производной в точке $x₀ = 2$:

$f''(2) = 12(2)² - 6(2) = 12 \cdot 4 - 12 = 48 - 12 = 36$.

Ответ: 36.

3) Дана функция $f(x) = \sqrt{3 - x}$ и точка $x₀ = -1$.

Представим функцию в виде степени для удобства дифференцирования: $f(x) = (3 - x)^{1/2}$.

Найдем первую производную, используя правило дифференцирования сложной функции (цепное правило):

$f'(x) = ((3 - x)^{1/2})' = \frac{1}{2}(3 - x)^{1/2 - 1} \cdot (3 - x)' = \frac{1}{2}(3 - x)^{-1/2} \cdot (-1) = -\frac{1}{2}(3 - x)^{-1/2}$.

Найдем вторую производную, снова применив цепное правило:

$f''(x) = (-\frac{1}{2}(3 - x)^{-1/2})' = -\frac{1}{2} \cdot (-\frac{1}{2})(3 - x)^{-1/2 - 1} \cdot (3 - x)' = \frac{1}{4}(3 - x)^{-3/2} \cdot (-1) = -\frac{1}{4}(3 - x)^{-3/2}$.

Вычислим значение второй производной в точке $x₀ = -1$:

$f''(-1) = -\frac{1}{4}(3 - (-1))^{-3/2} = -\frac{1}{4}(4)^{-3/2} = -\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4^{3/2}} = -\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{(\sqrt{4})³} = -\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2³} = -\frac{1}{4 \cdot 8} = -\frac{1}{32}$.

Ответ: $-\frac{1}{32}$.

4) Дана функция $f(x) = \sqrt{2x + 1}$ и точка $x₀ = 4$.

Представим функцию в виде степени: $f(x) = (2x + 1)^{1/2}$.

Найдем первую производную:

$f'(x) = ((2x + 1)^{1/2})' = \frac{1}{2}(2x + 1)^{-1/2} \cdot (2x + 1)' = \frac{1}{2}(2x + 1)^{-1/2} \cdot 2 = (2x + 1)^{-1/2}$.

Найдем вторую производную:

$f''(x) = ((2x + 1)^{-1/2})' = -\frac{1}{2}(2x + 1)^{-3/2} \cdot (2x + 1)' = -\frac{1}{2}(2x + 1)^{-3/2} \cdot 2 = -(2x + 1)^{-3/2}$.

Вычислим значение второй производной в точке $x₀ = 4$:

$f''(4) = -(2 \cdot 4 + 1)^{-3/2} = -(8 + 1)^{-3/2} = -(9)^{-3/2} = -\frac{1}{9^{3/2}} = -\frac{1}{(\sqrt{9})³} = -\frac{1}{3³} = -\frac{1}{27}$.

Ответ: $-\frac{1}{27}$.

46.3. Точка движется по закону $x(t) = -\frac{t^4}{4} - \frac{t^3}{3} + 2t^2 + 1$ (где $t$ — время в секундах, $x(t)$ — координата точки в метрах). Найдите:

1) скорость движения точки в момент времени $t = 3$ с;

2) ускорение движения точки в момент времени $t = 3$ с.

1) скорость движения точки в момент времени t = 3 c;

Скорость точки $v(t)$ является первой производной от координаты по времени $x(t)$. Формула скорости: $v(t) = x'(t)$.

Задан закон движения: $x(t) = \frac{t^4}{4} - \frac{t^3}{3} + 2t^2 + 1$.

Найдем производную этой функции по времени $t$:

$v(t) = x'(t) = (\frac{t^4}{4} - \frac{t^3}{3} + 2t^2 + 1)' = \frac{1}{4} \cdot 4t^{4-1} - \frac{1}{3} \cdot 3t^{3-1} + 2 \cdot 2t^{2-1} + 0 = t^3 - t^2 + 4t$.

Теперь найдем значение скорости в момент времени $t = 3$ с, подставив это значение в полученное выражение для скорости:

$v(3) = 3^3 - 3^2 + 4 \cdot 3 = 27 - 9 + 12 = 18 + 12 = 30$ м/с.

Ответ: 30 м/с.

2) ускорение движения точки в момент времени t = 3 c.

Ускорение точки $a(t)$ является первой производной от скорости по времени $v(t)$, или второй производной от координаты по времени $x(t)$. Формула ускорения: $a(t) = v'(t) = x''(t)$.

Мы уже нашли функцию скорости: $v(t) = t^3 - t^2 + 4t$.

Найдем производную от функции скорости по времени $t$:

$a(t) = v'(t) = (t^3 - t^2 + 4t)' = 3t^{3-1} - 2t^{2-1} + 4 = 3t^2 - 2t + 4$.

Теперь найдем значение ускорения в момент времени $t = 3$ с, подставив это значение в полученное выражение для ускорения:

$a(3) = 3 \cdot 3^2 - 2 \cdot 3 + 4 = 3 \cdot 9 - 6 + 4 = 27 - 6 + 4 = 25$ м/с².

Ответ: 25 м/с².

46.4. Найдите $f''(1)$, если:

1) $f(x) = \sqrt{5 - x}$;

2) $f(x) = \sqrt{4 - 2x}$;

3) $f(x) = \sqrt{2x + 3}$;

4) $f(x) = \sqrt{2x^2 - 1}$.

Для нахождения $f''(1)$ необходимо найти вторую производную функции $f(x)$ и затем подставить в нее значение $x=1$.

