Номер 46.2, страница 94, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

46.2. Найдите значение производной второго порядка для функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$:

1) $f(x) = x^3 - 3x^2 - 1, x_0 = -1;$

2) $f(x) = x^4 - x^3 - x, x_0 = 2;$

3) $f(x) = \sqrt{3 - x}, x_0 = -1;$

4) $f(x) = \sqrt{2x + 1}, x_0 = 4.$

1) Дана функция $f(x) = x³ - 3x² - 1$ и точка $x₀ = -1$.

Чтобы найти производную второго порядка, сначала найдем первую производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (x³ - 3x² - 1)' = 3x^{3-1} - 3 \cdot 2x^{2-1} - 0 = 3x² - 6x$.

Теперь найдем вторую производную, которая является производной от первой производной:

$f''(x) = (3x² - 6x)' = 3 \cdot 2x^{2-1} - 6 = 6x - 6$.

Подставим значение $x₀ = -1$ в выражение для второй производной, чтобы найти ее значение в этой точке:

$f''(-1) = 6(-1) - 6 = -6 - 6 = -12$.

Ответ: -12.

2) Дана функция $f(x) = x⁴ - x³ - x$ и точка $x₀ = 2$.

Найдем первую производную функции:

$f'(x) = (x⁴ - x³ - x)' = 4x³ - 3x² - 1$.

Найдем вторую производную:

$f''(x) = (4x³ - 3x² - 1)' = 4 \cdot 3x² - 3 \cdot 2x - 0 = 12x² - 6x$.

Вычислим значение второй производной в точке $x₀ = 2$:

$f''(2) = 12(2)² - 6(2) = 12 \cdot 4 - 12 = 48 - 12 = 36$.

Ответ: 36.

3) Дана функция $f(x) = \sqrt{3 - x}$ и точка $x₀ = -1$.

Представим функцию в виде степени для удобства дифференцирования: $f(x) = (3 - x)^{1/2}$.

Найдем первую производную, используя правило дифференцирования сложной функции (цепное правило):

$f'(x) = ((3 - x)^{1/2})' = \frac{1}{2}(3 - x)^{1/2 - 1} \cdot (3 - x)' = \frac{1}{2}(3 - x)^{-1/2} \cdot (-1) = -\frac{1}{2}(3 - x)^{-1/2}$.

Найдем вторую производную, снова применив цепное правило:

$f''(x) = (-\frac{1}{2}(3 - x)^{-1/2})' = -\frac{1}{2} \cdot (-\frac{1}{2})(3 - x)^{-1/2 - 1} \cdot (3 - x)' = \frac{1}{4}(3 - x)^{-3/2} \cdot (-1) = -\frac{1}{4}(3 - x)^{-3/2}$.

Вычислим значение второй производной в точке $x₀ = -1$:

$f''(-1) = -\frac{1}{4}(3 - (-1))^{-3/2} = -\frac{1}{4}(4)^{-3/2} = -\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4^{3/2}} = -\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{(\sqrt{4})³} = -\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2³} = -\frac{1}{4 \cdot 8} = -\frac{1}{32}$.

Ответ: $-\frac{1}{32}$.

4) Дана функция $f(x) = \sqrt{2x + 1}$ и точка $x₀ = 4$.

Представим функцию в виде степени: $f(x) = (2x + 1)^{1/2}$.

Найдем первую производную:

$f'(x) = ((2x + 1)^{1/2})' = \frac{1}{2}(2x + 1)^{-1/2} \cdot (2x + 1)' = \frac{1}{2}(2x + 1)^{-1/2} \cdot 2 = (2x + 1)^{-1/2}$.

Найдем вторую производную:

$f''(x) = ((2x + 1)^{-1/2})' = -\frac{1}{2}(2x + 1)^{-3/2} \cdot (2x + 1)' = -\frac{1}{2}(2x + 1)^{-3/2} \cdot 2 = -(2x + 1)^{-3/2}$.

Вычислим значение второй производной в точке $x₀ = 4$:

$f''(4) = -(2 \cdot 4 + 1)^{-3/2} = -(8 + 1)^{-3/2} = -(9)^{-3/2} = -\frac{1}{9^{3/2}} = -\frac{1}{(\sqrt{9})³} = -\frac{1}{3³} = -\frac{1}{27}$.

Ответ: $-\frac{1}{27}$.