Страница 95, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

46.13. Материальная точка движется прямолинейно по закону $s(t)$, (где $t$ — время в секундах, $s(t)$ — измеряется в метрах). Найдите скорость и ускорение движения точки в момент времени $t_0$:

1) $s(t) = t^3 - 2t^2 - t, t_0 = 2c;$

2) $s(t) = \frac{2t+1}{t+3}, t_0 = 7c.$

1) Дано уравнение движения: $s(t) = t^3 - 2t^2 - t$, и момент времени $t_0 = 2$ с.

Скорость движения $v(t)$ является первой производной от пути по времени $s'(t)$.

$v(t) = s'(t) = (t^3 - 2t^2 - t)' = 3t^2 - 4t - 1$.

Найдем скорость в момент времени $t_0 = 2$ с:

$v(2) = 3 \cdot 2^2 - 4 \cdot 2 - 1 = 3 \cdot 4 - 8 - 1 = 12 - 8 - 1 = 3$ м/с.

Ускорение движения $a(t)$ является второй производной от пути по времени $s''(t)$ или первой производной от скорости $v'(t)$.

$a(t) = v'(t) = (3t^2 - 4t - 1)' = 6t - 4$.

Найдем ускорение в момент времени $t_0 = 2$ с:

$a(2) = 6 \cdot 2 - 4 = 12 - 4 = 8$ м/с².

Ответ: скорость $3$ м/с, ускорение $8$ м/с².

2) Дано уравнение движения: $s(t) = \frac{2t + 1}{t + 3}$, и момент времени $t_0 = 7$ с.

Скорость движения $v(t) = s'(t)$. Для нахождения производной используем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

$v(t) = s'(t) = \left(\frac{2t + 1}{t + 3}\right)' = \frac{(2t + 1)'(t + 3) - (2t + 1)(t + 3)'}{(t + 3)^2} = \frac{2(t + 3) - (2t + 1) \cdot 1}{(t + 3)^2} = \frac{2t + 6 - 2t - 1}{(t + 3)^2} = \frac{5}{(t + 3)^2}$.

Найдем скорость в момент времени $t_0 = 7$ с:

$v(7) = \frac{5}{(7 + 3)^2} = \frac{5}{10^2} = \frac{5}{100} = 0,05$ м/с.

Ускорение движения $a(t) = v'(t)$.

$a(t) = v'(t) = \left(\frac{5}{(t + 3)^2}\right)' = (5(t + 3)^{-2})' = 5 \cdot (-2)(t + 3)^{-3} \cdot (t + 3)' = -10(t + 3)^{-3} = \frac{-10}{(t + 3)^3}$.

Найдем ускорение в момент времени $t_0 = 7$ с:

$a(7) = \frac{-10}{(7 + 3)^3} = \frac{-10}{10^3} = \frac{-10}{1000} = -0,01$ м/с².

Ответ: скорость $0,05$ м/с, ускорение $-0,01$ м/с².

46.14. Тело, брошенное вертикально вверх, движется по закону $h(t) = 9t - 2t^2$. Найдите начальную скорость и ускорение тела $(t = 0)$ и максимальную высоту подъема, при которой скорость $v(t) = 0$.

Для решения задачи воспользуемся методами дифференциального исчисления, так как скорость является первой производной от координаты по времени, а ускорение — второй производной.

Найдите начальную скорость и ускорение тела ($t=0$)

Закон движения тела задан уравнением высоты $h(t) = 9t - 2t^2$.

Скорость тела $v(t)$ в любой момент времени $t$ можно найти, взяв первую производную от функции высоты $h(t)$ по времени:

$v(t) = h'(t) = \frac{d}{dt}(9t - 2t^2) = 9 \cdot 1 - 2 \cdot 2t = 9 - 4t$.

Начальная скорость — это скорость тела в момент времени $t=0$. Подставим это значение в уравнение для скорости:

$v(0) = 9 - 4 \cdot 0 = 9$.

Ускорение тела $a(t)$ можно найти, взяв первую производную от функции скорости $v(t)$ по времени (или вторую производную от функции высоты $h(t)$):

$a(t) = v'(t) = \frac{d}{dt}(9 - 4t) = -4$.

Ускорение является постоянной величиной и не зависит от времени. Следовательно, в начальный момент времени $t=0$ ускорение также равно -4. Отрицательный знак означает, что ускорение направлено вниз, противоположно начальному направлению движения.