1) Дана функция $f(x) = \sqrt{5-x}$. Для удобства дифференцирования представим ее в степенном виде: $f(x) = (5-x)^{1/2}$.

Найдем первую производную $f'(x)$, используя правило дифференцирования сложной функции $(u^n)' = n u^{n-1} u'$:

$f'(x) = \frac{1}{2}(5-x)^{1/2-1} \cdot (5-x)' = \frac{1}{2}(5-x)^{-1/2} \cdot (-1) = -\frac{1}{2}(5-x)^{-1/2}$.

Теперь найдем вторую производную $f''(x)$ как производную от $f'(x)$:

$f''(x) = \left(-\frac{1}{2}(5-x)^{-1/2}\right)' = -\frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)(5-x)^{-1/2-1} \cdot (5-x)' = \frac{1}{4}(5-x)^{-3/2} \cdot (-1) = -\frac{1}{4}(5-x)^{-3/2}$.

Запишем вторую производную в виде дроби: $f''(x) = -\frac{1}{4\sqrt{(5-x)^3}}$.

Подставим $x=1$ в выражение для второй производной:

$f''(1) = -\frac{1}{4}(5-1)^{-3/2} = -\frac{1}{4}(4)^{-3/2} = -\frac{1}{4 \cdot (\sqrt{4})^3} = -\frac{1}{4 \cdot 2^3} = -\frac{1}{4 \cdot 8} = -\frac{1}{32}$.

Ответ: $-\frac{1}{32}$.

2) Дана функция $f(x) = \sqrt{4-2x}$. Представим ее в виде $f(x) = (4-2x)^{1/2}$.

Найдем первую производную:

$f'(x) = \frac{1}{2}(4-2x)^{-1/2} \cdot (4-2x)' = \frac{1}{2}(4-2x)^{-1/2} \cdot (-2) = -(4-2x)^{-1/2}$.

Найдем вторую производную:

$f''(x) = \left(-(4-2x)^{-1/2}\right)' = - \left(-\frac{1}{2}\right)(4-2x)^{-3/2} \cdot (4-2x)' = \frac{1}{2}(4-2x)^{-3/2} \cdot (-2) = -(4-2x)^{-3/2}$.

Запишем вторую производную в виде дроби: $f''(x) = -\frac{1}{\sqrt{(4-2x)^3}}$.

Подставим $x=1$:

$f''(1) = -(4-2 \cdot 1)^{-3/2} = -(2)^{-3/2} = -\frac{1}{2^{3/2}} = -\frac{1}{\sqrt{8}} = -\frac{1}{2\sqrt{2}}$.

Ответ: $-\frac{1}{2\sqrt{2}}$.

3) Дана функция $f(x) = \sqrt{2x+3}$. Представим ее в виде $f(x) = (2x+3)^{1/2}$.

Найдем первую производную:

$f'(x) = \frac{1}{2}(2x+3)^{-1/2} \cdot (2x+3)' = \frac{1}{2}(2x+3)^{-1/2} \cdot 2 = (2x+3)^{-1/2}$.

Найдем вторую производную:

$f''(x) = \left((2x+3)^{-1/2}\right)' = -\frac{1}{2}(2x+3)^{-3/2} \cdot (2x+3)' = -\frac{1}{2}(2x+3)^{-3/2} \cdot 2 = -(2x+3)^{-3/2}$.

Запишем вторую производную в виде дроби: $f''(x) = -\frac{1}{\sqrt{(2x+3)^3}}$.

Подставим $x=1$:

$f''(1) = -(2 \cdot 1 + 3)^{-3/2} = -(5)^{-3/2} = -\frac{1}{5^{3/2}} = -\frac{1}{\sqrt{125}} = -\frac{1}{5\sqrt{5}}$.

Ответ: $-\frac{1}{5\sqrt{5}}$.

4) Дана функция $f(x) = \sqrt{2x^2-1}$. Представим ее в виде $f(x) = (2x^2-1)^{1/2}$.

Найдем первую производную:

$f'(x) = \frac{1}{2}(2x^2-1)^{-1/2} \cdot (2x^2-1)' = \frac{1}{2}(2x^2-1)^{-1/2} \cdot 4x = 2x(2x^2-1)^{-1/2}$.

Для нахождения второй производной используем правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v+uv'$:

$f''(x) = (2x)'(2x^2-1)^{-1/2} + 2x\left((2x^2-1)^{-1/2}\right)' = 2(2x^2-1)^{-1/2} + 2x \left(-\frac{1}{2}(2x^2-1)^{-3/2} \cdot 4x\right)$.

$f''(x) = 2(2x^2-1)^{-1/2} - 4x^2(2x^2-1)^{-3/2}$.

Для упрощения приведем выражение к общему знаменателю:

$f''(x) = \frac{2(2x^2-1)}{(2x^2-1)^{3/2}} - \frac{4x^2}{(2x^2-1)^{3/2}} = \frac{4x^2 - 2 - 4x^2}{(2x^2-1)^{3/2}} = \frac{-2}{(2x^2-1)^{3/2}}$.

Подставим $x=1$:

$f''(1) = \frac{-2}{(2(1)^2-1)^{3/2}} = \frac{-2}{(1)^{3/2}} = \frac{-2}{1} = -2$.

Ответ: $-2$.

