Страница 91, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

45.11. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке $x_0$:

1) $f(x) = 2\sin^2x + \sqrt{3}$, $x_0 = \frac{3\pi}{4}$; 2) $f(x) = \cos^2x - 1$, $x_0 = \frac{2\pi}{3}$;

3) $f(x) = \cos3x + 1$, $x_0 = \frac{\pi}{3}$; 4) $f(x) = \cos^23x - \sin^23x$, $x_0 = \frac{5\pi}{6}$;

5) $f(x) = \arccos3x$, $x_0 = \frac{1}{4}$; 6) $f(x) = \arcsin^2x$, $x_0 = \frac{1}{2}$.

Угловой коэффициент касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке $x_0$ равен значению производной функции в этой точке, то есть $k = f'(x_0)$.

1) Дана функция $f(x) = 2\sin^2x + \sqrt{3}$ и точка $x_0 = \frac{3\pi}{4}$.

Сначала найдем производную функции. Используя правило дифференцирования сложной функции и тот факт, что производная константы равна нулю, получаем:

$f'(x) = (2\sin^2x + \sqrt{3})' = 2 \cdot 2\sin x \cdot (\sin x)' + 0 = 4\sin x \cos x$.

Используя формулу синуса двойного угла $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin(2\alpha)$, упростим выражение для производной:

$f'(x) = 2(2\sin x \cos x) = 2\sin(2x)$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{3\pi}{4}$:

$k = f'(\frac{3\pi}{4}) = 2\sin(2 \cdot \frac{3\pi}{4}) = 2\sin(\frac{3\pi}{2}) = 2 \cdot (-1) = -2$.

Ответ: -2

2) Дана функция $f(x) = \cos^2x - 1$ и точка $x_0 = \frac{2\pi}{3}$.

Упростим функцию, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2x + \cos^2x = 1$, из которого следует, что $\cos^2x - 1 = -\sin^2x$.

Итак, $f(x) = -\sin^2x$.

Найдем производную этой функции:

$f'(x) = -(\sin^2x)' = -2\sin x \cdot (\sin x)' = -2\sin x \cos x$.

Применим формулу синуса двойного угла: $f'(x) = -\sin(2x)$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{2\pi}{3}$:

$k = f'(\frac{2\pi}{3}) = -\sin(2 \cdot \frac{2\pi}{3}) = -\sin(\frac{4\pi}{3})$.

Так как $\sin(\frac{4\pi}{3}) = \sin(\pi + \frac{\pi}{3}) = -\sin(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, то

$k = -(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

3) Дана функция $f(x) = \cos3x + 1$ и точка $x_0 = \frac{\pi}{3}$.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (\cos3x + 1)' = -\sin(3x) \cdot (3x)' + 0 = -3\sin(3x)$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{3}$:

$k = f'(\frac{\pi}{3}) = -3\sin(3 \cdot \frac{\pi}{3}) = -3\sin(\pi) = -3 \cdot 0 = 0$.

Ответ: 0

4) Дана функция $f(x) = \cos^23x - \sin^23x$ и точка $x_0 = \frac{5\pi}{6}$.

Упростим функцию, используя формулу косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$. Для $\alpha = 3x$ получаем:

$f(x) = \cos(2 \cdot 3x) = \cos(6x)$.

Найдем производную этой функции:

$f'(x) = (\cos(6x))' = -\sin(6x) \cdot (6x)' = -6\sin(6x)$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{5\pi}{6}$:

$k = f'(\frac{5\pi}{6}) = -6\sin(6 \cdot \frac{5\pi}{6}) = -6\sin(5\pi)$.

Поскольку $\sin(5\pi) = 0$, то $k = -6 \cdot 0 = 0$.

Ответ: 0

5) Дана функция $f(x) = \arccos3x$ и точка $x_0 = \frac{1}{4}$.

Найдем производную функции, используя формулу производной арккосинуса $(\arccos u)' = -\frac{u'}{\sqrt{1-u^2}}$. В нашем случае $u=3x$, $u'=3$.

