Номер 46.16, страница 95, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

46.16. Проверьте, что функция:

1) $y = \sin3x$ удовлетворяет уравнению $y'' + 3\cos3x + 9\sin3x = y'$;

2) $y = x\sin x$ удовлетворяет уравнению $y'' + y - 2\cos x = 0$.

1) Чтобы проверить, удовлетворяет ли функция $y = \sin(3x)$ уравнению $y'' + 3\cos(3x) + 9\sin(3x) = y'$, необходимо найти ее первую и вторую производные и подставить их в данное уравнение.

1. Находим первую производную $y'$. Используем правило дифференцирования сложной функции:$y' = (\sin(3x))' = \cos(3x) \cdot (3x)' = 3\cos(3x)$.

2. Находим вторую производную $y''$:$y'' = (3\cos(3x))' = 3 \cdot (-\sin(3x)) \cdot (3x)' = 3 \cdot (-\sin(3x)) \cdot 3 = -9\sin(3x)$.

3. Подставляем выражения для $y'$ и $y''$ в исходное уравнение $y'' + 3\cos(3x) + 9\sin(3x) = y'$.

Левая часть уравнения:

$y'' + 3\cos(3x) + 9\sin(3x) = (-9\sin(3x)) + 3\cos(3x) + 9\sin(3x) = 3\cos(3x)$.

Правая часть уравнения:

$y' = 3\cos(3x)$.

4. Сравниваем левую и правую части:

$3\cos(3x) = 3\cos(3x)$.

Полученное тождество верно, значит, функция удовлетворяет уравнению.

Ответ: функция $y = \sin(3x)$ удовлетворяет уравнению $y'' + 3\cos(3x) + 9\sin(3x) = y'$.

2) Чтобы проверить, удовлетворяет ли функция $y = x\sin(x)$ уравнению $y'' + y - 2\cos(x) = 0$, необходимо найти ее первую и вторую производные и подставить их в уравнение.

1. Находим первую производную $y'$. Используем правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

$y' = (x\sin(x))' = (x)'\sin(x) + x(\sin(x))' = 1 \cdot \sin(x) + x \cdot \cos(x) = \sin(x) + x\cos(x)$.

2. Находим вторую производную $y''$:

$y'' = (\sin(x) + x\cos(x))' = (\sin(x))' + (x\cos(x))'$.

$(\sin(x))' = \cos(x)$.

$(x\cos(x))' = (x)'\cos(x) + x(\cos(x))' = 1 \cdot \cos(x) + x(-\sin(x)) = \cos(x) - x\sin(x)$.

$y'' = \cos(x) + (\cos(x) - x\sin(x)) = 2\cos(x) - x\sin(x)$.

3. Подставляем выражения для $y$ и $y''$ в левую часть уравнения $y'' + y - 2\cos(x) = 0$:

$(2\cos(x) - x\sin(x)) + (x\sin(x)) - 2\cos(x)$.

4. Упрощаем выражение:

$2\cos(x) - x\sin(x) + x\sin(x) - 2\cos(x) = 0$.

Получили $0 = 0$. Тождество верно, значит, функция удовлетворяет уравнению.

Ответ: функция $y = x\sin(x)$ удовлетворяет уравнению $y'' + y - 2\cos(x) = 0$.