Найдите $f''(x)$ (46.5–46.8):

46.5.1) $f(x) = \sin x;$

2) $f(x) = \operatorname{tg} x;$

3) $f(x) = \sin 2x;$

4) $f(x) = \sin^2 x;$

5) $f(x) = \cos 2x;$

6) $f(x) = \cos^2 x.$

1) Для функции $f(x) = \sin x$ найдем последовательно первую и вторую производные.

Первая производная: $f'(x) = (\sin x)' = \cos x$.

Вторая производная: $f''(x) = (f'(x))' = (\cos x)' = -\sin x$.

Ответ: $f''(x) = -\sin x$.

2) Для функции $f(x) = \operatorname{tg} x$ найдем последовательно первую и вторую производные.

Первая производная: $f'(x) = (\operatorname{tg} x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$.

Вторая производная. Для ее нахождения воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции, представив $f'(x)$ как $(\cos x)^{-2}$:

$f''(x) = ((\cos x)^{-2})' = -2(\cos x)^{-3} \cdot (\cos x)' = -2(\cos x)^{-3} \cdot (-\sin x) = \frac{2\sin x}{\cos^3 x}$.

Ответ: $f''(x) = \frac{2\sin x}{\cos^3 x}$.

3) Для функции $f(x) = \sin(2x)$ найдем производные, используя правило дифференцирования сложной функции.

Первая производная: $f'(x) = (\sin(2x))' = \cos(2x) \cdot (2x)' = 2\cos(2x)$.

Вторая производная: $f''(x) = (2\cos(2x))' = 2 \cdot (-\sin(2x)) \cdot (2x)' = 2 \cdot (-\sin(2x)) \cdot 2 = -4\sin(2x)$.

Ответ: $f''(x) = -4\sin(2x)$.

4) Для функции $f(x) = \sin^2 x$ найдем производные, используя правило дифференцирования сложной функции.

Первая производная: $f'(x) = (\sin^2 x)' = 2\sin x \cdot (\sin x)' = 2\sin x \cos x$. Используя формулу синуса двойного угла, упростим выражение: $f'(x) = \sin(2x)$.

Вторая производная: $f''(x) = (\sin(2x))' = \cos(2x) \cdot (2x)' = 2\cos(2x)$.

Ответ: $f''(x) = 2\cos(2x)$.

5) Для функции $f(x) = \cos(2x)$ найдем производные, используя правило дифференцирования сложной функции.

Первая производная: $f'(x) = (\cos(2x))' = -\sin(2x) \cdot (2x)' = -2\sin(2x)$.

Вторая производная: $f''(x) = (-2\sin(2x))' = -2 \cdot \cos(2x) \cdot (2x)' = -2 \cdot \cos(2x) \cdot 2 = -4\cos(2x)$.

Ответ: $f''(x) = -4\cos(2x)$.

6) Для функции $f(x) = \cos^2 x$ найдем производные, используя правило дифференцирования сложной функции.

Первая производная: $f'(x) = (\cos^2 x)' = 2\cos x \cdot (\cos x)' = 2\cos x \cdot (-\sin x) = -2\sin x \cos x$. Используя формулу синуса двойного угла, упростим выражение: $f'(x) = -\sin(2x)$.

Вторая производная: $f''(x) = (-\sin(2x))' = -\cos(2x) \cdot (2x)' = -2\cos(2x)$.

Ответ: $f''(x) = -2\cos(2x)$.

46.6. 1) $f(x) = \sqrt{x}$;

2) $f(x) = \sqrt{2x}$;

3) $f(x) = \sqrt{-x}$;

4) $f(x) = x\sqrt{x}$;

5) $f(x) = x-\sqrt{x}$;

6) $f(x) = x^2 - 2\sqrt{x}$.

1) Чтобы найти производную функции $f(x) = \sqrt{x}$, представим ее в виде степенной функции: $f(x) = x^{1/2}$. Далее воспользуемся формулой производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$.

$f'(x) = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{1/2-1} = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2x^{1/2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

2) Для нахождения производной функции $f(x) = \sqrt{2x}$ применим правило дифференцирования сложной функции (цепное правило). Пусть внешняя функция $g(u) = \sqrt{u}$, а внутренняя $u(x) = 2x$. Производная сложной функции равна произведению производной внешней функции по промежуточному аргументу на производную внутренней функции: $f'(x) = g'(u) \cdot u'(x)$.

$g'(u) = (\sqrt{u})' = \frac{1}{2\sqrt{u}}$.

$u'(x) = (2x)' = 2$.

Подставляем обратно $u = 2x$ и получаем:

$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{2x}} \cdot 2 = \frac{1}{\sqrt{2x}}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{1}{\sqrt{2x}}$.

3) Для функции $f(x) = \sqrt{-x}$ также используем правило производной сложной функции. Внешняя функция $g(u) = \sqrt{u}$, внутренняя $u(x) = -x$.

$g'(u) = \frac{1}{2\sqrt{u}}$.

$u'(x) = (-x)' = -1$.

$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{-x}} \cdot (-1) = -\frac{1}{2\sqrt{-x}}$.

Ответ: $f'(x) = -\frac{1}{2\sqrt{-x}}$.

4) Для функции $f(x) = x\sqrt{x}$ сначала преобразуем выражение, используя свойства степеней:

$f(x) = x^1 \cdot x^{1/2} = x^{1 + 1/2} = x^{3/2}$.

Теперь применим формулу производной степенной функции:

$f'(x) = (x^{3/2})' = \frac{3}{2}x^{3/2-1} = \frac{3}{2}x^{1/2} = \frac{3}{2}\sqrt{x}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{3}{2}\sqrt{x}$.