$f'(x) = -\frac{3}{\sqrt{1-(3x)^2}} = -\frac{3}{\sqrt{1-9x^2}}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{1}{4}$:

$k = f'(\frac{1}{4}) = -\frac{3}{\sqrt{1-9(\frac{1}{4})^2}} = -\frac{3}{\sqrt{1-9 \cdot \frac{1}{16}}} = -\frac{3}{\sqrt{1-\frac{9}{16}}} = -\frac{3}{\sqrt{\frac{7}{16}}} = -\frac{3}{\frac{\sqrt{7}}{4}} = -3 \cdot \frac{4}{\sqrt{7}} = -\frac{12}{\sqrt{7}}$.

Ответ: $-\frac{12}{\sqrt{7}}$

6) Дана функция $f(x) = \arcsin^2x$ и точка $x_0 = \frac{1}{2}$.

Представим функцию как $f(x) = (\arcsin x)^2$. Найдем производную, используя правило дифференцирования сложной функции и производную арксинуса $(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$:

$f'(x) = 2(\arcsin x) \cdot (\arcsin x)' = \frac{2\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{1}{2}$:

$k = f'(\frac{1}{2}) = \frac{2\arcsin(\frac{1}{2})}{\sqrt{1-(\frac{1}{2})^2}}$.

Мы знаем, что $\arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$. Знаменатель равен $\sqrt{1-\frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Подставляем значения:

$k = \frac{2 \cdot \frac{\pi}{6}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\frac{\pi}{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\pi}{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\pi}{3\sqrt{3}}$.

Ответ: $\frac{2\pi}{3\sqrt{3}}$

45.12. Решите неравенство $f'(x) \ge 0$:

1) $f(x) = \frac{1}{3}\cos3x + x;$

2) $f(x) = 2\sin\frac{1}{2}x - \sqrt{3}x;$

3) $f(x) = 3\cos^2x + 2\sin^2x - x;$

4) $f(x) = \sin^23x - \frac{1}{12}\cos6x + 5x;$

5) $f(x) = \arccos3x + 2x + 3;$

6) $f(x) = \text{arcctg}2x + 2x - 1.$

1) Для функции $f(x) = \frac{1}{3}\cos(3x) + x$ найдем ее производную. Используя правило дифференцирования сложной функции, получаем: $f'(x) = (\frac{1}{3}\cos(3x) + x)' = \frac{1}{3}(-\sin(3x)) \cdot (3x)' + 1 = \frac{1}{3}(-\sin(3x)) \cdot 3 + 1 = 1 - \sin(3x)$. Теперь решим неравенство $f'(x) \ge 0$: $1 - \sin(3x) \ge 0$, что эквивалентно $\sin(3x) \le 1$. Область значений функции синус — отрезок $[-1, 1]$, поэтому неравенство $\sin(3x) \le 1$ выполняется для всех действительных значений $x$. Ответ: $x \in (-\infty, +\infty)$.

2) Для функции $f(x) = 2\sin(\frac{1}{2}x) - \sqrt{3}x$ найдем ее производную: $f'(x) = (2\sin(\frac{1}{2}x) - \sqrt{3}x)' = 2\cos(\frac{1}{2}x) \cdot (\frac{1}{2}x)' - \sqrt{3} = 2\cos(\frac{1}{2}x) \cdot \frac{1}{2} - \sqrt{3} = \cos(\frac{1}{2}x) - \sqrt{3}$. Решим неравенство $f'(x) \ge 0$: $\cos(\frac{1}{2}x) - \sqrt{3} \ge 0$, что эквивалентно $\cos(\frac{1}{2}x) \ge \sqrt{3}$. Так как максимальное значение функции косинус равно 1, а $\sqrt{3} \approx 1.732 > 1$, данное неравенство не имеет решений. Ответ: $\emptyset$.