Ответ: начальная скорость равна 9 ед/с, начальное ускорение равно -4 ед/с².

Найдите максимальную высоту подъема, при которой скорость $v(t)=0$

Тело достигает максимальной высоты подъема в тот момент, когда его мгновенная скорость становится равной нулю. В этой точке тело на мгновение останавливается перед тем, как начать падать вниз.

Найдем время $t_{max}$, в которое скорость обращается в ноль, используя найденное ранее уравнение для скорости:

$v(t) = 9 - 4t = 0$

$4t = 9$

$t_{max} = \frac{9}{4} = 2.25$ с.

Теперь, чтобы найти максимальную высоту подъема $h_{max}$, подставим это значение времени $t_{max}$ в исходное уравнение для высоты $h(t)$:

$h_{max} = h(\frac{9}{4}) = 9 \cdot (\frac{9}{4}) - 2 \cdot (\frac{9}{4})^2 = \frac{81}{4} - 2 \cdot \frac{81}{16} = \frac{81}{4} - \frac{81}{8}$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$h_{max} = \frac{81 \cdot 2}{8} - \frac{81}{8} = \frac{162 - 81}{8} = \frac{81}{8} = 10.125$.

Ответ: максимальная высота подъема равна $\frac{81}{8}$ или 10.125 ед. длины.

46.15. Найдите производную второго порядка:

1) $f(x) = \frac{1}{4}(3 - x) \cdot x^2 - 3x;$

2) $f(x) = \frac{x}{9} \cdot \sin3x.$

46.16. Проверьте, что функция:

1) Дана функция $f(x) = \frac{1}{4}(3-x) \cdot x^2 - 3x$.

Для нахождения производной второго порядка, сначала найдем первую производную. Предварительно упростим выражение для функции, раскрыв скобки:

$f(x) = \frac{1}{4}(3x^2 - x^3) - 3x = \frac{3}{4}x^2 - \frac{1}{4}x^3 - 3x$.

Теперь найдем первую производную $f'(x)$, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:

$f'(x) = (\frac{3}{4}x^2 - \frac{1}{4}x^3 - 3x)' = \frac{3}{4} \cdot (x^2)' - \frac{1}{4} \cdot (x^3)' - (3x)'$

$f'(x) = \frac{3}{4} \cdot 2x - \frac{1}{4} \cdot 3x^2 - 3 = \frac{6}{4}x - \frac{3}{4}x^2 - 3 = \frac{3}{2}x - \frac{3}{4}x^2 - 3$.

Далее найдем вторую производную $f''(x)$, которая является производной от первой производной $f'(x)$:

$f''(x) = (\frac{3}{2}x - \frac{3}{4}x^2 - 3)' = (\frac{3}{2}x)' - (\frac{3}{4}x^2)' - (3)'$

$f''(x) = \frac{3}{2} - \frac{3}{4} \cdot 2x - 0 = \frac{3}{2} - \frac{6}{4}x = \frac{3}{2} - \frac{3}{2}x$.

Ответ: $f''(x) = \frac{3}{2} - \frac{3}{2}x$.

2) Дана функция $f(x) = \frac{x}{9} \sin(3x)$.

Для нахождения первой производной $f'(x)$ воспользуемся правилом дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$ и правилом дифференцирования сложной функции. Обозначим $u(x) = \frac{x}{9}$ и $v(x) = \sin(3x)$.

Находим производные этих функций: $u'(x) = (\frac{x}{9})' = \frac{1}{9}$ и $v'(x) = (\sin(3x))' = \cos(3x) \cdot (3x)' = 3\cos(3x)$.

Первая производная $f'(x)$ равна:

$f'(x) = u'v + uv' = \frac{1}{9}\sin(3x) + \frac{x}{9} \cdot 3\cos(3x) = \frac{1}{9}\sin(3x) + \frac{x}{3}\cos(3x)$.

Теперь найдем вторую производную $f''(x)$, продифференцировав $f'(x)$. Это производная суммы, поэтому дифференцируем каждое слагаемое отдельно:

$f''(x) = (\frac{1}{9}\sin(3x) + \frac{x}{3}\cos(3x))' = (\frac{1}{9}\sin(3x))' + (\frac{x}{3}\cos(3x))'$.