5) Для функции $f(x) = x - \sqrt{x}$ используем правило производной разности двух функций: $(u-v)' = u' - v'$.

$f'(x) = (x)' - (\sqrt{x})'$.

Мы знаем, что $(x)'=1$ и $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Следовательно, $f'(x) = 1 - \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Ответ: $f'(x) = 1 - \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

6) Для функции $f(x) = x^2 - 2\sqrt{x}$ применяем правило производной разности и правило вынесения константы за знак производной:

$f'(x) = (x^2)' - (2\sqrt{x})' = (x^2)' - 2(\sqrt{x})'$.

Производная от $x^2$ равна $2x$, а производная от $\sqrt{x}$ равна $\frac{1}{2\sqrt{x}}$.

$f'(x) = 2x - 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = 2x - \frac{1}{\sqrt{x}}$.

Ответ: $f'(x) = 2x - \frac{1}{\sqrt{x}}$.

46.7.1

1) $f(x) = x\sin x;$

2) $f(x) = x\sin 2x;$

3) $f(x) = (2x - 1)\sin x;$

4) $f(x) = x\cos x;$

5) $f(x) = x\cos 3x;$

6) $f(x) = 3x^2 - \cos(x^2 + 1).$

1) Для нахождения первообразной (неопределенного интеграла) для функции $f(x) = x \sin x$ используется метод интегрирования по частям, формула которого: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$.

Выберем $u$ и $dv$ следующим образом:

$u = x \implies du = dx$

$dv = \sin x \, dx \implies v = \int \sin x \, dx = -\cos x$

Теперь подставим эти выражения в формулу интегрирования по частям:

$\int x \sin x \, dx = x(-\cos x) - \int (-\cos x) \, dx = -x \cos x + \int \cos x \, dx$

Вычислив оставшийся интеграл, получаем окончательный результат:

$-x \cos x + \sin x + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

Ответ: $F(x) = \sin x - x \cos x + C$.

2) Для функции $f(x) = x \sin(2x)$ также применим интегрирование по частям.

Пусть $u = x$ и $dv = \sin(2x) \, dx$.

Тогда $du = dx$, а $v = \int \sin(2x) \, dx = -\frac{1}{2}\cos(2x)$.

Применяем формулу $\int u \, dv = uv - \int v \, du$:

$\int x \sin(2x) \, dx = x \left(-\frac{1}{2}\cos(2x)\right) - \int \left(-\frac{1}{2}\cos(2x)\right) \, dx = -\frac{1}{2}x \cos(2x) + \frac{1}{2} \int \cos(2x) \, dx$

Вычисляем оставшийся интеграл: $\int \cos(2x) \, dx = \frac{1}{2}\sin(2x)$.

Подставляем и получаем: $-\frac{1}{2}x \cos(2x) + \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2}\sin(2x)\right) + C = -\frac{1}{2}x \cos(2x) + \frac{1}{4}\sin(2x) + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{1}{4}\sin(2x) - \frac{1}{2}x \cos(2x) + C$.

3) Для функции $f(x) = (2x - 1)\sin x$ используем интегрирование по частям.

Пусть $u = 2x - 1$ и $dv = \sin x \, dx$.

Тогда $du = (2x-1)' \, dx = 2 \, dx$, а $v = \int \sin x \, dx = -\cos x$.

По формуле интегрирования по частям:

$\int (2x - 1) \sin x \, dx = (2x - 1)(-\cos x) - \int (-\cos x)(2 \, dx) = -(2x - 1)\cos x + 2 \int \cos x \, dx$

Вычисляем интеграл и упрощаем выражение:

$-(2x - 1)\cos x + 2\sin x + C = (1 - 2x)\cos x + 2\sin x + C$.

Ответ: $F(x) = (1 - 2x)\cos x + 2\sin x + C$.

4) Для нахождения первообразной функции $f(x) = x \cos x$ применим интегрирование по частям.

Пусть $u = x$ и $dv = \cos x \, dx$.

Тогда $du = dx$, а $v = \int \cos x \, dx = \sin x$.

Подставляем в формулу $\int u \, dv = uv - \int v \, du$:

$\int x \cos x \, dx = x \sin x - \int \sin x \, dx = x \sin x - (-\cos x) + C = x \sin x + \cos x + C$.

Ответ: $F(x) = x \sin x + \cos x + C$.

5) Для функции $f(x) = x \cos(3x)$ снова используем интегрирование по частям.

Пусть $u = x$ и $dv = \cos(3x) \, dx$.

Тогда $du = dx$, а $v = \int \cos(3x) \, dx = \frac{1}{3}\sin(3x)$.

По формуле:

$\int x \cos(3x) \, dx = x \left(\frac{1}{3}\sin(3x)\right) - \int \frac{1}{3}\sin(3x) \, dx = \frac{1}{3}x \sin(3x) - \frac{1}{3} \int \sin(3x) \, dx$

Вычисляем оставшийся интеграл $\int \sin(3x) \, dx = -\frac{1}{3}\cos(3x)$.

Подставляем и получаем окончательный вид первообразной:

$\frac{1}{3}x \sin(3x) - \frac{1}{3} \left(-\frac{1}{3}\cos(3x)\right) + C = \frac{1}{3}x \sin(3x) + \frac{1}{9}\cos(3x) + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{1}{3}x \sin(3x) + \frac{1}{9}\cos(3x) + C$.

