Номер 46.7, страница 94, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

46.7.1

1) $f(x) = x\sin x;$

2) $f(x) = x\sin 2x;$

3) $f(x) = (2x - 1)\sin x;$

4) $f(x) = x\cos x;$

5) $f(x) = x\cos 3x;$

6) $f(x) = 3x^2 - \cos(x^2 + 1).$

1) Для нахождения первообразной (неопределенного интеграла) для функции $f(x) = x \sin x$ используется метод интегрирования по частям, формула которого: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$.

Выберем $u$ и $dv$ следующим образом:

$u = x \implies du = dx$

$dv = \sin x \, dx \implies v = \int \sin x \, dx = -\cos x$

Теперь подставим эти выражения в формулу интегрирования по частям:

$\int x \sin x \, dx = x(-\cos x) - \int (-\cos x) \, dx = -x \cos x + \int \cos x \, dx$

Вычислив оставшийся интеграл, получаем окончательный результат:

$-x \cos x + \sin x + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

Ответ: $F(x) = \sin x - x \cos x + C$.

2) Для функции $f(x) = x \sin(2x)$ также применим интегрирование по частям.

Пусть $u = x$ и $dv = \sin(2x) \, dx$.

Тогда $du = dx$, а $v = \int \sin(2x) \, dx = -\frac{1}{2}\cos(2x)$.

Применяем формулу $\int u \, dv = uv - \int v \, du$:

$\int x \sin(2x) \, dx = x \left(-\frac{1}{2}\cos(2x)\right) - \int \left(-\frac{1}{2}\cos(2x)\right) \, dx = -\frac{1}{2}x \cos(2x) + \frac{1}{2} \int \cos(2x) \, dx$

Вычисляем оставшийся интеграл: $\int \cos(2x) \, dx = \frac{1}{2}\sin(2x)$.

Подставляем и получаем: $-\frac{1}{2}x \cos(2x) + \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2}\sin(2x)\right) + C = -\frac{1}{2}x \cos(2x) + \frac{1}{4}\sin(2x) + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{1}{4}\sin(2x) - \frac{1}{2}x \cos(2x) + C$.

3) Для функции $f(x) = (2x - 1)\sin x$ используем интегрирование по частям.

Пусть $u = 2x - 1$ и $dv = \sin x \, dx$.

Тогда $du = (2x-1)' \, dx = 2 \, dx$, а $v = \int \sin x \, dx = -\cos x$.

По формуле интегрирования по частям:

$\int (2x - 1) \sin x \, dx = (2x - 1)(-\cos x) - \int (-\cos x)(2 \, dx) = -(2x - 1)\cos x + 2 \int \cos x \, dx$

Вычисляем интеграл и упрощаем выражение:

$-(2x - 1)\cos x + 2\sin x + C = (1 - 2x)\cos x + 2\sin x + C$.

Ответ: $F(x) = (1 - 2x)\cos x + 2\sin x + C$.

4) Для нахождения первообразной функции $f(x) = x \cos x$ применим интегрирование по частям.

Пусть $u = x$ и $dv = \cos x \, dx$.

Тогда $du = dx$, а $v = \int \cos x \, dx = \sin x$.

Подставляем в формулу $\int u \, dv = uv - \int v \, du$:

$\int x \cos x \, dx = x \sin x - \int \sin x \, dx = x \sin x - (-\cos x) + C = x \sin x + \cos x + C$.

Ответ: $F(x) = x \sin x + \cos x + C$.

5) Для функции $f(x) = x \cos(3x)$ снова используем интегрирование по частям.

Пусть $u = x$ и $dv = \cos(3x) \, dx$.

Тогда $du = dx$, а $v = \int \cos(3x) \, dx = \frac{1}{3}\sin(3x)$.

По формуле:

$\int x \cos(3x) \, dx = x \left(\frac{1}{3}\sin(3x)\right) - \int \frac{1}{3}\sin(3x) \, dx = \frac{1}{3}x \sin(3x) - \frac{1}{3} \int \sin(3x) \, dx$

Вычисляем оставшийся интеграл $\int \sin(3x) \, dx = -\frac{1}{3}\cos(3x)$.

Подставляем и получаем окончательный вид первообразной:

$\frac{1}{3}x \sin(3x) - \frac{1}{3} \left(-\frac{1}{3}\cos(3x)\right) + C = \frac{1}{3}x \sin(3x) + \frac{1}{9}\cos(3x) + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{1}{3}x \sin(3x) + \frac{1}{9}\cos(3x) + C$.

6) Первообразная для функции $f(x) = 3x^2 - \cos(x^2 + 1)$ не может быть выражена через элементарные функции. Интеграл $\int \cos(x^2 + 1) dx$, называемый интегралом Френеля, не является элементарным. Вероятнее всего, в условии задачи допущена опечатка. Наиболее распространенной заменой в таких случаях является изменение аргумента косинуса, чтобы задача стала решаемой стандартными школьными методами. Предположим, что имелась в виду функция $f(x) = 3x^2 - \cos(x)$.

Найдем первообразную для этой скорректированной функции:

$\int (3x^2 - \cos x) \, dx = \int 3x^2 \, dx - \int \cos x \, dx$

Используя таблицу первообразных, находим:

$\int 3x^2 \, dx = x^3$

$\int \cos x \, dx = \sin x$

Таким образом, первообразная для исправленной функции равна $x^3 - \sin x + C$.

Ответ: В предположении, что исходная функция была $f(x) = 3x^2 - \cos(x)$, первообразная равна $F(x) = x^3 - \sin x + C$.