Номер 45.18, страница 92, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

45.18. Решите уравнение разложением на множители:

1) $\cos(2(x + 60^\circ)) + 4\sin(x + 60^\circ) = 2,5;$

2) $2\cos^2(2x + 60^\circ) - 3\sin^2(x + 30^\circ) = 2;$

3) $9\text{ctg}^2x + 4\sin^2x = 6;$

4) $8\cos^4x = 11\cos2x - 1;$

5) $8\sin^4x + 13\cos2x = 7;$

6) $2\text{tg}^2x + 4\cos^2x = 7.$

1) Исходное уравнение: $cos(2(x + 60°)) + 4sin(x + 60°) = 2,5$.

Сделаем замену переменной $y = x + 60°$. Уравнение примет вид:

$cos(2y) + 4sin(y) = 2,5$.

Используем формулу косинуса двойного угла $cos(2y) = 1 - 2sin^2(y)$:

$1 - 2sin^2(y) + 4sin(y) = 2,5$.

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение относительно $sin(y)$:

$-2sin^2(y) + 4sin(y) - 1,5 = 0$.

Умножим уравнение на -2, чтобы избавиться от дроби и отрицательного старшего коэффициента:

$4sin^2(y) - 8sin(y) + 3 = 0$.

Сделаем еще одну замену $t = sin(y)$. Получим квадратное уравнение $4t^2 - 8t + 3 = 0$.

Разложим левую часть на множители:

$4t^2 - 2t - 6t + 3 = 0$

$2t(2t - 1) - 3(2t - 1) = 0$

$(2t - 1)(2t - 3) = 0$.

Вернемся к замене $t = sin(y)$:

$(2sin(y) - 1)(2sin(y) - 3) = 0$.

Это равенство выполняется, если один из множителей равен нулю.

Случай 1: $2sin(y) - 3 = 0 \implies sin(y) = 1,5$. Это уравнение не имеет решений, так как область значений синуса $[-1, 1]$.

Случай 2: $2sin(y) - 1 = 0 \implies sin(y) = 0,5$.

Решения для $y$:

$y = (-1)^n \arcsin(0,5) + 180° \cdot n, n \in \mathbb{Z}$.

$y = (-1)^n \cdot 30° + 180° \cdot n, n \in \mathbb{Z}$.

Теперь вернемся к переменной $x$, зная что $y = x + 60°$:

$x + 60° = (-1)^n \cdot 30° + 180° \cdot n$

$x = -60° + (-1)^n \cdot 30° + 180° \cdot n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -60° + (-1)^n \cdot 30° + 180° \cdot n, n \in \mathbb{Z}$.

2) Исходное уравнение: $2cos^2(2x + 60°) - 3sin^2(x + 30°) = 2$.

Заметим, что $2x + 60° = 2(x + 30°)$. Сделаем замену $y = x + 30°$. Уравнение примет вид:

$2cos^2(2y) - 3sin^2(y) = 2$.

Используем формулу понижения степени для синуса: $sin^2(y) = \frac{1 - cos(2y)}{2}$.

$2cos^2(2y) - 3 \cdot \frac{1 - cos(2y)}{2} = 2$.

Умножим обе части на 2:

$4cos^2(2y) - 3(1 - cos(2y)) = 4$

$4cos^2(2y) - 3 + 3cos(2y) = 4$

$4cos^2(2y) + 3cos(2y) - 7 = 0$.

Это квадратное уравнение относительно $cos(2y)$. Разложим его на множители. Если $t=cos(2y)$, то $4t^2+3t-7=0$. Сумма коэффициентов $4+3-7=0$, значит $t=1$ является корнем. Тогда $(t-1)$ - один из множителей.

$(t-1)(4t+7) = 4t^2+7t-4t-7 = 4t^2+3t-7$. Факторизация верна.

$(cos(2y) - 1)(4cos(2y) + 7) = 0$.

Случай 1: $4cos(2y) + 7 = 0 \implies cos(2y) = -7/4$. Решений нет, так как $|cos(\alpha)| \le 1$.

Случай 2: $cos(2y) - 1 = 0 \implies cos(2y) = 1$.

Решения для $2y$:

$2y = 360° \cdot k, k \in \mathbb{Z}$.

$y = 180° \cdot k, k \in \mathbb{Z}$.

Вернемся к $x$:

$x + 30° = 180° \cdot k$

$x = -30° + 180° \cdot k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -30° + 180° \cdot k, k \in \mathbb{Z}$.

3) Исходное уравнение: $9\mathrm{ctg}^2x + 4sin^2x = 6$.

Область допустимых значений: $sin(x) \neq 0$.

Используем определение котангенса $\mathrm{ctg}^2x = \frac{cos^2x}{sin^2x}$ и основное тригонометрическое тождество $cos^2x = 1 - sin^2x$:

$9\frac{1-sin^2x}{sin^2x} + 4sin^2x = 6$.

Умножим все уравнение на $sin^2x$ (это возможно, так как $sin^2x \neq 0$):

$9(1-sin^2x) + 4sin^4x = 6sin^2x$

$9 - 9sin^2x + 4sin^4x - 6sin^2x = 0$

$4sin^4x - 15sin^2x + 9 = 0$.

Это биквадратное уравнение относительно $sin(x)$. Пусть $t = sin^2x$. Получим $4t^2 - 15t + 9 = 0$.