3) Упростим функцию $f(x) = 3\cos^2x + 2\sin^2x - x$, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2x + \cos^2x = 1$: $f(x) = \cos^2x + 2\cos^2x + 2\sin^2x - x = \cos^2x + 2(\cos^2x + \sin^2x) - x = \cos^2x + 2 - x$. Найдем производную: $f'(x) = (\cos^2x + 2 - x)' = 2\cos x \cdot (-\sin x) - 1 = -2\sin x \cos x - 1$. Используя формулу синуса двойного угла $2\sin x \cos x = \sin(2x)$, получаем $f'(x) = -\sin(2x) - 1$. Решим неравенство $f'(x) \ge 0$: $-\sin(2x) - 1 \ge 0$, что эквивалентно $\sin(2x) \le -1$. Поскольку область значений синуса — $[-1, 1]$, это неравенство выполняется только в случае равенства: $\sin(2x) = -1$. Решением этого уравнения является $2x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Отсюда $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

4) Для функции $f(x) = \sin^2(3x) - \frac{1}{12}\cos(6x) + 5x$ применим формулу понижения степени $\sin^2\alpha = \frac{1-\cos(2\alpha)}{2}$: $f(x) = \frac{1-\cos(6x)}{2} - \frac{1}{12}\cos(6x) + 5x = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos(6x) - \frac{1}{12}\cos(6x) + 5x = \frac{1}{2} - \frac{7}{12}\cos(6x) + 5x$. Найдем производную: $f'(x) = (\frac{1}{2} - \frac{7}{12}\cos(6x) + 5x)' = -\frac{7}{12}(-\sin(6x)) \cdot 6 + 5 = \frac{7}{2}\sin(6x) + 5$. Решим неравенство $f'(x) \ge 0$: $\frac{7}{2}\sin(6x) + 5 \ge 0$, что дает $\frac{7}{2}\sin(6x) \ge -5$, или $\sin(6x) \ge -\frac{10}{7}$. Так как $-1 > -\frac{10}{7}$, а наименьшее значение синуса равно -1, неравенство выполняется для всех действительных $x$. Ответ: $x \in (-\infty, +\infty)$.

5) Для функции $f(x) = \arccos(3x) + 2x + 3$ область определения задается условием $-1 \le 3x \le 1$, то есть $x \in [-\frac{1}{3}, \frac{1}{3}]$. Найдем производную: $f'(x) = (\arccos(3x) + 2x + 3)' = -\frac{1}{\sqrt{1-(3x)^2}} \cdot 3 + 2 = 2 - \frac{3}{\sqrt{1-9x^2}}$. Область определения производной $1-9x^2 > 0$, т.е. $x \in (-\frac{1}{3}, \frac{1}{3})$. Решим неравенство $f'(x) \ge 0$ на этой области: $2 - \frac{3}{\sqrt{1-9x^2}} \ge 0 \implies 2 \ge \frac{3}{\sqrt{1-9x^2}}$. Так как обе части положительны, можем умножить на знаменатель и возвести в квадрат: $2\sqrt{1-9x^2} \ge 3 \implies 4(1-9x^2) \ge 9 \implies 4 - 36x^2 \ge 9 \implies -36x^2 \ge 5 \implies x^2 \le -\frac{5}{36}$. Квадрат действительного числа не может быть отрицательным, следовательно, это неравенство не имеет решений. Ответ: $\emptyset$.

6) Для функции $f(x) = \text{arcctg}(2x) + 2x - 1$ найдем ее производную. Область определения функции и ее производной — все действительные числа. $f'(x) = (\text{arcctg}(2x) + 2x - 1)' = -\frac{1}{1+(2x)^2} \cdot 2 + 2 = 2 - \frac{2}{1+4x^2}$. Решим неравенство $f'(x) \ge 0$: $2 - \frac{2}{1+4x^2} \ge 0 \implies 2 \ge \frac{2}{1+4x^2} \implies 1 \ge \frac{1}{1+4x^2}$. Так как знаменатель $1+4x^2$ всегда положителен, умножим обе части на него: $1+4x^2 \ge 1 \implies 4x^2 \ge 0 \implies x^2 \ge 0$. Это неравенство верно для любого действительного числа $x$. Ответ: $x \in (-\infty, +\infty)$.

