Страница 90, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

Докажите, что промежутки $[\$\frac{\pi}{2} + 2\pi n$; $\frac{3\pi}{2} + 2\pi n\$]$, где $n$ — целое число, являются промежутками убывания функции $y = \sin x$.

Для доказательства того, что функция $y = \sin x$ убывает на промежутках $[\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \frac{3\pi}{2} + 2\pi n]$, где $n$ — целое число, воспользуемся производной. Функция является убывающей на тех интервалах, где ее производная неположительна, то есть $y' \le 0$.

1. Найдем производную функции $y = \sin x$.

$y' = (\sin x)' = \cos x$.

2. Определим, на каких промежутках производная $y' = \cos x$ неположительна. Для этого решим неравенство:

$\cos x \le 0$.

3. Для решения неравенства воспользуемся тригонометрической окружностью. Значение $\cos x$ соответствует абсциссе (горизонтальной координате) точки на единичной окружности, отвечающей углу $x$.

Абсцисса точки на единичной окружности отрицательна во второй и третьей координатных четвертях и равна нулю на вертикальной оси (оси ординат).

Это соответствует углам от $\frac{\pi}{2}$ до $\frac{3\pi}{2}$.

Таким образом, на одном обороте ($[0; 2\pi]$) неравенство $\cos x \le 0$ выполняется при $x \in [\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$.

4. Поскольку функция $y = \cos x$ является периодической с периодом $2\pi$, общее решение неравенства $\cos x \le 0$ получается добавлением $2\pi n$ к границам найденного промежутка, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).

Следовательно, производная $y' \le 0$ при $x \in [\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \frac{3\pi}{2} + 2\pi n]$.

Так как производная функции $y = \sin x$ неположительна на промежутках $[\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \frac{3\pi}{2} + 2\pi n]$, это означает, что функция $y = \sin x$ на этих промежутках убывает. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство основано на анализе знака производной функции $y=\sin x$. Производная $y'=\cos x$ неположительна ($\cos x \le 0$) именно на промежутках вида $[\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \frac{3\pi}{2} + 2\pi n]$, где $n$ — целое число. Согласно свойству производной, если производная функции на некотором промежутке неположительна, то функция на этом промежутке убывает. Таким образом, указанные промежутки являются промежутками убывания функции $y=\sin x$.

45.4. 1)

$f(x) = (5x^2 + 7)^6;$

2)

$f(x) = \sqrt{1 - x^2};$

3)

$f(x) = \frac{5}{1 - 2x};$

4)

$f(x) = \frac{2}{(2x + 3)^4}.$

1) Для нахождения производной функции $f(x) = (5x^2 + 7)^6$ воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции (цепным правилом): $(u(v(x)))' = u'(v(x)) \cdot v'(x)$.

В данном случае, внешняя функция $u(v) = v^6$, а внутренняя функция $v(x) = 5x^2 + 7$.

Находим производную внешней функции по ее аргументу: $u'(v) = (v^6)' = 6v^5$.

Находим производную внутренней функции по $x$: $v'(x) = (5x^2 + 7)' = 5 \cdot (x^2)' + (7)' = 5 \cdot 2x + 0 = 10x$.

Теперь подставляем наши функции и их производные в формулу цепного правила:

$f'(x) = 6(5x^2 + 7)^5 \cdot (5x^2 + 7)' = 6(5x^2 + 7)^5 \cdot 10x$.

Упростим выражение:

$f'(x) = 60x(5x^2 + 7)^5$.

Ответ: $f'(x) = 60x(5x^2 + 7)^5$.

2) Для нахождения производной функции $f(x) = \sqrt{1 - x^2}$ представим ее в виде степенной функции: $f(x) = (1 - x^2)^{1/2}$.

Используем правило дифференцирования сложной функции. Здесь внешняя функция $u(v) = v^{1/2}$, а внутренняя $v(x) = 1 - x^2$.

Производная внешней функции: $u'(v) = (v^{1/2})' = \frac{1}{2}v^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{v}}$.

Производная внутренней функции: $v'(x) = (1 - x^2)' = (1)' - (x^2)' = 0 - 2x = -2x$.

Применяем цепное правило:

$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{1 - x^2}} \cdot (1 - x^2)' = \frac{1}{2\sqrt{1 - x^2}} \cdot (-2x)$.