6) Первообразная для функции $f(x) = 3x^2 - \cos(x^2 + 1)$ не может быть выражена через элементарные функции. Интеграл $\int \cos(x^2 + 1) dx$, называемый интегралом Френеля, не является элементарным. Вероятнее всего, в условии задачи допущена опечатка. Наиболее распространенной заменой в таких случаях является изменение аргумента косинуса, чтобы задача стала решаемой стандартными школьными методами. Предположим, что имелась в виду функция $f(x) = 3x^2 - \cos(x)$.

Найдем первообразную для этой скорректированной функции:

$\int (3x^2 - \cos x) \, dx = \int 3x^2 \, dx - \int \cos x \, dx$

Используя таблицу первообразных, находим:

$\int 3x^2 \, dx = x^3$

$\int \cos x \, dx = \sin x$

Таким образом, первообразная для исправленной функции равна $x^3 - \sin x + C$.

Ответ: В предположении, что исходная функция была $f(x) = 3x^2 - \cos(x)$, первообразная равна $F(x) = x^3 - \sin x + C$.

46.8.

1) $f(x) = \sin^2 2x;$

2) $f(x) = x^2 \sin 2x;$

3) $f(x) = (x^2 - 1)\sin x;$

4) $f(x) = x \cos 2x;$

5) $f(x) = (x + 1)^2 \cos 2x;$

6) $f(x) = x \cos(x^2 + 1).$

1) Для нахождения первообразной функции $f(x) = \sin^2(2x)$ необходимо вычислить интеграл $\int \sin^2(2x) dx$.

Воспользуемся формулой понижения степени для синуса: $\sin^2(\alpha) = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$.

Применим эту формулу к нашей функции, где $\alpha = 2x$:

$\sin^2(2x) = \frac{1 - \cos(2 \cdot 2x)}{2} = \frac{1 - \cos(4x)}{2}$.

Теперь интегрируем полученное выражение:

$\int \frac{1 - \cos(4x)}{2} dx = \frac{1}{2} \int (1 - \cos(4x)) dx = \frac{1}{2} \left( \int 1 dx - \int \cos(4x) dx \right)$.

Вычислим интегралы: $\int 1 dx = x$ и $\int \cos(4x) dx = \frac{1}{4}\sin(4x)$.

Подставим результаты обратно:

$\frac{1}{2} \left( x - \frac{1}{4}\sin(4x) \right) + C = \frac{x}{2} - \frac{1}{8}\sin(4x) + C$, где C - произвольная постоянная.

Ответ: $F(x) = \frac{x}{2} - \frac{1}{8}\sin(4x) + C$.

2) Для нахождения первообразной функции $f(x) = x^2\sin(2x)$ необходимо вычислить интеграл $\int x^2\sin(2x) dx$.

Применим метод интегрирования по частям $\int u \, dv = uv - \int v \, du$.

Пусть $u = x^2$ и $dv = \sin(2x)dx$. Тогда $du = 2x \, dx$ и $v = \int \sin(2x)dx = -\frac{1}{2}\cos(2x)$.

$\int x^2\sin(2x) dx = x^2 \left(-\frac{1}{2}\cos(2x)\right) - \int \left(-\frac{1}{2}\cos(2x)\right) (2x \, dx) = -\frac{1}{2}x^2\cos(2x) + \int x\cos(2x) dx$.

К интегралу $\int x\cos(2x) dx$ снова применим интегрирование по частям.

Пусть $u = x$ и $dv = \cos(2x)dx$. Тогда $du = dx$ и $v = \int \cos(2x)dx = \frac{1}{2}\sin(2x)$.

$\int x\cos(2x) dx = x \left(\frac{1}{2}\sin(2x)\right) - \int \frac{1}{2}\sin(2x) dx = \frac{1}{2}x\sin(2x) - \frac{1}{2} \left(-\frac{1}{2}\cos(2x)\right) = \frac{1}{2}x\sin(2x) + \frac{1}{4}\cos(2x)$.

Подставим результат в исходное выражение:

$\int x^2\sin(2x) dx = -\frac{1}{2}x^2\cos(2x) + \frac{1}{2}x\sin(2x) + \frac{1}{4}\cos(2x) + C = \frac{1}{2}x\sin(2x) + \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{2}x^2\right)\cos(2x) + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{1}{2}x\sin(2x) + \frac{1-2x^2}{4}\cos(2x) + C$.

3) Для нахождения первообразной функции $f(x) = (x^2 - 1)\sin x$ необходимо вычислить интеграл $\int (x^2 - 1)\sin x \, dx$.

Разобьем интеграл на два: $\int x^2\sin x \, dx - \int \sin x \, dx$.

Второй интеграл равен $\int \sin x \, dx = -\cos x$.

Первый интеграл $\int x^2\sin x \, dx$ вычислим методом интегрирования по частям.

Пусть $u = x^2$ и $dv = \sin x \, dx$. Тогда $du = 2x \, dx$ и $v = -\cos x$.

$\int x^2\sin x \, dx = -x^2\cos x - \int (-\cos x)(2x \, dx) = -x^2\cos x + 2\int x\cos x \, dx$.

Для интеграла $\int x\cos x \, dx$ снова применим интегрирование по частям.

Пусть $u = x$ и $dv = \cos x \, dx$. Тогда $du = dx$ и $v = \sin x$.

$\int x\cos x \, dx = x\sin x - \int \sin x \, dx = x\sin x - (-\cos x) = x\sin x + \cos x$.

