Номер 46.10, страница 94, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

46.10. Постройте схематический график $f''(x)$, если:

1) $f(x) = 0,6 x^3;$

2) $f(x) = x \cdot (2x^2 - 1);$

3) $f(x) = \frac{1}{4}\sin^2x;$

4) $f(x) = \frac{1}{x}.$

1) Чтобы построить схематический график второй производной $f''(x)$, необходимо найти эту производную.

Дана функция: $f(x) = 0,6x^3$.

Найдем первую производную:

$f'(x) = (0,6x^3)' = 0,6 \cdot 3x^{3-1} = 1,8x^2$.

Теперь найдем вторую производную:

$f''(x) = (1,8x^2)' = 1,8 \cdot 2x^{2-1} = 3,6x$.

Функция $f''(x) = 3,6x$ является линейной. Ее график — это прямая, проходящая через начало координат (точку (0, 0)). Угловой коэффициент $k=3,6$ положителен, следовательно, прямая возрастает и расположена в I и III координатных четвертях.

Ответ: График $f''(x)$ — это прямая линия $y = 3,6x$, проходящая через начало координат.

2) Сначала упростим выражение для функции $f(x)$:

$f(x) = x \cdot (2x^2 - 1) = 2x^3 - x$.

Найдем первую производную:

$f'(x) = (2x^3 - x)' = 2 \cdot 3x^2 - 1 = 6x^2 - 1$.

Найдем вторую производную:

$f''(x) = (6x^2 - 1)' = 6 \cdot 2x - 0 = 12x$.

Функция $f''(x) = 12x$ является линейной. Ее график — это прямая, проходящая через начало координат (0, 0) с угловым коэффициентом $k=12$. Так как коэффициент положительный, прямая возрастает и расположена в I и III координатных четвертях.

Ответ: График $f''(x)$ — это прямая линия $y = 12x$, проходящая через начало координат.

3) Дана функция: $f(x) = \frac{1}{4}\sin^2x$.

Для нахождения производной используем правило производной сложной функции.

Первая производная:

$f'(x) = (\frac{1}{4}\sin^2x)' = \frac{1}{4} \cdot 2\sin x \cdot (\sin x)' = \frac{1}{2}\sin x \cos x$.

Применим формулу синуса двойного угла $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin(2\alpha)$:

$f'(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin(2x)}{2} = \frac{1}{4}\sin(2x)$.

Вторая производная:

$f''(x) = (\frac{1}{4}\sin(2x))' = \frac{1}{4}\cos(2x) \cdot (2x)' = \frac{1}{4}\cos(2x) \cdot 2 = \frac{1}{2}\cos(2x)$.

Графиком функции $f''(x) = \frac{1}{2}\cos(2x)$ является косинусоида.

Ее основные характеристики:

- Амплитуда равна $\frac{1}{2}$. Максимальное значение функции равно $\frac{1}{2}$, минимальное — $-\frac{1}{2}$.

- Период $T = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{2} = \pi$.

Схематически это график функции $y=\cos x$, сжатый в 2 раза вдоль оси Oy и в 2 раза вдоль оси Ox.

Ответ: График $f''(x)$ — это косинусоида $y = \frac{1}{2}\cos(2x)$ с амплитудой $\frac{1}{2}$ и периодом $\pi$.

4) Дана функция: $f(x) = \frac{1}{x}$. Для дифференцирования представим ее в виде $f(x) = x^{-1}$.

Найдем первую производную:

$f'(x) = (x^{-1})' = -1 \cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$.

Найдем вторую производную:

$f''(x) = (-x^{-2})' = -(-2)x^{-3} = 2x^{-3} = \frac{2}{x^3}$.

Графиком функции $f''(x) = \frac{2}{x^3}$ является график, похожий на гиперболу.

- Область определения: $x \neq 0$. Ось Oy ($x=0$) является вертикальной асимптотой.

- При $x \to \infty$ и $x \to -\infty$, $f''(x) \to 0$. Ось Ox ($y=0$) является горизонтальной асимптотой.

- Если $x > 0$, то $x^3 > 0$ и $f''(x) > 0$. Ветвь графика находится в I координатной четверти.

- Если $x < 0$, то $x^3 < 0$ и $f''(x) < 0$. Ветвь графика находится в III координатной четверти.

Ответ: График $f''(x)$ — это функция $y=\frac{2}{x^3}$, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях, с асимптотами $x=0$ и $y=0$.