Сокращаем и упрощаем выражение:

$f'(x) = \frac{-2x}{2\sqrt{1 - x^2}} = -\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}$.

Ответ: $f'(x) = -\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}$.

3) Для нахождения производной функции $f(x) = \frac{5}{1 - 2x}$ представим ее в виде степенной функции: $f(x) = 5(1 - 2x)^{-1}$.

Это сложная функция. Внешняя функция $u(v) = 5v^{-1}$, внутренняя $v(x) = 1 - 2x$.

Находим производную внешней функции: $u'(v) = (5v^{-1})' = 5 \cdot (-1)v^{-2} = -5v^{-2}$.

Находим производную внутренней функции: $v'(x) = (1 - 2x)' = -2$.

По цепному правилу находим производную исходной функции:

$f'(x) = -5(1 - 2x)^{-2} \cdot (1 - 2x)' = -5(1 - 2x)^{-2} \cdot (-2)$.

Упростим полученное выражение:

$f'(x) = 10(1 - 2x)^{-2} = \frac{10}{(1 - 2x)^2}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{10}{(1 - 2x)^2}$.

4) Для нахождения производной функции $f(x) = \frac{2}{(2x + 3)^4}$ преобразуем ее к степенному виду: $f(x) = 2(2x + 3)^{-4}$.

Применим правило дифференцирования сложной функции. Внешняя функция $u(v) = 2v^{-4}$, внутренняя функция $v(x) = 2x + 3$.

Производная внешней функции: $u'(v) = (2v^{-4})' = 2 \cdot (-4)v^{-5} = -8v^{-5}$.

Производная внутренней функции: $v'(x) = (2x + 3)' = 2$.

По цепному правилу:

$f'(x) = -8(2x + 3)^{-5} \cdot (2x + 3)' = -8(2x + 3)^{-5} \cdot 2$.

Упрощая, получаем:

$f'(x) = -16(2x + 3)^{-5} = -\frac{16}{(2x + 3)^5}$.

Ответ: $f'(x) = -\frac{16}{(2x + 3)^5}$.

45.5. Из функций $f(x)$ и $g(x)$ составьте сложные функции $f(g(x))$, $f(f(x))$, $g(g(x)):$

1) $f(x) = x - 1, g(x) = \sqrt{3x - 2};$

2) $f(x) = 3 - 2x^3, g(x) = \frac{1}{x - 2};$

3) $f(x) = \frac{2x}{3x - 1}, g(x) = \frac{1}{x^2 + 2};$

4) $f(x) = \sqrt{x^3 - 2x}, g(x) = \frac{1}{x^3};$

5) $f(x) = \sin3x + 5x, g(x) = x^2 - 1;$

6) $f(x) = \cos5x - 6, g(x) = \tan7x.$

1) Даны функции $f(x) = x - 1$ и $g(x) = \sqrt{3x - 2}$. Составим сложные функции.

Для нахождения $f(g(x))$ подставляем $g(x)$ в $f(x)$:

$f(g(x)) = f(\sqrt{3x - 2}) = (\sqrt{3x - 2}) - 1 = \sqrt{3x - 2} - 1$.

Для нахождения $f(f(x))$ подставляем $f(x)$ в $f(x)$:

$f(f(x)) = f(x - 1) = (x - 1) - 1 = x - 2$.

Для нахождения $g(g(x))$ подставляем $g(x)$ в $g(x)$:

$g(g(x)) = g(\sqrt{3x - 2}) = \sqrt{3(\sqrt{3x - 2}) - 2} = \sqrt{3\sqrt{3x - 2} - 2}$.

Ответ: $f(g(x)) = \sqrt{3x - 2} - 1$; $f(f(x)) = x - 2$; $g(g(x)) = \sqrt{3\sqrt{3x - 2} - 2}$.

2) Даны функции $f(x) = 3 - 2x^4$ и $g(x) = \frac{1}{x - 2}$. Составим сложные функции.

Для нахождения $f(g(x))$ подставляем $g(x)$ в $f(x)$:

$f(g(x)) = f(\frac{1}{x - 2}) = 3 - 2(\frac{1}{x - 2})^4 = 3 - \frac{2}{(x - 2)^4}$.