Производная первого слагаемого:

$(\frac{1}{9}\sin(3x))' = \frac{1}{9} \cdot (\sin(3x))' = \frac{1}{9} \cdot 3\cos(3x) = \frac{1}{3}\cos(3x)$.

Для нахождения производной второго слагаемого $(\frac{x}{3}\cos(3x))'$ снова применяем правило произведения. Пусть $u_1(x) = \frac{x}{3}$ и $v_1(x) = \cos(3x)$.

Их производные: $u_1'(x) = \frac{1}{3}$ и $v_1'(x) = (\cos(3x))' = -\sin(3x) \cdot (3x)' = -3\sin(3x)$.

Производная второго слагаемого равна:

$(\frac{x}{3}\cos(3x))' = u_1'v_1 + u_1v_1' = \frac{1}{3}\cos(3x) + \frac{x}{3}(-3\sin(3x)) = \frac{1}{3}\cos(3x) - x\sin(3x)$.

Теперь сложим производные обоих слагаемых, чтобы получить $f''(x)$:

$f''(x) = \frac{1}{3}\cos(3x) + \left(\frac{1}{3}\cos(3x) - x\sin(3x)\right) = \frac{2}{3}\cos(3x) - x\sin(3x)$.

Ответ: $f''(x) = \frac{2}{3}\cos(3x) - x\sin(3x)$.

46.16. Проверьте, что функция:

1) $y = \sin3x$ удовлетворяет уравнению $y'' + 3\cos3x + 9\sin3x = y'$;

2) $y = x\sin x$ удовлетворяет уравнению $y'' + y - 2\cos x = 0$.

1) Чтобы проверить, удовлетворяет ли функция $y = \sin(3x)$ уравнению $y'' + 3\cos(3x) + 9\sin(3x) = y'$, необходимо найти ее первую и вторую производные и подставить их в данное уравнение.

1. Находим первую производную $y'$. Используем правило дифференцирования сложной функции:$y' = (\sin(3x))' = \cos(3x) \cdot (3x)' = 3\cos(3x)$.

2. Находим вторую производную $y''$:$y'' = (3\cos(3x))' = 3 \cdot (-\sin(3x)) \cdot (3x)' = 3 \cdot (-\sin(3x)) \cdot 3 = -9\sin(3x)$.

3. Подставляем выражения для $y'$ и $y''$ в исходное уравнение $y'' + 3\cos(3x) + 9\sin(3x) = y'$.

Левая часть уравнения:

$y'' + 3\cos(3x) + 9\sin(3x) = (-9\sin(3x)) + 3\cos(3x) + 9\sin(3x) = 3\cos(3x)$.

Правая часть уравнения:

$y' = 3\cos(3x)$.

4. Сравниваем левую и правую части:

$3\cos(3x) = 3\cos(3x)$.

Полученное тождество верно, значит, функция удовлетворяет уравнению.

Ответ: функция $y = \sin(3x)$ удовлетворяет уравнению $y'' + 3\cos(3x) + 9\sin(3x) = y'$.

2) Чтобы проверить, удовлетворяет ли функция $y = x\sin(x)$ уравнению $y'' + y - 2\cos(x) = 0$, необходимо найти ее первую и вторую производные и подставить их в уравнение.

1. Находим первую производную $y'$. Используем правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

$y' = (x\sin(x))' = (x)'\sin(x) + x(\sin(x))' = 1 \cdot \sin(x) + x \cdot \cos(x) = \sin(x) + x\cos(x)$.

2. Находим вторую производную $y''$:

$y'' = (\sin(x) + x\cos(x))' = (\sin(x))' + (x\cos(x))'$.

$(\sin(x))' = \cos(x)$.

$(x\cos(x))' = (x)'\cos(x) + x(\cos(x))' = 1 \cdot \cos(x) + x(-\sin(x)) = \cos(x) - x\sin(x)$.

$y'' = \cos(x) + (\cos(x) - x\sin(x)) = 2\cos(x) - x\sin(x)$.

3. Подставляем выражения для $y$ и $y''$ в левую часть уравнения $y'' + y - 2\cos(x) = 0$:

$(2\cos(x) - x\sin(x)) + (x\sin(x)) - 2\cos(x)$.

4. Упрощаем выражение:

$2\cos(x) - x\sin(x) + x\sin(x) - 2\cos(x) = 0$.

Получили $0 = 0$. Тождество верно, значит, функция удовлетворяет уравнению.