45.13. Пользуясь правилами и формулами дифференцирования, для функции $f(x)$ найдите производную первого порядка:

1) $f(x) = 2\arccos(4x) + 2\sqrt{3}$;

2) $f(x) = \text{arcctg}(4x) + 2x - 7$;

3) $f(x) = \sin^3(3x) + \frac{1}{6}\cos(6x) - x$;

4) $f(x) = \sin^4(3x) + 4x$;

5) $f(x) = \cos^6(2x) - 4\sqrt{5}x$;

6) $f(x) = \frac{x+3}{x-5} - 2x + \pi x$.

1) Для функции $f(x) = 2\arccos(4x) + 2\sqrt{3}$ найдем производную, используя правило дифференцирования суммы и правило для сложной функции. Производная суммы функций равна сумме их производных: $f'(x) = (2\arccos(4x))' + (2\sqrt{3})'$.

Производная константы $(2\sqrt{3})'$ равна 0.

Для нахождения производной слагаемого $2\arccos(4x)$ применим цепное правило. Пусть $u = 4x$, тогда $u' = 4$. Используем табличную производную $(\arccos u)' = -\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}$.

$(2\arccos(4x))' = 2 \cdot (\arccos(4x))' = 2 \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{1-(4x)^2}}\right) \cdot (4x)' = 2 \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{1-16x^2}}\right) \cdot 4 = -\frac{8}{\sqrt{1-16x^2}}$.

Складывая производные, получаем: $f'(x) = -\frac{8}{\sqrt{1-16x^2}} + 0 = -\frac{8}{\sqrt{1-16x^2}}$.

Ответ: $f'(x) = -\frac{8}{\sqrt{1-16x^2}}$.

2) Для функции $f(x) = \text{arcctg}4x + 2x - 7$ производная находится как сумма производных каждого слагаемого: $f'(x) = (\text{arcctg}4x)' + (2x)' - (7)'$.

Производная $(\text{arcctg}4x)'$ является производной сложной функции. Пусть $u=4x$, тогда $u'=4$. Используем табличную производную $(\text{arcctg} u)' = -\frac{1}{1+u^2}$.

$(\text{arcctg}4x)' = -\frac{1}{1+(4x)^2} \cdot (4x)' = -\frac{1}{1+16x^2} \cdot 4 = -\frac{4}{1+16x^2}$.

Производная $(2x)' = 2$.

Производная константы $(7)' = 0$.

Складывая результаты, получаем: $f'(x) = -\frac{4}{1+16x^2} + 2 - 0 = 2 - \frac{4}{1+16x^2}$.

Ответ: $f'(x) = 2 - \frac{4}{1+16x^2}$.

3) Для функции $f(x) = \sin^2(3x) + \frac{1}{6}\cos(6x) - x$ найдем производную по частям: $f'(x) = (\sin^2(3x))' + (\frac{1}{6}\cos(6x))' - (x)'$.

Для первого слагаемого $(\sin^2(3x))'$ применяем цепное правило дважды. Пусть $v = \sin(3x)$ и $u = 3x$. Тогда функция имеет вид $v^2$.

$(\sin^2(3x))' = 2\sin(3x) \cdot (\sin(3x))' = 2\sin(3x) \cdot \cos(3x) \cdot (3x)' = 2\sin(3x)\cos(3x) \cdot 3 = 6\sin(3x)\cos(3x)$. Используя формулу двойного угла $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin(2\alpha)$, получаем $3\sin(6x)$.

Для второго слагаемого $(\frac{1}{6}\cos(6x))'$ используем цепное правило: $(\frac{1}{6}\cos(6x))' = \frac{1}{6} \cdot (-\sin(6x)) \cdot (6x)' = -\frac{1}{6}\sin(6x) \cdot 6 = -\sin(6x)$.

Производная третьего слагаемого $(x)' = 1$.

Итоговая производная: $f'(x) = 3\sin(6x) - \sin(6x) - 1 = 2\sin(6x) - 1$.