Для нахождения $f(f(x))$ подставляем $f(x)$ в $f(x)$:

$f(f(x)) = f(3 - 2x^4) = 3 - 2(3 - 2x^4)^4$.

Для нахождения $g(g(x))$ подставляем $g(x)$ в $g(x)$:

$g(g(x)) = g(\frac{1}{x - 2}) = \frac{1}{(\frac{1}{x - 2}) - 2} = \frac{1}{\frac{1 - 2(x - 2)}{x - 2}} = \frac{1}{\frac{1 - 2x + 4}{x - 2}} = \frac{x - 2}{5 - 2x}$.

Ответ: $f(g(x)) = 3 - \frac{2}{(x - 2)^4}$; $f(f(x)) = 3 - 2(3 - 2x^4)^4$; $g(g(x)) = \frac{x - 2}{5 - 2x}$.

3) Даны функции $f(x) = \frac{2x}{3x - 1}$ и $g(x) = \frac{1}{x^2 + 2}$. Составим сложные функции.

Для нахождения $f(g(x))$ подставляем $g(x)$ в $f(x)$:

$f(g(x)) = f(\frac{1}{x^2 + 2}) = \frac{2(\frac{1}{x^2 + 2})}{3(\frac{1}{x^2 + 2}) - 1} = \frac{\frac{2}{x^2 + 2}}{\frac{3 - (x^2 + 2)}{x^2 + 2}} = \frac{2}{3 - x^2 - 2} = \frac{2}{1 - x^2}$.

Для нахождения $f(f(x))$ подставляем $f(x)$ в $f(x)$:

$f(f(x)) = f(\frac{2x}{3x - 1}) = \frac{2(\frac{2x}{3x - 1})}{3(\frac{2x}{3x - 1}) - 1} = \frac{\frac{4x}{3x - 1}}{\frac{6x - (3x - 1)}{3x - 1}} = \frac{4x}{6x - 3x + 1} = \frac{4x}{3x + 1}$.

Для нахождения $g(g(x))$ подставляем $g(x)$ в $g(x)$:

$g(g(x)) = g(\frac{1}{x^2 + 2}) = \frac{1}{(\frac{1}{x^2 + 2})^2 + 2} = \frac{1}{\frac{1 + 2(x^2 + 2)^2}{(x^2 + 2)^2}} = \frac{(x^2 + 2)^2}{1 + 2(x^4 + 4x^2 + 4)} = \frac{(x^2 + 2)^2}{2x^4 + 8x^2 + 9}$.

Ответ: $f(g(x)) = \frac{2}{1 - x^2}$; $f(f(x)) = \frac{4x}{3x + 1}$; $g(g(x)) = \frac{(x^2 + 2)^2}{2x^4 + 8x^2 + 9}$.

4) Даны функции $f(x) = \sqrt{x^3 - 2x}$ и $g(x) = \frac{1}{x^3}$. Составим сложные функции.

Для нахождения $f(g(x))$ подставляем $g(x)$ в $f(x)$:

$f(g(x)) = f(\frac{1}{x^3}) = \sqrt{(\frac{1}{x^3})^3 - 2(\frac{1}{x^3})} = \sqrt{\frac{1}{x^9} - \frac{2}{x^3}} = \sqrt{\frac{1 - 2x^6}{x^9}}$.

Для нахождения $f(f(x))$ подставляем $f(x)$ в $f(x)$:

$f(f(x)) = f(\sqrt{x^3 - 2x}) = \sqrt{(\sqrt{x^3 - 2x})^3 - 2(\sqrt{x^3 - 2x})} = \sqrt{(x^3 - 2x)\sqrt{x^3 - 2x} - 2\sqrt{x^3 - 2x}} = \sqrt{\sqrt{x^3 - 2x}(x^3 - 2x - 2)}$.

Для нахождения $g(g(x))$ подставляем $g(x)$ в $g(x)$:

$g(g(x)) = g(\frac{1}{x^3}) = \frac{1}{(\frac{1}{x^3})^3} = \frac{1}{\frac{1}{x^9}} = x^9$.

Ответ: $f(g(x)) = \sqrt{\frac{1 - 2x^6}{x^9}}$; $f(f(x)) = \sqrt{\sqrt{x^3 - 2x}(x^3 - 2x - 2)}$; $g(g(x)) = x^9$.

5) Даны функции $f(x) = \sin(3x) + 5x$ и $g(x) = x^2 - 1$. Составим сложные функции.