Ответ: функция $y = x\sin(x)$ удовлетворяет уравнению $y'' + y - 2\cos(x) = 0$.

46.17. Найдите значение производной второго порядка функции:

1)

$f(x) = (x^2 + 1)(x + 1) + 2x, x_0 = 2;$

2)

$f(x) = (x^2 + 2)(x - 1) + 2x^2, x_0 = 2.$

46.18. Для функции $y = f(x)$ найдите вторую производную и постро...

1) Для функции $f(x) = (x^2 + 1)(x + 1) + 2x$ необходимо найти значение производной второго порядка в точке $x_0 = 2$.

Сначала упростим выражение для функции, раскрыв скобки:

$f(x) = (x^2 \cdot x + x^2 \cdot 1 + 1 \cdot x + 1 \cdot 1) + 2x = x^3 + x^2 + x + 1 + 2x = x^3 + x^2 + 3x + 1$.

Теперь найдем первую производную функции $f'(x)$:

$f'(x) = (x^3 + x^2 + 3x + 1)' = 3x^2 + 2x + 3$.

Далее найдем вторую производную $f''(x)$, которая является производной от первой производной:

$f''(x) = (f'(x))' = (3x^2 + 2x + 3)' = 6x + 2$.

Теперь вычислим значение второй производной в точке $x_0 = 2$:

$f''(2) = 6 \cdot 2 + 2 = 12 + 2 = 14$.

Ответ: 14.

2) Для функции $f(x) = (x^2 + 2)(x - 1) + 2x^2$ необходимо найти значение производной второго порядка в точке $x_0 = 2$.

Сначала упростим выражение для функции, раскрыв скобки:

$f(x) = (x^2 \cdot x + x^2 \cdot (-1) + 2 \cdot x + 2 \cdot (-1)) + 2x^2 = x^3 - x^2 + 2x - 2 + 2x^2 = x^3 + x^2 + 2x - 2$.

Теперь найдем первую производную функции $f'(x)$:

$f'(x) = (x^3 + x^2 + 2x - 2)' = 3x^2 + 2x + 2$.

Далее найдем вторую производную $f''(x)$:

$f''(x) = (f'(x))' = (3x^2 + 2x + 2)' = 6x + 2$.

Теперь вычислим значение второй производной в точке $x_0 = 2$:

$f''(2) = 6 \cdot 2 + 2 = 12 + 2 = 14$.

Ответ: 14.

46.18. Для функции $y = f(x)$ найдите вторую производную и постройте график $y = f''(x)$:

1) $f(x) = \frac{1}{12}x^4 + \frac{1}{6}x^3 - 2x^2$;

2) $f(x) = (x^2 + 2) \cdot (x - 1) + \frac{5}{12}x^4$.

1) Дана функция $f(x) = \frac{1}{12}x^4 + \frac{1}{6}x^3 - 2x^2$.

Для нахождения второй производной $f''(x)$ сначала найдем первую производную $f'(x)$. Используем правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$.

Первая производная:

$f'(x) = \left(\frac{1}{12}x^4 + \frac{1}{6}x^3 - 2x^2\right)' = \frac{1}{12} \cdot 4x^{4-1} + \frac{1}{6} \cdot 3x^{3-1} - 2 \cdot 2x^{2-1} = \frac{4}{12}x^3 + \frac{3}{6}x^2 - 4x = \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 - 4x$.

Теперь найдем вторую производную, продифференцировав $f'(x)$:

$f''(x) = \left(\frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 - 4x\right)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^{3-1} + \frac{1}{2} \cdot 2x^{2-1} - 4 = x^2 + x - 4$.

Для построения графика функции $y = f''(x) = x^2 + x - 4$ определим его основные характеристики. Это квадратичная функция, ее график — парабола.

1. Ветви параболы направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительный).

2. Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$ по формулам $x_v = -\frac{b}{2a}$ и $y_v = f''(x_v)$:

$x_v = -\frac{1}{2 \cdot 1} = -0.5$.

$y_v = (-0.5)^2 + (-0.5) - 4 = 0.25 - 0.5 - 4 = -4.25$.

Вершина находится в точке $(-0.5; -4.25)$.

3. Найдем точки пересечения с осями координат:

- С осью OY (при $x=0$): $y = 0^2 + 0 - 4 = -4$. Точка пересечения $(0; -4)$.