Ответ: $f'(x) = 2\sin(6x) - 1$.

4) Для функции $f(x) = \sin^4(3x) + 4x$ найдем производную по правилу суммы: $f'(x) = (\sin^4(3x))' + (4x)'$.

Для первого слагаемого $(\sin^4(3x))'$ применяем цепное правило. Пусть $v = \sin(3x)$ и $u = 3x$.

$(\sin^4(3x))' = 4\sin^3(3x) \cdot (\sin(3x))' = 4\sin^3(3x) \cdot \cos(3x) \cdot (3x)' = 4\sin^3(3x)\cos(3x) \cdot 3 = 12\sin^3(3x)\cos(3x)$.

Производная второго слагаемого $(4x)' = 4$.

Складывая результаты: $f'(x) = 12\sin^3(3x)\cos(3x) + 4$.

Ответ: $f'(x) = 12\sin^3(3x)\cos(3x) + 4$.

5) Для функции $f(x) = \cos^6(2x) - 4\sqrt{5}x$ найдем производную по правилу разности: $f'(x) = (\cos^6(2x))' - (4\sqrt{5}x)'$.

Для первого слагаемого $(\cos^6(2x))'$ применяем цепное правило. Пусть $v = \cos(2x)$ и $u = 2x$.

$(\cos^6(2x))' = 6\cos^5(2x) \cdot (\cos(2x))' = 6\cos^5(2x) \cdot (-\sin(2x)) \cdot (2x)' = 6\cos^5(2x)(-\sin(2x)) \cdot 2 = -12\cos^5(2x)\sin(2x)$.

Производная второго слагаемого $(4\sqrt{5}x)' = 4\sqrt{5}$.

Итоговая производная: $f'(x) = -12\cos^5(2x)\sin(2x) - 4\sqrt{5}$.

Ответ: $f'(x) = -12\cos^5(2x)\sin(2x) - 4\sqrt{5}$.

6) Для функции $f(x) = \frac{x+3}{x-5} - 2x + \pi x$ найдем производную по правилу суммы/разности: $f'(x) = \left(\frac{x+3}{x-5}\right)' - (2x)' + (\pi x)'$.

Для первого слагаемого используем правило дифференцирования частного $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. Пусть $u = x+3$ и $v = x-5$. Тогда $u' = 1$ и $v' = 1$.

$\left(\frac{x+3}{x-5}\right)' = \frac{1 \cdot (x-5) - (x+3) \cdot 1}{(x-5)^2} = \frac{x-5-x-3}{(x-5)^2} = -\frac{8}{(x-5)^2}$.

Производная второго слагаемого $(2x)' = 2$.

Производная третьего слагаемого $(\pi x)' = \pi$, так как $\pi$ - константа.

Собирая все вместе: $f'(x) = -\frac{8}{(x-5)^2} - 2 + \pi$.

Ответ: $f'(x) = \pi - 2 - \frac{8}{(x-5)^2}$.

45.14. Найдите значение производной функции в точке:

1) $f(x) = \arcsin^2 x + x, x_0 = \frac{\sqrt{3}}{2};$

2) $f(x) = \text{arctg}^2 x + \sqrt{3}, x_0 = \frac{\sqrt{3}}{3};$

3) $f(x) = x - 2\arccos^2 x, x_0 = \frac{\sqrt{3}}{2};$

4) $f(x) = \frac{1}{x} - \text{arcctg}^2 x, x_0 = 1.$

ПОВТОРИТЕ

1) f(x) = arcsin²x + x, x₀ = √3/2;

Для нахождения значения производной функции в точке $x_0$, сначала найдем производную функции $f(x)$ в общем виде. Используем правило дифференцирования суммы и правило дифференцирования сложной функции.

