Номер 46.11, страница 94, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1) $f(x) = \text{arctg}x$;

2) $f(x) = x \cdot \text{arctg}x$.

1) f(x) = arctg x

Чтобы найти производную второго порядка, $f''(x)$, необходимо сначала найти первую производную функции, $f'(x)$, а затем найти производную от результата.

Шаг 1: Находим первую производную $f'(x)$.

Производная функции арктангенс является табличной:

$f'(x) = (\arctan x)' = \frac{1}{1+x^2}$.

Шаг 2: Находим вторую производную $f''(x)$, дифференцируя $f'(x)$.

$f''(x) = (f'(x))' = \left(\frac{1}{1+x^2}\right)'$.

Для удобства вычисления представим дробь в виде степени: $\frac{1}{1+x^2} = (1+x^2)^{-1}$.

Теперь воспользуемся правилом дифференцирования степенной функции $(u^n)' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'$ (цепное правило):

$f''(x) = ((1+x^2)^{-1})' = -1 \cdot (1+x^2)^{-1-1} \cdot (1+x^2)' = -1 \cdot (1+x^2)^{-2} \cdot (2x) = -\frac{2x}{(1+x^2)^2}$.

Ответ: $f''(x) = -\frac{2x}{(1+x^2)^2}$

2) f(x) = x · arctg x

Как и в предыдущем пункте, найдем производную второго порядка путем последовательного дифференцирования.

Шаг 1: Находим первую производную $f'(x)$.

Функция представляет собой произведение двух функций $u(x)=x$ и $v(x)=\arctan x$. Применим правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$.

$u' = (x)' = 1$

$v' = (\arctan x)' = \frac{1}{1+x^2}$

$f'(x) = (x \cdot \arctan x)' = (x)' \cdot \arctan x + x \cdot (\arctan x)' = 1 \cdot \arctan x + x \cdot \frac{1}{1+x^2} = \arctan x + \frac{x}{1+x^2}$.

Шаг 2: Находим вторую производную $f''(x)$, дифференцируя $f'(x)$.

$f''(x) = \left(\arctan x + \frac{x}{1+x^2}\right)'$.

Используем правило дифференцирования суммы $(g+h)'=g'+h'$:

$f''(x) = (\arctan x)' + \left(\frac{x}{1+x^2}\right)'$.

Производная первого слагаемого нам уже известна: $(\arctan x)' = \frac{1}{1+x^2}$.

Для нахождения производной второго слагаемого применим правило дифференцирования частного $\left(\frac{g}{h}\right)' = \frac{g'h - gh'}{h^2}$:

$\left(\frac{x}{1+x^2}\right)' = \frac{(x)'(1+x^2) - x(1+x^2)'}{(1+x^2)^2} = \frac{1 \cdot (1+x^2) - x \cdot (2x)}{(1+x^2)^2} = \frac{1+x^2-2x^2}{(1+x^2)^2} = \frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}$.

Теперь сложим обе части:

$f''(x) = \frac{1}{1+x^2} + \frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}$.

Приведем дроби к общему знаменателю $(1+x^2)^2$:

$f''(x) = \frac{1 \cdot (1+x^2)}{(1+x^2)^2} + \frac{1-x^2}{(1+x^2)^2} = \frac{1+x^2+1-x^2}{(1+x^2)^2} = \frac{2}{(1+x^2)^2}$.

Ответ: $f''(x) = \frac{2}{(1+x^2)^2}$