- С осью OX (при $y=0$): $x^2 + x - 4 = 0$. Решим квадратное уравнение:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 1 + 16 = 17$.

$x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{2}$.

Точки пересечения: $(\frac{-1 - \sqrt{17}}{2}; 0)$ и $(\frac{-1 + \sqrt{17}}{2}; 0)$. Приблизительные значения: $(-2.56; 0)$ и $(1.56; 0)$.

График $y = f''(x)$ — это парабола с вершиной в точке $(-0.5; -4.25)$, проходящая через точки $(0; -4)$, $(\frac{-1 - \sqrt{17}}{2}; 0)$ и $(\frac{-1 + \sqrt{17}}{2}; 0)$.

Ответ: $f''(x) = x^2 + x - 4$. График функции — парабола с ветвями вверх, вершиной в точке $(-0.5; -4.25)$.

2) Дана функция $f(x) = (x^2 + 2)(x - 1) + \frac{5}{12}x^4$.

Для удобства дифференцирования сначала упростим выражение, раскрыв скобки:

$f(x) = x^2 \cdot x - x^2 \cdot 1 + 2 \cdot x - 2 \cdot 1 + \frac{5}{12}x^4 = x^3 - x^2 + 2x - 2 + \frac{5}{12}x^4$.

Расположим слагаемые в порядке убывания степеней $x$:

$f(x) = \frac{5}{12}x^4 + x^3 - x^2 + 2x - 2$.

Найдем первую производную $f'(x)$:

$f'(x) = \left(\frac{5}{12}x^4 + x^3 - x^2 + 2x - 2\right)' = \frac{5}{12} \cdot 4x^3 + 3x^2 - 2x + 2 = \frac{5}{3}x^3 + 3x^2 - 2x + 2$.

Найдем вторую производную $f''(x)$:

$f''(x) = \left(\frac{5}{3}x^3 + 3x^2 - 2x + 2\right)' = \frac{5}{3} \cdot 3x^2 + 3 \cdot 2x - 2 = 5x^2 + 6x - 2$.

Для построения графика функции $y = f''(x) = 5x^2 + 6x - 2$ определим его характеристики. Это парабола.

1. Ветви параболы направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен 5 (положительный).

2. Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$:

$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot 5} = -\frac{6}{10} = -0.6$.

$y_v = 5(-0.6)^2 + 6(-0.6) - 2 = 5(0.36) - 3.6 - 2 = 1.8 - 3.6 - 2 = -3.8$.

Вершина находится в точке $(-0.6; -3.8)$.

3. Найдем точки пересечения с осями координат:

- С осью OY (при $x=0$): $y = 5(0)^2 + 6(0) - 2 = -2$. Точка пересечения $(0; -2)$.

- С осью OX (при $y=0$): $5x^2 + 6x - 2 = 0$. Решим уравнение:

$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-2) = 36 + 40 = 76$.

$x_{1,2} = \frac{-6 \pm \sqrt{76}}{2 \cdot 5} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{19}}{10} = \frac{-3 \pm \sqrt{19}}{5}$.

Точки пересечения: $(\frac{-3 - \sqrt{19}}{5}; 0)$ и $(\frac{-3 + \sqrt{19}}{5}; 0)$. Приблизительные значения: $(-1.47; 0)$ и $(0.27; 0)$.

График $y = f''(x)$ — это парабола с вершиной в точке $(-0.6; -3.8)$, проходящая через точки $(0; -2)$, $(\frac{-3 - \sqrt{19}}{5}; 0)$ и $(\frac{-3 + \sqrt{19}}{5}; 0)$.

Ответ: $f''(x) = 5x^2 + 6x - 2$. График функции — парабола с ветвями вверх, вершиной в точке $(-0.6; -3.8)$.

46.19. Найдите предел функции:

1) $\lim_{x \to \infty} \frac{3x^3 + 2x^2 - 5}{5x - x^3 + 3}$;

2) $\lim_{x \to 4} \frac{x^2 - 2x - 8}{x - 4}$;

3) $\lim_{x \to 1} \frac{3x^2 - 5x + 2}{x - 1}$;

4) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{\sin x}$.

1) Найдем предел $\lim_{x \to \infty} \frac{3x^3 + 2x^2 - 5}{5x - x^3 + 3}$.

Здесь мы имеем дело с неопределенностью вида $\frac{\infty}{\infty}$. Чтобы ее раскрыть, разделим числитель и знаменатель дроби на старшую степень переменной $x$ в знаменателе, то есть на $x^3$.