$f'(x) = (\arcsin^2 x + x)' = (\arcsin^2 x)' + (x)'$

$(x)' = 1$

$(\arcsin^2 x)' = 2 \arcsin x \cdot (\arcsin x)' = 2 \arcsin x \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{2 \arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}$

Таким образом, производная функции: $f'(x) = \frac{2 \arcsin x}{\sqrt{1-x^2}} + 1$

Теперь подставим значение $x_0 = \frac{\sqrt{3}}{2}$ в выражение для производной:

$f'(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{2 \arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2})}{\sqrt{1-(\frac{\sqrt{3}}{2})^2}} + 1$

Мы знаем, что $\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{3}$ и $\sqrt{1-(\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{1-\frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.

$f'(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{2 \cdot \frac{\pi}{3}}{\frac{1}{2}} + 1 = \frac{2\pi}{3} \cdot 2 + 1 = \frac{4\pi}{3} + 1$

Ответ: $1 + \frac{4\pi}{3}$.

2) f(x) = arctg²x + √3, x₀ = √3/3;

Найдем производную функции $f(x)$. Производная константы $\sqrt{3}$ равна нулю. Используем правило дифференцирования сложной функции.

$f'(x) = (\operatorname{arctg}^2 x + \sqrt{3})' = (\operatorname{arctg}^2 x)' + (\sqrt{3})'$

$(\operatorname{arctg}^2 x)' = 2 \operatorname{arctg} x \cdot (\operatorname{arctg} x)' = 2 \operatorname{arctg} x \cdot \frac{1}{1+x^2} = \frac{2 \operatorname{arctg} x}{1+x^2}$

Таким образом, производная функции: $f'(x) = \frac{2 \operatorname{arctg} x}{1+x^2}$

Теперь подставим значение $x_0 = \frac{\sqrt{3}}{3}$ в выражение для производной:

$f'(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{2 \operatorname{arctg}(\frac{\sqrt{3}}{3})}{1+(\frac{\sqrt{3}}{3})^2}$

Мы знаем, что $\operatorname{arctg}(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{6}$ и $1+(\frac{\sqrt{3}}{3})^2 = 1+\frac{3}{9} = 1+\frac{1}{3} = \frac{4}{3}$.

$f'(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{2 \cdot \frac{\pi}{6}}{\frac{4}{3}} = \frac{\frac{\pi}{3}}{\frac{4}{3}} = \frac{\pi}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{\pi}{4}$

Ответ: $\frac{\pi}{4}$.

3) f(x) = x - 2arccos²x, x₀ = √3/2;

Найдем производную функции $f(x)$.

$f'(x) = (x - 2\arccos^2 x)' = (x)' - (2\arccos^2 x)'$

$(x)' = 1$

$(2\arccos^2 x)' = 2 \cdot (\arccos^2 x)' = 2 \cdot 2 \arccos x \cdot (\arccos x)' = 4 \arccos x \cdot (-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}) = -\frac{4 \arccos x}{\sqrt{1-x^2}}$

Таким образом, производная функции: $f'(x) = 1 - (-\frac{4 \arccos x}{\sqrt{1-x^2}}) = 1 + \frac{4 \arccos x}{\sqrt{1-x^2}}$

Теперь подставим значение $x_0 = \frac{\sqrt{3}}{2}$ в выражение для производной:

$f'(\frac{\sqrt{3}}{2}) = 1 + \frac{4 \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2})}{\sqrt{1-(\frac{\sqrt{3}}{2})^2}}$

Мы знаем, что $\arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{6}$ и $\sqrt{1-(\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{1-\frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.

$f'(\frac{\sqrt{3}}{2}) = 1 + \frac{4 \cdot \frac{\pi}{6}}{\frac{1}{2}} = 1 + \frac{\frac{2\pi}{3}}{\frac{1}{2}} = 1 + \frac{2\pi}{3} \cdot 2 = 1 + \frac{4\pi}{3}$

Ответ: $1 + \frac{4\pi}{3}$.

4) f(x) = 1/x - arcctg²x, x₀ = 1.

Найдем производную функции $f(x)$.