Разложим на множители: $(4t - 3)(t - 3) = 4t^2 - 12t - 3t + 9 = 4t^2 - 15t + 9$.

$(4sin^2x - 3)(sin^2x - 3) = 0$.

Случай 1: $sin^2x - 3 = 0 \implies sin^2x = 3$. Решений нет, так как $sin^2x \le 1$.

Случай 2: $4sin^2x - 3 = 0 \implies sin^2x = 3/4$.

Используем формулу понижения степени $sin^2x = \frac{1-cos(2x)}{2}$:

$\frac{1-cos(2x)}{2} = \frac{3}{4}$

$1 - cos(2x) = \frac{3}{2}$

$cos(2x) = -\frac{1}{2}$.

$2x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi k = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

$x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Эти значения удовлетворяют ОДЗ, так как $sin(\pm \frac{\pi}{3} + \pi k) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \neq 0$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

4) Исходное уравнение: $8cos^4x = 11cos2x - 1$.

Используем формулу понижения степени $cos^2x = \frac{1 + cos(2x)}{2}$. Тогда $cos^4x = (cos^2x)^2 = (\frac{1 + cos(2x)}{2})^2 = \frac{1 + 2cos(2x) + cos^2(2x)}{4}$.

Подставим в уравнение:

$8 \cdot \frac{1 + 2cos(2x) + cos^2(2x)}{4} = 11cos(2x) - 1$

$2(1 + 2cos(2x) + cos^2(2x)) = 11cos(2x) - 1$

$2 + 4cos(2x) + 2cos^2(2x) - 11cos(2x) + 1 = 0$

$2cos^2(2x) - 7cos(2x) + 3 = 0$.

Это квадратное уравнение относительно $cos(2x)$. Пусть $t = cos(2x)$. Уравнение $2t^2 - 7t + 3 = 0$.

Разложим на множители: $2t^2 - t - 6t + 3 = t(2t-1) - 3(2t-1) = (t-3)(2t-1)$.

$(cos(2x) - 3)(2cos(2x) - 1) = 0$.

Случай 1: $cos(2x) - 3 = 0 \implies cos(2x) = 3$. Решений нет.

Случай 2: $2cos(2x) - 1 = 0 \implies cos(2x) = 1/2$.

$2x = \pm \arccos(\frac{1}{2}) + 2\pi k = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

$x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

5) Исходное уравнение: $8sin^4x + 13cos2x = 7$.

Используем формулу понижения степени $sin^2x = \frac{1 - cos(2x)}{2}$. Тогда $sin^4x = (sin^2x)^2 = (\frac{1 - cos(2x)}{2})^2 = \frac{1 - 2cos(2x) + cos^2(2x)}{4}$.

Подставим в уравнение:

$8 \cdot \frac{1 - 2cos(2x) + cos^2(2x)}{4} + 13cos(2x) = 7$

$2(1 - 2cos(2x) + cos^2(2x)) + 13cos(2x) = 7$

$2 - 4cos(2x) + 2cos^2(2x) + 13cos(2x) - 7 = 0$

$2cos^2(2x) + 9cos(2x) - 5 = 0$.

Это квадратное уравнение относительно $cos(2x)$. Пусть $t = cos(2x)$. Уравнение $2t^2 + 9t - 5 = 0$.

Разложим на множители: $2t^2 + 10t - t - 5 = 2t(t+5) - 1(t+5) = (2t-1)(t+5)$.

$(2cos(2x) - 1)(cos(2x) + 5) = 0$.

Случай 1: $cos(2x) + 5 = 0 \implies cos(2x) = -5$. Решений нет.

Случай 2: $2cos(2x) - 1 = 0 \implies cos(2x) = 1/2$.

$2x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

$x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

6) Исходное уравнение: $2\mathrm{tg}^2x + 4cos^2x = 7$.

Область допустимых значений: $cos(x) \neq 0$.

Используем тождество $\mathrm{tg}^2x = \frac{sin^2x}{cos^2x} = \frac{1-cos^2x}{cos^2x}$.

$2\frac{1-cos^2x}{cos^2x} + 4cos^2x = 7$.

Сделаем замену $t = cos^2x$. Учтем, что $0 < t \le 1$.

$2\frac{1-t}{t} + 4t = 7$.

Умножим обе части на $t$ (это возможно, так как $t \neq 0$):

$2(1-t) + 4t^2 = 7t$

$2 - 2t + 4t^2 - 7t = 0$

$4t^2 - 9t + 2 = 0$.

Разложим на множители: $4t^2 - 8t - t + 2 = 4t(t-2) - 1(t-2) = (4t-1)(t-2)$.

$(4cos^2x - 1)(cos^2x - 2) = 0$.

Случай 1: $cos^2x - 2 = 0 \implies cos^2x = 2$. Решений нет, так как $cos^2x \le 1$.

Случай 2: $4cos^2x - 1 = 0 \implies cos^2x = 1/4$.

Это значение удовлетворяет условию $0 < t \le 1$.

Используем формулу $cos(2x) = 2cos^2x - 1$:

$cos(2x) = 2(\frac{1}{4}) - 1 = \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2}$.

$2x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi k = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

$x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Эти значения удовлетворяют ОДЗ, так как $cos(\pm \frac{\pi}{3} + \pi k) = \pm \frac{1}{2} \neq 0$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.