$\lim_{x \to \infty} \frac{3x^3 + 2x^2 - 5}{5x - x^3 + 3} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3x^3}{x^3} + \frac{2x^2}{x^3} - \frac{5}{x^3}}{\frac{5x}{x^3} - \frac{x^3}{x^3} + \frac{3}{x^3}} = \lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{2}{x} - \frac{5}{x^3}}{\frac{5}{x^2} - 1 + \frac{3}{x^3}}$.

Поскольку при $x \to \infty$ выражения $\frac{2}{x}$, $\frac{5}{x^3}$, $\frac{5}{x^2}$ и $\frac{3}{x^3}$ стремятся к нулю, получаем:

$\frac{3 + 0 - 0}{0 - 1 + 0} = \frac{3}{-1} = -3$.

Ответ: -3.

2) Найдем предел $\lim_{x \to 4} \frac{x^2 - 2x - 8}{x - 4}$.

При подстановке $x = 4$ в выражение, получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$: $\frac{4^2 - 2 \cdot 4 - 8}{4 - 4} = \frac{16 - 8 - 8}{0} = \frac{0}{0}$.

Для раскрытия неопределенности разложим числитель на множители. Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 2x - 8 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 4$ и $x_2 = -2$.

Тогда $x^2 - 2x - 8 = (x - 4)(x + 2)$.

Подставим разложение в исходный предел и сократим дробь:

$\lim_{x \to 4} \frac{(x - 4)(x + 2)}{x - 4} = \lim_{x \to 4} (x + 2)$.

Теперь можно подставить значение $x = 4$:

$4 + 2 = 6$.

Ответ: 6.

3) Найдем предел $\lim_{x \to 1} \frac{3x^2 - 5x + 2}{x - 1}$.

При подстановке $x = 1$ в выражение, получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$: $\frac{3(1)^2 - 5 \cdot 1 + 2}{1 - 1} = \frac{3 - 5 + 2}{0} = \frac{0}{0}$.

Разложим числитель $3x^2 - 5x + 2$ на множители. Для этого решим квадратное уравнение $3x^2 - 5x + 2 = 0$.

Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{5 - \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ и $x_2 = \frac{5 + \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$.

Следовательно, разложение на множители имеет вид $3x^2 - 5x + 2 = 3(x - 1)(x - \frac{2}{3}) = (x - 1)(3x - 2)$.

Подставим разложение в предел:

$\lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(3x - 2)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (3x - 2)$.

Подставляем $x = 1$ в полученное выражение:

$3 \cdot 1 - 2 = 1$.

Ответ: 1.

4) Найдем предел $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{\sin(x)}$.

При подстановке $x = 0$ получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$: $\frac{\sin(0)}{\sin(0)} = \frac{0}{0}$.

Воспользуемся тригонометрической формулой синуса двойного угла: $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$.

Подставим это выражение в предел:

$\lim_{x \to 0} \frac{2\sin(x)\cos(x)}{\sin(x)}$.

Поскольку $x \to 0$, но $x \neq 0$, то $\sin(x) \neq 0$, и мы можем сократить дробь на $\sin(x)$:

$\lim_{x \to 0} 2\cos(x)$.

Теперь подставим $x = 0$ в итоговое выражение:

$2\cos(0) = 2 \cdot 1 = 2$.

Ответ: 2.

46.20. Даны функции $f(x) = x \cdot \sin x$ и $g(x) = 2x^2$. Запишите формулу функции:

1) $g(f(x));$

2) $f(f(x));$

3) $f(g(x)).$

1) g(f(x)); Для нахождения сложной функции (композиции функций) $g(f(x))$ необходимо в формулу для функции $g(x)$ подставить вместо аргумента $x$ выражение для функции $f(x)$. Нам даны функции $f(x) = x \cdot \sin x$ и $g(x) = 2x^2$.Выполним подстановку $f(x)$ в $g(x)$:$g(f(x)) = g(x \cdot \sin x) = 2 \cdot (x \cdot \sin x)^2$Раскроем скобки, используя свойство степени $(ab)^n = a^n b^n$:$2 \cdot (x \cdot \sin x)^2 = 2 \cdot x^2 \cdot (\sin x)^2 = 2x^2 \sin^2 x$.Ответ: $g(f(x)) = 2x^2 \sin^2 x$.

