Номер 46.5, страница 94, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Найдите $f''(x)$ (46.5–46.8):

46.5.1) $f(x) = \sin x;$

2) $f(x) = \operatorname{tg} x;$

3) $f(x) = \sin 2x;$

4) $f(x) = \sin^2 x;$

5) $f(x) = \cos 2x;$

6) $f(x) = \cos^2 x.$

1) Для функции $f(x) = \sin x$ найдем последовательно первую и вторую производные.

Первая производная: $f'(x) = (\sin x)' = \cos x$.

Вторая производная: $f''(x) = (f'(x))' = (\cos x)' = -\sin x$.

Ответ: $f''(x) = -\sin x$.

2) Для функции $f(x) = \operatorname{tg} x$ найдем последовательно первую и вторую производные.

Первая производная: $f'(x) = (\operatorname{tg} x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$.

Вторая производная. Для ее нахождения воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции, представив $f'(x)$ как $(\cos x)^{-2}$:

$f''(x) = ((\cos x)^{-2})' = -2(\cos x)^{-3} \cdot (\cos x)' = -2(\cos x)^{-3} \cdot (-\sin x) = \frac{2\sin x}{\cos^3 x}$.

Ответ: $f''(x) = \frac{2\sin x}{\cos^3 x}$.

3) Для функции $f(x) = \sin(2x)$ найдем производные, используя правило дифференцирования сложной функции.

Первая производная: $f'(x) = (\sin(2x))' = \cos(2x) \cdot (2x)' = 2\cos(2x)$.

Вторая производная: $f''(x) = (2\cos(2x))' = 2 \cdot (-\sin(2x)) \cdot (2x)' = 2 \cdot (-\sin(2x)) \cdot 2 = -4\sin(2x)$.

Ответ: $f''(x) = -4\sin(2x)$.

4) Для функции $f(x) = \sin^2 x$ найдем производные, используя правило дифференцирования сложной функции.

Первая производная: $f'(x) = (\sin^2 x)' = 2\sin x \cdot (\sin x)' = 2\sin x \cos x$. Используя формулу синуса двойного угла, упростим выражение: $f'(x) = \sin(2x)$.

Вторая производная: $f''(x) = (\sin(2x))' = \cos(2x) \cdot (2x)' = 2\cos(2x)$.

Ответ: $f''(x) = 2\cos(2x)$.

5) Для функции $f(x) = \cos(2x)$ найдем производные, используя правило дифференцирования сложной функции.

Первая производная: $f'(x) = (\cos(2x))' = -\sin(2x) \cdot (2x)' = -2\sin(2x)$.

Вторая производная: $f''(x) = (-2\sin(2x))' = -2 \cdot \cos(2x) \cdot (2x)' = -2 \cdot \cos(2x) \cdot 2 = -4\cos(2x)$.

Ответ: $f''(x) = -4\cos(2x)$.

6) Для функции $f(x) = \cos^2 x$ найдем производные, используя правило дифференцирования сложной функции.

Первая производная: $f'(x) = (\cos^2 x)' = 2\cos x \cdot (\cos x)' = 2\cos x \cdot (-\sin x) = -2\sin x \cos x$. Используя формулу синуса двойного угла, упростим выражение: $f'(x) = -\sin(2x)$.

Вторая производная: $f''(x) = (-\sin(2x))' = -\cos(2x) \cdot (2x)' = -2\cos(2x)$.

Ответ: $f''(x) = -2\cos(2x)$.