Подставляем обратно: $\int x^2\sin x \, dx = -x^2\cos x + 2(x\sin x + \cos x) = -x^2\cos x + 2x\sin x + 2\cos x$.

Теперь объединим все части:

$(-x^2\cos x + 2x\sin x + 2\cos x) - (-\cos x) + C = -x^2\cos x + 2x\sin x + 2\cos x + \cos x + C = (3 - x^2)\cos x + 2x\sin x + C$.

Ответ: $F(x) = (3 - x^2)\cos x + 2x\sin x + C$.

4) Для нахождения первообразной функции $f(x) = x\cos(2x)$ необходимо вычислить интеграл $\int x\cos(2x) dx$.

Применим метод интегрирования по частям $\int u \, dv = uv - \int v \, du$.

Пусть $u = x$ и $dv = \cos(2x)dx$. Тогда $du = dx$ и $v = \int \cos(2x)dx = \frac{1}{2}\sin(2x)$.

$\int x\cos(2x) dx = x \left(\frac{1}{2}\sin(2x)\right) - \int \frac{1}{2}\sin(2x) dx = \frac{1}{2}x\sin(2x) - \frac{1}{2} \int \sin(2x) dx$.

Вычислим оставшийся интеграл: $\int \sin(2x) dx = -\frac{1}{2}\cos(2x)$.

Подставляем обратно: $\frac{1}{2}x\sin(2x) - \frac{1}{2} \left(-\frac{1}{2}\cos(2x)\right) + C = \frac{1}{2}x\sin(2x) + \frac{1}{4}\cos(2x) + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{1}{2}x\sin(2x) + \frac{1}{4}\cos(2x) + C$.

5) Для нахождения первообразной функции $f(x) = (x + 1)^2\cos(2x)$ необходимо вычислить интеграл $\int (x + 1)^2\cos(2x) dx$.

Раскроем скобки: $(x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1$.

Интеграл примет вид: $\int (x^2 + 2x + 1)\cos(2x) dx = \int x^2\cos(2x)dx + 2\int x\cos(2x)dx + \int \cos(2x)dx$.

Вычислим каждый интеграл по отдельности:

1. $\int \cos(2x)dx = \frac{1}{2}\sin(2x)$.

2. $2\int x\cos(2x)dx = 2 \left( \frac{1}{2}x\sin(2x) + \frac{1}{4}\cos(2x) \right) = x\sin(2x) + \frac{1}{2}\cos(2x)$ (используя результат из пункта 4).

3. $\int x^2\cos(2x)dx$. Применим интегрирование по частям. Пусть $u=x^2, dv=\cos(2x)dx$. Тогда $du=2xdx, v=\frac{1}{2}\sin(2x)$.

$\int x^2\cos(2x)dx = \frac{1}{2}x^2\sin(2x) - \int \frac{1}{2}\sin(2x) (2x dx) = \frac{1}{2}x^2\sin(2x) - \int x\sin(2x)dx$.

Для $\int x\sin(2x)dx$ снова по частям: $u=x, dv=\sin(2x)dx \Rightarrow du=dx, v=-\frac{1}{2}\cos(2x)$.

$\int x\sin(2x)dx = -\frac{1}{2}x\cos(2x) - \int (-\frac{1}{2}\cos(2x))dx = -\frac{1}{2}x\cos(2x) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\sin(2x) = -\frac{1}{2}x\cos(2x) + \frac{1}{4}\sin(2x)$.

Тогда $\int x^2\cos(2x)dx = \frac{1}{2}x^2\sin(2x) - \left(-\frac{1}{2}x\cos(2x) + \frac{1}{4}\sin(2x)\right) = \left(\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{4}\right)\sin(2x) + \frac{1}{2}x\cos(2x)$.

Суммируем все три части:

$F(x) = \left(\left(\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{4}\right)\sin(2x) + \frac{1}{2}x\cos(2x)\right) + \left(x\sin(2x) + \frac{1}{2}\cos(2x)\right) + \frac{1}{2}\sin(2x) + C$.

Группируем слагаемые при $\sin(2x)$ и $\cos(2x)$:

$F(x) = \left(\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{4} + x + \frac{1}{2}\right)\sin(2x) + \left(\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}\right)\cos(2x) + C = \left(\frac{1}{2}x^2 + x + \frac{1}{4}\right)\sin(2x) + \frac{x+1}{2}\cos(2x) + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{2x^2+4x+1}{4}\sin(2x) + \frac{x+1}{2}\cos(2x) + C$.

6) Для нахождения первообразной функции $f(x) = x\cos(x^2 + 1)$ необходимо вычислить интеграл $\int x\cos(x^2 + 1) dx$.

Применим метод замены переменной (подстановки).

Пусть $u = x^2 + 1$. Тогда дифференциал $du = (x^2 + 1)' dx = 2x \, dx$.

Отсюда выразим $x \, dx = \frac{du}{2}$.

Подставим в интеграл:

$\int \cos(x^2 + 1) (x \, dx) = \int \cos(u) \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int \cos(u) du$.

Интеграл от косинуса: $\frac{1}{2} \int \cos(u) du = \frac{1}{2}\sin(u) + C$.

Теперь выполним обратную замену, подставив $u = x^2 + 1$:

$\frac{1}{2}\sin(x^2 + 1) + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{1}{2}\sin(x^2 + 1) + C$.