2) f(f(x)); Для нахождения композиции $f(f(x))$ необходимо в формулу для функции $f(x)$ подставить вместо аргумента $x$ саму функцию $f(x)$. Нам дана функция $f(x) = x \cdot \sin x$.Выполним подстановку $f(x)$ в $f(x)$:$f(f(x)) = f(x \cdot \sin x)$Теперь в выражении $x \cdot \sin x$ заменим каждый $x$ на $f(x) = x \cdot \sin x$:$f(f(x)) = (x \cdot \sin x) \cdot \sin(x \cdot \sin x)$.Это выражение далее не упрощается.Ответ: $f(f(x)) = (x \sin x) \sin(x \sin x)$.

3) f(g(x)). Для нахождения сложной функции $f(g(x))$ необходимо в формулу для функции $f(x)$ подставить вместо аргумента $x$ выражение для функции $g(x)$. Нам даны функции $f(x) = x \cdot \sin x$ и $g(x) = 2x^2$.Выполним подстановку $g(x)$ в $f(x)$:$f(g(x)) = f(2x^2)$Теперь в выражении $x \cdot \sin x$ заменим каждый $x$ на $g(x) = 2x^2$:$f(g(x)) = (2x^2) \cdot \sin(2x^2)$.Это выражение является конечным.Ответ: $f(g(x)) = 2x^2 \sin(2x^2)$.

46.21. Решите неравенство $f'(x) < 0$:

1) $f(x) = x^3 - 3x;$

2) $f(x) = x^2 - x^3;$

3) $f(x) = \sin 2x - x;$

4) $f(x) = -4\cos x + 2x.$

1) Дана функция $f(x) = x^3 - 3x$.

Сначала найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (x^3 - 3x)' = 3x^2 - 3$.

Теперь решим неравенство $f'(x) < 0$:

$3x^2 - 3 < 0$

$3(x^2 - 1) < 0$

$x^2 - 1 < 0$

$(x - 1)(x + 1) < 0$

Корни соответствующего уравнения $x^2 - 1 = 0$ равны $x_1 = -1$ и $x_2 = 1$.

Графиком функции $y = x^2 - 1$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции отрицательны между корнями.

Следовательно, решение неравенства: $-1 < x < 1$.

Ответ: $x \in (-1, 1)$.

2) Дана функция $f(x) = x^2 - x^3$.

Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (x^2 - x^3)' = 2x - 3x^2$.

Решим неравенство $f'(x) < 0$:

$2x - 3x^2 < 0$

$x(2 - 3x) < 0$

Корни соответствующего уравнения $x(2 - 3x) = 0$ равны $x_1 = 0$ и $x_2 = 2/3$.

Графиком функции $y = 2x - 3x^2$ является парабола с ветвями, направленными вниз (коэффициент при $x^2$ отрицательный). Значения функции отрицательны за пределами корней.

Следовательно, решение неравенства: $x < 0$ или $x > 2/3$.

Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup (2/3, \infty)$.

3) Дана функция $f(x) = \sin(2x) - x$.

Найдем производную функции $f(x)$, используя правило дифференцирования сложной функции:

$f'(x) = (\sin(2x) - x)' = \cos(2x) \cdot (2x)' - 1 = 2\cos(2x) - 1$.

Решим неравенство $f'(x) < 0$:

$2\cos(2x) - 1 < 0$

$2\cos(2x) < 1$

$\cos(2x) < 1/2$

Для решения этого тригонометрического неравенства введем замену $t = 2x$. Получим $\cos(t) < 1/2$.

Решениями уравнения $\cos(t) = 1/2$ являются $t = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Неравенство $\cos(t) < 1/2$ выполняется для $t$ в интервалах $(\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \frac{5\pi}{3} + 2\pi k)$.

Вернемся к переменной $x$:

$\frac{\pi}{3} + 2\pi k < 2x < \frac{5\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Разделим все части неравенства на 2:

$\frac{\pi}{6} + \pi k < x < \frac{5\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (\frac{\pi}{6} + \pi k, \frac{5\pi}{6} + \pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

4) Дана функция $f(x) = -4\cos(x) + 2x$.

Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (-4\cos(x) + 2x)' = -4(-\sin x) + 2 = 4\sin(x) + 2$.

