Номер 46.19, страница 95, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

46.19. Найдите предел функции:

1) $\lim_{x \to \infty} \frac{3x^3 + 2x^2 - 5}{5x - x^3 + 3}$;

2) $\lim_{x \to 4} \frac{x^2 - 2x - 8}{x - 4}$;

3) $\lim_{x \to 1} \frac{3x^2 - 5x + 2}{x - 1}$;

4) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{\sin x}$.

1) Найдем предел $\lim_{x \to \infty} \frac{3x^3 + 2x^2 - 5}{5x - x^3 + 3}$.

Здесь мы имеем дело с неопределенностью вида $\frac{\infty}{\infty}$. Чтобы ее раскрыть, разделим числитель и знаменатель дроби на старшую степень переменной $x$ в знаменателе, то есть на $x^3$.

$\lim_{x \to \infty} \frac{3x^3 + 2x^2 - 5}{5x - x^3 + 3} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3x^3}{x^3} + \frac{2x^2}{x^3} - \frac{5}{x^3}}{\frac{5x}{x^3} - \frac{x^3}{x^3} + \frac{3}{x^3}} = \lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{2}{x} - \frac{5}{x^3}}{\frac{5}{x^2} - 1 + \frac{3}{x^3}}$.

Поскольку при $x \to \infty$ выражения $\frac{2}{x}$, $\frac{5}{x^3}$, $\frac{5}{x^2}$ и $\frac{3}{x^3}$ стремятся к нулю, получаем:

$\frac{3 + 0 - 0}{0 - 1 + 0} = \frac{3}{-1} = -3$.

Ответ: -3.

2) Найдем предел $\lim_{x \to 4} \frac{x^2 - 2x - 8}{x - 4}$.

При подстановке $x = 4$ в выражение, получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$: $\frac{4^2 - 2 \cdot 4 - 8}{4 - 4} = \frac{16 - 8 - 8}{0} = \frac{0}{0}$.

Для раскрытия неопределенности разложим числитель на множители. Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 2x - 8 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 4$ и $x_2 = -2$.

Тогда $x^2 - 2x - 8 = (x - 4)(x + 2)$.

Подставим разложение в исходный предел и сократим дробь:

$\lim_{x \to 4} \frac{(x - 4)(x + 2)}{x - 4} = \lim_{x \to 4} (x + 2)$.

Теперь можно подставить значение $x = 4$:

$4 + 2 = 6$.

Ответ: 6.

3) Найдем предел $\lim_{x \to 1} \frac{3x^2 - 5x + 2}{x - 1}$.

При подстановке $x = 1$ в выражение, получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$: $\frac{3(1)^2 - 5 \cdot 1 + 2}{1 - 1} = \frac{3 - 5 + 2}{0} = \frac{0}{0}$.

Разложим числитель $3x^2 - 5x + 2$ на множители. Для этого решим квадратное уравнение $3x^2 - 5x + 2 = 0$.

Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{5 - \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ и $x_2 = \frac{5 + \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$.

Следовательно, разложение на множители имеет вид $3x^2 - 5x + 2 = 3(x - 1)(x - \frac{2}{3}) = (x - 1)(3x - 2)$.

Подставим разложение в предел:

$\lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(3x - 2)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (3x - 2)$.

Подставляем $x = 1$ в полученное выражение:

$3 \cdot 1 - 2 = 1$.

Ответ: 1.

4) Найдем предел $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{\sin(x)}$.

При подстановке $x = 0$ получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$: $\frac{\sin(0)}{\sin(0)} = \frac{0}{0}$.

Воспользуемся тригонометрической формулой синуса двойного угла: $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$.

Подставим это выражение в предел:

$\lim_{x \to 0} \frac{2\sin(x)\cos(x)}{\sin(x)}$.

Поскольку $x \to 0$, но $x \neq 0$, то $\sin(x) \neq 0$, и мы можем сократить дробь на $\sin(x)$:

$\lim_{x \to 0} 2\cos(x)$.

Теперь подставим $x = 0$ в итоговое выражение:

$2\cos(0) = 2 \cdot 1 = 2$.

Ответ: 2.