46.9. Точка движется прямолинейно по закону $x(t) = \cos3t$ (где $t$ — время в секундах, $x(t)$ — координата точки в метрах). Найдите формулу ускорения движения точки в момент времени $t$.

Чтобы найти формулу ускорения движения точки, необходимо найти вторую производную от закона движения $x(t)$ по времени $t$. Ускорение $a(t)$ связано с координатой $x(t)$ соотношением $a(t) = x''(t)$.

Задан закон движения точки: $x(t) = \cos(3t)$.

1. Сначала найдем мгновенную скорость $v(t)$, которая является первой производной от координаты по времени. Для этого воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции $(f(g(t)))' = f'(g(t)) \cdot g'(t)$.

$v(t) = x'(t) = (\cos(3t))' = -\sin(3t) \cdot (3t)' = -3\sin(3t)$.

2. Теперь найдем ускорение $a(t)$, взяв производную от функции скорости $v(t)$.

$a(t) = v'(t) = (-3\sin(3t))'$.

Снова применяем правило дифференцирования сложной функции:

$a(t) = -3 \cdot (\sin(3t))' = -3 \cdot \cos(3t) \cdot (3t)' = -3 \cdot \cos(3t) \cdot 3 = -9\cos(3t)$.

Таким образом, формула ускорения движения точки в момент времени $t$ имеет вид $a(t) = -9\cos(3t)$.

Ответ: $a(t) = -9\cos(3t)$

46.10. Постройте схематический график $f''(x)$, если:

1) $f(x) = 0,6 x^3;$

2) $f(x) = x \cdot (2x^2 - 1);$

3) $f(x) = \frac{1}{4}\sin^2x;$

4) $f(x) = \frac{1}{x}.$

1) Чтобы построить схематический график второй производной $f''(x)$, необходимо найти эту производную.

Дана функция: $f(x) = 0,6x^3$.

Найдем первую производную:

$f'(x) = (0,6x^3)' = 0,6 \cdot 3x^{3-1} = 1,8x^2$.

Теперь найдем вторую производную:

$f''(x) = (1,8x^2)' = 1,8 \cdot 2x^{2-1} = 3,6x$.

Функция $f''(x) = 3,6x$ является линейной. Ее график — это прямая, проходящая через начало координат (точку (0, 0)). Угловой коэффициент $k=3,6$ положителен, следовательно, прямая возрастает и расположена в I и III координатных четвертях.

Ответ: График $f''(x)$ — это прямая линия $y = 3,6x$, проходящая через начало координат.

2) Сначала упростим выражение для функции $f(x)$:

$f(x) = x \cdot (2x^2 - 1) = 2x^3 - x$.

Найдем первую производную:

$f'(x) = (2x^3 - x)' = 2 \cdot 3x^2 - 1 = 6x^2 - 1$.

Найдем вторую производную:

$f''(x) = (6x^2 - 1)' = 6 \cdot 2x - 0 = 12x$.

Функция $f''(x) = 12x$ является линейной. Ее график — это прямая, проходящая через начало координат (0, 0) с угловым коэффициентом $k=12$. Так как коэффициент положительный, прямая возрастает и расположена в I и III координатных четвертях.

Ответ: График $f''(x)$ — это прямая линия $y = 12x$, проходящая через начало координат.

3) Дана функция: $f(x) = \frac{1}{4}\sin^2x$.

Для нахождения производной используем правило производной сложной функции.

Первая производная:

$f'(x) = (\frac{1}{4}\sin^2x)' = \frac{1}{4} \cdot 2\sin x \cdot (\sin x)' = \frac{1}{2}\sin x \cos x$.

Применим формулу синуса двойного угла $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin(2\alpha)$:

$f'(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin(2x)}{2} = \frac{1}{4}\sin(2x)$.

Вторая производная:

$f''(x) = (\frac{1}{4}\sin(2x))' = \frac{1}{4}\cos(2x) \cdot (2x)' = \frac{1}{4}\cos(2x) \cdot 2 = \frac{1}{2}\cos(2x)$.

Графиком функции $f''(x) = \frac{1}{2}\cos(2x)$ является косинусоида.

Ее основные характеристики:

- Амплитуда равна $\frac{1}{2}$. Максимальное значение функции равно $\frac{1}{2}$, минимальное — $-\frac{1}{2}$.

- Период $T = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{2} = \pi$.

Схематически это график функции $y=\cos x$, сжатый в 2 раза вдоль оси Oy и в 2 раза вдоль оси Ox.

Ответ: График $f''(x)$ — это косинусоида $y = \frac{1}{2}\cos(2x)$ с амплитудой $\frac{1}{2}$ и периодом $\pi$.

4) Дана функция: $f(x) = \frac{1}{x}$. Для дифференцирования представим ее в виде $f(x) = x^{-1}$.

Найдем первую производную:

$f'(x) = (x^{-1})' = -1 \cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$.

Найдем вторую производную:

$f''(x) = (-x^{-2})' = -(-2)x^{-3} = 2x^{-3} = \frac{2}{x^3}$.

Графиком функции $f''(x) = \frac{2}{x^3}$ является график, похожий на гиперболу.

- Область определения: $x \neq 0$. Ось Oy ($x=0$) является вертикальной асимптотой.

- При $x \to \infty$ и $x \to -\infty$, $f''(x) \to 0$. Ось Ox ($y=0$) является горизонтальной асимптотой.

- Если $x > 0$, то $x^3 > 0$ и $f''(x) > 0$. Ветвь графика находится в I координатной четверти.