Решим неравенство $f'(x) < 0$:

$4\sin(x) + 2 < 0$

$4\sin(x) < -2$

$\sin(x) < -1/2$

Решениями уравнения $\sin(x) = -1/2$ являются $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$ и $x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Неравенство $\sin(x) < -1/2$ выполняется, когда угол $x$ находится в интервале между $-\frac{5\pi}{6}$ и $-\frac{\pi}{6}$ (с учетом периодичности).

Следовательно, решение неравенства: $-\frac{5\pi}{6} + 2\pi k < x < -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (-\frac{5\pi}{6} + 2\pi k, -\frac{\pi}{6} + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

46.22. Найдите множество значений функции:

1) $f(x) = \sin 2x - \cos 2x;$

2) $f(x) = \sqrt{3} \sin x - \cos x;$

3) $f(x) = 3\sin 2x + 4\cos 2x.$

1) Для нахождения множества значений функции $f(x) = \sin(2x) - \cos(2x)$ воспользуемся методом введения вспомогательного угла. Выражение вида $a\sin(\theta) + b\cos(\theta)$ можно преобразовать к виду $R\sin(\theta + \alpha)$, где $R = \sqrt{a^2+b^2}$.

В данном случае $a=1$, $b=-1$. Найдем $R$:

$R = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$.

Вынесем $\sqrt{2}$ за скобки:

$f(x) = \sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin(2x) - \frac{1}{\sqrt{2}}\cos(2x)\right)$.

Заметим, что $\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ и $\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$. Подставим эти значения в выражение:

$f(x) = \sqrt{2}\left(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)\sin(2x) - \sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\cos(2x)\right)$.

Используя формулу синуса разности $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$, получим:

$f(x) = \sqrt{2}\sin\left(2x - \frac{\pi}{4}\right)$.

Множество значений функции синус — это отрезок $[-1, 1]$, то есть $-1 \le \sin\left(2x - \frac{\pi}{4}\right) \le 1$.

Следовательно, умножив все части неравенства на $\sqrt{2}$, получим множество значений для $f(x)$:

$-\sqrt{2} \le \sqrt{2}\sin\left(2x - \frac{\pi}{4}\right) \le \sqrt{2}$.

Таким образом, множество значений функции $E(f)$ есть отрезок $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$.

Ответ: $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$

2) Для функции $f(x) = \sqrt{3}\sin x - \cos x$ применим тот же метод. Здесь $a=\sqrt{3}$, $b=-1$.

Найдем $R = \sqrt{a^2+b^2}$:

$R = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2$.

Преобразуем функцию:

$f(x) = 2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x - \frac{1}{2}\cos x\right)$.

Поскольку $\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$, то:

$f(x) = 2\left(\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)\sin x - \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\cos x\right)$.

Применяя формулу синуса разности, получаем:

$f(x) = 2\sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right)$.

Так как $-1 \le \sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right) \le 1$, то множество значений для $f(x)$ будет:

$-2 \le 2\sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right) \le 2$.

Множество значений функции $E(f)$ — это отрезок $[-2, 2]$.

Ответ: $[-2, 2]$

3) Для функции $f(x) = 3\sin(2x) + 4\cos(2x)$ коэффициенты равны $a=3$, $b=4$.

Найдем $R = \sqrt{a^2+b^2}$:

$R = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$.

Преобразуем функцию:

$f(x) = 5\left(\frac{3}{5}\sin(2x) + \frac{4}{5}\cos(2x)\right)$.

Введем вспомогательный угол $\alpha$ такой, что $\cos\alpha = \frac{3}{5}$ и $\sin\alpha = \frac{4}{5}$. Такой угол существует, так как $\left(\frac{3}{5}\right)^2 + \left(\frac{4}{5}\right)^2 = \frac{9}{25} + \frac{16}{25} = 1$.

Тогда выражение принимает вид:

$f(x) = 5\left(\cos\alpha\sin(2x) + \sin\alpha\cos(2x)\right)$.

Используя формулу синуса суммы $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$, получаем:

$f(x) = 5\sin(2x + \alpha)$.

Множество значений функции синус — это отрезок $[-1, 1]$, поэтому $-1 \le \sin(2x + \alpha) \le 1$.

Следовательно, множество значений для $f(x)$:

$-5 \le 5\sin(2x + \alpha) \le 5$.

Множество значений функции $E(f)$ — это отрезок $[-5, 5]$.

Ответ: $[-5, 5]$