$f'(x) = (\frac{1}{x} - \operatorname{arcctg}^2 x)' = (\frac{1}{x})' - (\operatorname{arcctg}^2 x)'$

$(\frac{1}{x})' = -\frac{1}{x^2}$

$(\operatorname{arcctg}^2 x)' = 2 \operatorname{arcctg} x \cdot (\operatorname{arcctg} x)' = 2 \operatorname{arcctg} x \cdot (-\frac{1}{1+x^2}) = -\frac{2 \operatorname{arcctg} x}{1+x^2}$

Таким образом, производная функции: $f'(x) = -\frac{1}{x^2} - (-\frac{2 \operatorname{arcctg} x}{1+x^2}) = -\frac{1}{x^2} + \frac{2 \operatorname{arcctg} x}{1+x^2}$

Теперь подставим значение $x_0 = 1$ в выражение для производной:

$f'(1) = -\frac{1}{1^2} + \frac{2 \operatorname{arcctg}(1)}{1+1^2}$

Мы знаем, что $\operatorname{arcctg}(1) = \frac{\pi}{4}$.

$f'(1) = -1 + \frac{2 \cdot \frac{\pi}{4}}{1+1} = -1 + \frac{\frac{\pi}{2}}{2} = -1 + \frac{\pi}{4}$

Ответ: $\frac{\pi}{4} - 1$.

45.15. Найдите значения a и b, при которых функция

$f(x) = \begin{cases} 1 - x, & x \geq 0, \\ x^3 + ax + b, & x < 0: \end{cases}$

1) непрерывна в точке $x_0 = 0;$

2) дифференцируема в точке $x_0 = 0.$

1) непрерывна в точке $x_0 = 0$;

Функция $f(x)$ является непрерывной в точке $x_0$, если ее предел в этой точке существует и равен значению функции в этой точке. Это означает, что односторонние пределы (слева и справа) должны быть равны друг другу и равны значению функции в самой точке $x_0=0$. То есть, должно выполняться условие: $\lim_{x \to 0-} f(x) = \lim_{x \to 0+} f(x) = f(0)$.

Сначала найдем значение функции в точке $x_0 = 0$. Согласно определению функции, при $x \ge 0$ используется формула $f(x) = 1 - x$.

Следовательно, $f(0) = 1 - 0 = 1$.

Далее, найдем правосторонний предел (когда $x$ стремится к 0 справа, то есть $x > 0$):

$\lim_{x \to 0+} f(x) = \lim_{x \to 0+} (1 - x) = 1 - 0 = 1$.

Теперь найдем левосторонний предел (когда $x$ стремится к 0 слева, то есть $x < 0$):

$\lim_{x \to 0-} f(x) = \lim_{x \to 0-} (x^3 + ax + b) = 0^3 + a \cdot 0 + b = b$.

Чтобы функция была непрерывной в точке $x_0 = 0$, необходимо, чтобы выполнялось равенство: $\lim_{x \to 0-} f(x) = f(0)$.

Подставляя найденные значения, получаем: $b = 1$.

При этом значение параметра $a$ не влияет на непрерывность, так как в левостороннем пределе оно умножается на $x$, которое стремится к нулю. Таким образом, $a$ может быть любым действительным числом.

Ответ: функция непрерывна при $b = 1$ и любом значении $a$.

2) дифференцируема в точке $x_0 = 0$.

Функция дифференцируема в точке, если она, во-первых, непрерывна в этой точке. Из предыдущего пункта мы знаем, что для этого необходимо выполнение условия $b = 1$.

Во-вторых, для дифференцируемости необходимо, чтобы производные слева и справа в точке $x_0 = 0$ существовали и были равны. Это значит, что $f'_{-}(0) = f'_{+}(0)$.

Найдем производную функции для каждого из интервалов.

При $x > 0$, функция задана как $f(x) = 1 - x$. Ее производная $f'(x) = (1 - x)' = -1$.

Следовательно, правосторонняя производная в точке $0$ равна:

$f'_{+}(0) = \lim_{x \to 0+} (-1) = -1$.

При $x < 0$, функция задана как $f(x) = x^3 + ax + b$. Ее производная $f'(x) = (x^3 + ax + b)' = 3x^2 + a$.