- Если $x < 0$, то $x^3 < 0$ и $f''(x) < 0$. Ветвь графика находится в III координатной четверти.

Ответ: График $f''(x)$ — это функция $y=\frac{2}{x^3}$, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях, с асимптотами $x=0$ и $y=0$.

1) $f(x) = \text{arctg}x$;

2) $f(x) = x \cdot \text{arctg}x$.

1) f(x) = arctg x

Чтобы найти производную второго порядка, $f''(x)$, необходимо сначала найти первую производную функции, $f'(x)$, а затем найти производную от результата.

Шаг 1: Находим первую производную $f'(x)$.

Производная функции арктангенс является табличной:

$f'(x) = (\arctan x)' = \frac{1}{1+x^2}$.

Шаг 2: Находим вторую производную $f''(x)$, дифференцируя $f'(x)$.

$f''(x) = (f'(x))' = \left(\frac{1}{1+x^2}\right)'$.

Для удобства вычисления представим дробь в виде степени: $\frac{1}{1+x^2} = (1+x^2)^{-1}$.

Теперь воспользуемся правилом дифференцирования степенной функции $(u^n)' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'$ (цепное правило):

$f''(x) = ((1+x^2)^{-1})' = -1 \cdot (1+x^2)^{-1-1} \cdot (1+x^2)' = -1 \cdot (1+x^2)^{-2} \cdot (2x) = -\frac{2x}{(1+x^2)^2}$.

Ответ: $f''(x) = -\frac{2x}{(1+x^2)^2}$

2) f(x) = x · arctg x

Как и в предыдущем пункте, найдем производную второго порядка путем последовательного дифференцирования.

Шаг 1: Находим первую производную $f'(x)$.

Функция представляет собой произведение двух функций $u(x)=x$ и $v(x)=\arctan x$. Применим правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$.

$u' = (x)' = 1$

$v' = (\arctan x)' = \frac{1}{1+x^2}$

$f'(x) = (x \cdot \arctan x)' = (x)' \cdot \arctan x + x \cdot (\arctan x)' = 1 \cdot \arctan x + x \cdot \frac{1}{1+x^2} = \arctan x + \frac{x}{1+x^2}$.

Шаг 2: Находим вторую производную $f''(x)$, дифференцируя $f'(x)$.

$f''(x) = \left(\arctan x + \frac{x}{1+x^2}\right)'$.

Используем правило дифференцирования суммы $(g+h)'=g'+h'$:

$f''(x) = (\arctan x)' + \left(\frac{x}{1+x^2}\right)'$.

Производная первого слагаемого нам уже известна: $(\arctan x)' = \frac{1}{1+x^2}$.

Для нахождения производной второго слагаемого применим правило дифференцирования частного $\left(\frac{g}{h}\right)' = \frac{g'h - gh'}{h^2}$:

$\left(\frac{x}{1+x^2}\right)' = \frac{(x)'(1+x^2) - x(1+x^2)'}{(1+x^2)^2} = \frac{1 \cdot (1+x^2) - x \cdot (2x)}{(1+x^2)^2} = \frac{1+x^2-2x^2}{(1+x^2)^2} = \frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}$.

Теперь сложим обе части:

$f''(x) = \frac{1}{1+x^2} + \frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}$.

Приведем дроби к общему знаменателю $(1+x^2)^2$:

$f''(x) = \frac{1 \cdot (1+x^2)}{(1+x^2)^2} + \frac{1-x^2}{(1+x^2)^2} = \frac{1+x^2+1-x^2}{(1+x^2)^2} = \frac{2}{(1+x^2)^2}$.

Ответ: $f''(x) = \frac{2}{(1+x^2)^2}$

46.12. Точка движется прямолинейно по закону $s(t) = \frac{4t+3}{t+4}$ (где $t$ — время в секундах, $s(t)$ — измеряется в метрах). Найдите ускорение движения точки в момент времени $t = 6$ с.

По условию, закон прямолинейного движения точки задан функцией $s(t) = \frac{4t + 3}{t + 4}$. Ускорение движения точки $a(t)$ является второй производной от функции пути $s(t)$ по времени.

Сначала найдем скорость движения точки $v(t)$, которая является первой производной от пути по времени, $v(t) = s'(t)$. Для этого воспользуемся правилом дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$: $v(t) = s'(t) = \left(\frac{4t + 3}{t + 4}\right)' = \frac{(4t+3)'(t+4) - (4t+3)(t+4)'}{(t+4)^2} = \frac{4(t+4) - (4t+3) \cdot 1}{(t+4)^2} = \frac{4t+16-4t-3}{(t+4)^2} = \frac{13}{(t+4)^2}$.

Теперь найдем ускорение $a(t)$, взяв производную от функции скорости $v(t)$. Для удобства представим функцию скорости в виде $v(t) = 13(t+4)^{-2}$ и применим правило дифференцирования сложной функции: $a(t) = v'(t) = (13(t+4)^{-2})' = 13 \cdot (-2) \cdot (t+4)^{-2-1} \cdot (t+4)' = -26(t+4)^{-3} \cdot 1 = \frac{-26}{(t+4)^3}$.

Вычислим значение ускорения в момент времени $t = 6$ с, подставив это значение в полученную формулу для ускорения $a(t)$: $a(6) = \frac{-26}{(6+4)^3} = \frac{-26}{10^3} = \frac{-26}{1000} = -0,026$ м/с².

Ответ: -0,026 м/с².