Номер 45.13, страница 91, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

45.13. Пользуясь правилами и формулами дифференцирования, для функции $f(x)$ найдите производную первого порядка:

1) $f(x) = 2\arccos(4x) + 2\sqrt{3}$;

2) $f(x) = \text{arcctg}(4x) + 2x - 7$;

3) $f(x) = \sin^3(3x) + \frac{1}{6}\cos(6x) - x$;

4) $f(x) = \sin^4(3x) + 4x$;

5) $f(x) = \cos^6(2x) - 4\sqrt{5}x$;

6) $f(x) = \frac{x+3}{x-5} - 2x + \pi x$.

1) Для функции $f(x) = 2\arccos(4x) + 2\sqrt{3}$ найдем производную, используя правило дифференцирования суммы и правило для сложной функции. Производная суммы функций равна сумме их производных: $f'(x) = (2\arccos(4x))' + (2\sqrt{3})'$.

Производная константы $(2\sqrt{3})'$ равна 0.

Для нахождения производной слагаемого $2\arccos(4x)$ применим цепное правило. Пусть $u = 4x$, тогда $u' = 4$. Используем табличную производную $(\arccos u)' = -\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}$.

$(2\arccos(4x))' = 2 \cdot (\arccos(4x))' = 2 \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{1-(4x)^2}}\right) \cdot (4x)' = 2 \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{1-16x^2}}\right) \cdot 4 = -\frac{8}{\sqrt{1-16x^2}}$.

Складывая производные, получаем: $f'(x) = -\frac{8}{\sqrt{1-16x^2}} + 0 = -\frac{8}{\sqrt{1-16x^2}}$.

Ответ: $f'(x) = -\frac{8}{\sqrt{1-16x^2}}$.

2) Для функции $f(x) = \text{arcctg}4x + 2x - 7$ производная находится как сумма производных каждого слагаемого: $f'(x) = (\text{arcctg}4x)' + (2x)' - (7)'$.

Производная $(\text{arcctg}4x)'$ является производной сложной функции. Пусть $u=4x$, тогда $u'=4$. Используем табличную производную $(\text{arcctg} u)' = -\frac{1}{1+u^2}$.

$(\text{arcctg}4x)' = -\frac{1}{1+(4x)^2} \cdot (4x)' = -\frac{1}{1+16x^2} \cdot 4 = -\frac{4}{1+16x^2}$.

Производная $(2x)' = 2$.

Производная константы $(7)' = 0$.

Складывая результаты, получаем: $f'(x) = -\frac{4}{1+16x^2} + 2 - 0 = 2 - \frac{4}{1+16x^2}$.

Ответ: $f'(x) = 2 - \frac{4}{1+16x^2}$.

3) Для функции $f(x) = \sin^2(3x) + \frac{1}{6}\cos(6x) - x$ найдем производную по частям: $f'(x) = (\sin^2(3x))' + (\frac{1}{6}\cos(6x))' - (x)'$.

Для первого слагаемого $(\sin^2(3x))'$ применяем цепное правило дважды. Пусть $v = \sin(3x)$ и $u = 3x$. Тогда функция имеет вид $v^2$.

$(\sin^2(3x))' = 2\sin(3x) \cdot (\sin(3x))' = 2\sin(3x) \cdot \cos(3x) \cdot (3x)' = 2\sin(3x)\cos(3x) \cdot 3 = 6\sin(3x)\cos(3x)$. Используя формулу двойного угла $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin(2\alpha)$, получаем $3\sin(6x)$.

Для второго слагаемого $(\frac{1}{6}\cos(6x))'$ используем цепное правило: $(\frac{1}{6}\cos(6x))' = \frac{1}{6} \cdot (-\sin(6x)) \cdot (6x)' = -\frac{1}{6}\sin(6x) \cdot 6 = -\sin(6x)$.

Производная третьего слагаемого $(x)' = 1$.

Итоговая производная: $f'(x) = 3\sin(6x) - \sin(6x) - 1 = 2\sin(6x) - 1$.

Ответ: $f'(x) = 2\sin(6x) - 1$.

4) Для функции $f(x) = \sin^4(3x) + 4x$ найдем производную по правилу суммы: $f'(x) = (\sin^4(3x))' + (4x)'$.

Для первого слагаемого $(\sin^4(3x))'$ применяем цепное правило. Пусть $v = \sin(3x)$ и $u = 3x$.

$(\sin^4(3x))' = 4\sin^3(3x) \cdot (\sin(3x))' = 4\sin^3(3x) \cdot \cos(3x) \cdot (3x)' = 4\sin^3(3x)\cos(3x) \cdot 3 = 12\sin^3(3x)\cos(3x)$.

Производная второго слагаемого $(4x)' = 4$.

Складывая результаты: $f'(x) = 12\sin^3(3x)\cos(3x) + 4$.

Ответ: $f'(x) = 12\sin^3(3x)\cos(3x) + 4$.

5) Для функции $f(x) = \cos^6(2x) - 4\sqrt{5}x$ найдем производную по правилу разности: $f'(x) = (\cos^6(2x))' - (4\sqrt{5}x)'$.

Для первого слагаемого $(\cos^6(2x))'$ применяем цепное правило. Пусть $v = \cos(2x)$ и $u = 2x$.

$(\cos^6(2x))' = 6\cos^5(2x) \cdot (\cos(2x))' = 6\cos^5(2x) \cdot (-\sin(2x)) \cdot (2x)' = 6\cos^5(2x)(-\sin(2x)) \cdot 2 = -12\cos^5(2x)\sin(2x)$.

Производная второго слагаемого $(4\sqrt{5}x)' = 4\sqrt{5}$.

Итоговая производная: $f'(x) = -12\cos^5(2x)\sin(2x) - 4\sqrt{5}$.

Ответ: $f'(x) = -12\cos^5(2x)\sin(2x) - 4\sqrt{5}$.

6) Для функции $f(x) = \frac{x+3}{x-5} - 2x + \pi x$ найдем производную по правилу суммы/разности: $f'(x) = \left(\frac{x+3}{x-5}\right)' - (2x)' + (\pi x)'$.

Для первого слагаемого используем правило дифференцирования частного $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. Пусть $u = x+3$ и $v = x-5$. Тогда $u' = 1$ и $v' = 1$.

$\left(\frac{x+3}{x-5}\right)' = \frac{1 \cdot (x-5) - (x+3) \cdot 1}{(x-5)^2} = \frac{x-5-x-3}{(x-5)^2} = -\frac{8}{(x-5)^2}$.

Производная второго слагаемого $(2x)' = 2$.

Производная третьего слагаемого $(\pi x)' = \pi$, так как $\pi$ - константа.

Собирая все вместе: $f'(x) = -\frac{8}{(x-5)^2} - 2 + \pi$.

Ответ: $f'(x) = \pi - 2 - \frac{8}{(x-5)^2}$.