Следовательно, левосторонняя производная в точке $0$ равна:

$f'_{-}(0) = \lim_{x \to 0-} (3x^2 + a) = 3 \cdot 0^2 + a = a$.

Условие дифференцируемости $f'_{-}(0) = f'_{+}(0)$ дает нам уравнение:

$a = -1$.

Таким образом, чтобы функция была дифференцируема в точке $x_0 = 0$, должны выполняться оба условия: $b = 1$ (для непрерывности) и $a = -1$ (для равенства производных).

Ответ: функция дифференцируема при $a = -1$ и $b = 1$.

45.16. Найдите, при каких значениях $a$ и $b$ функция

$f(x) = \begin{cases} 3x + 1, x < 0, \\ x^3 + ax + b, x \ge 0: \end{cases}$

1) непрерывна в точке $x_0 = 0$;

2) дифференцируема в точке $x_0 = 0$.

1) непрерывна в точке $x_0 = 0$;

Для того чтобы функция была непрерывна в точке $x_0 = 0$, необходимо и достаточно, чтобы предел функции слева, предел функции справа и значение функции в этой точке были равны: $ \lim_{x\to0^-} f(x) = \lim_{x\to0^+} f(x) = f(0) $.

Найдем левосторонний предел (при $x \to 0^-$ используется формула $f(x) = 3x + 1$):

$ \lim_{x\to0^-} f(x) = \lim_{x\to0^-} (3x + 1) = 3 \cdot 0 + 1 = 1 $.

Найдем правосторонний предел и значение функции в точке $x_0=0$ (при $x \to 0^+$ и при $x=0$ используется формула $f(x) = x^3 + ax + b$):

$ \lim_{x\to0^+} f(x) = \lim_{x\to0^+} (x^3 + ax + b) = 0^3 + a \cdot 0 + b = b $.

$ f(0) = 0^3 + a \cdot 0 + b = b $.

Условие непрерывности в точке $x_0 = 0$ выполняется, если левосторонний предел равен правостороннему пределу и значению функции в точке:

$ 1 = b $.

При $b = 1$ условие непрерывности $ \lim_{x\to0^-} f(x) = \lim_{x\to0^+} f(x) = f(0) $ выполняется. Значение параметра $a$ может быть любым действительным числом, так как оно не влияет на непрерывность функции в точке $x_0 = 0$.

Ответ: $a \in \mathbb{R}, b = 1$.

2) дифференцируема в точке $x_0 = 0$.

Для того чтобы функция была дифференцируема в точке $x_0 = 0$, она должна быть, во-первых, непрерывна в этой точке. Из пункта 1) мы знаем, что для этого необходимо, чтобы $b = 1$.

Во-вторых, производные функции слева и справа в точке $x_0 = 0$ должны существовать и быть равны. Найдем производные для каждой части функции.

Для $x < 0$: $f(x) = 3x + 1$. Производная $f'(x) = (3x + 1)' = 3$.

Для $x > 0$: $f(x) = x^3 + ax + b$. Производная $f'(x) = (x^3 + ax + b)' = 3x^2 + a$.

Теперь найдем односторонние производные в точке $x_0 = 0$, которые равны соответствующим пределам производных.

Левосторонняя производная:

$ f'_-(0) = \lim_{x\to0^-} f'(x) = \lim_{x\to0^-} 3 = 3 $.

Правосторонняя производная:

$ f'_+(0) = \lim_{x\to0^+} f'(x) = \lim_{x\to0^+} (3x^2 + a) = 3 \cdot 0^2 + a = a $.

Для дифференцируемости функции в точке $x_0 = 0$ необходимо, чтобы левосторонняя и правосторонняя производные были равны:

$ f'_-(0) = f'_+(0) $

$ 3 = a $.

Таким образом, функция дифференцируема в точке $x_0 = 0$ при одновременном выполнении двух условий: $b = 1$ (условие непрерывности) и $a = 3$ (условие равенства производных).

Ответ: $a = 3, b = 1$.