Для нахождения $f(g(x))$ подставляем $g(x)$ в $f(x)$:

$f(g(x)) = f(x^2 - 1) = \sin(3(x^2 - 1)) + 5(x^2 - 1) = \sin(3x^2 - 3) + 5x^2 - 5$.

Для нахождения $f(f(x))$ подставляем $f(x)$ в $f(x)$:

$f(f(x)) = f(\sin(3x) + 5x) = \sin(3(\sin(3x) + 5x)) + 5(\sin(3x) + 5x) = \sin(3\sin(3x) + 15x) + 5\sin(3x) + 25x$.

Для нахождения $g(g(x))$ подставляем $g(x)$ в $g(x)$:

$g(g(x)) = g(x^2 - 1) = (x^2 - 1)^2 - 1 = (x^4 - 2x^2 + 1) - 1 = x^4 - 2x^2$.

Ответ: $f(g(x)) = \sin(3x^2 - 3) + 5x^2 - 5$; $f(f(x)) = \sin(3\sin(3x) + 15x) + 5\sin(3x) + 25x$; $g(g(x)) = x^4 - 2x^2$.

6) Даны функции $f(x) = \cos(5x) - 6$ и $g(x) = \tan(7x)$. Составим сложные функции.

Для нахождения $f(g(x))$ подставляем $g(x)$ в $f(x)$:

$f(g(x)) = f(\tan(7x)) = \cos(5\tan(7x)) - 6$.

Для нахождения $f(f(x))$ подставляем $f(x)$ в $f(x)$:

$f(f(x)) = f(\cos(5x) - 6) = \cos(5(\cos(5x) - 6)) - 6 = \cos(5\cos(5x) - 30) - 6$.

Для нахождения $g(g(x))$ подставляем $g(x)$ в $g(x)$:

$g(g(x)) = g(\tan(7x)) = \tan(7(\tan(7x))) = \tan(7\tan(7x))$.

Ответ: $f(g(x)) = \cos(5\tan(7x)) - 6$; $f(f(x)) = \cos(5\cos(5x) - 30) - 6$; $g(g(x)) = \tan(7\tan(7x))$.

45.6. Найдите производную функции:

1) $f(x) = \sqrt{\frac{x^2 - 2x}{3x+2}}$;

2) $f(x) = (x^2 - 3)\sqrt{3x - 1}$;

3) $f(x) = 3x \cdot \left(\frac{1}{4}x - 5x^3\right)^2$;

4) $f(x) = (\sqrt{2x - 3} - x)^4$.

1) Дана функция $f(x) = \sqrt{\frac{x^2 - 2x}{3x + 2}}$.

Для нахождения производной этой функции, мы будем использовать правило дифференцирования сложной функции (цепное правило) и правило дифференцирования частного.

Представим функцию в виде $f(x) = \left(\frac{x^2 - 2x}{3x + 2}\right)^{1/2}$.

По цепному правилу $(u^n)' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'$. В нашем случае $u = \frac{x^2 - 2x}{3x + 2}$ и $n = 1/2$.

$f'(x) = \frac{1}{2}\left(\frac{x^2 - 2x}{3x + 2}\right)^{-1/2} \cdot \left(\frac{x^2 - 2x}{3x + 2}\right)'$.

Теперь найдем производную частного $u' = \left(\frac{x^2 - 2x}{3x + 2}\right)'$ по формуле $\left(\frac{g}{h}\right)' = \frac{g'h - gh'}{h^2}$, где $g(x) = x^2 - 2x$ и $h(x) = 3x + 2$.

Находим производные $g'(x) = 2x - 2$ и $h'(x) = 3$.

Подставляем в формулу производной частного:

$u' = \frac{(2x - 2)(3x + 2) - (x^2 - 2x)(3)}{(3x + 2)^2}$

Раскроем скобки в числителе:

$u' = \frac{6x^2 + 4x - 6x - 4 - (3x^2 - 6x)}{(3x + 2)^2} = \frac{6x^2 - 2x - 4 - 3x^2 + 6x}{(3x + 2)^2} = \frac{3x^2 + 4x - 4}{(3x + 2)^2}$.

Теперь подставим найденное $u'$ обратно в выражение для $f'(x)$:

$f'(x) = \frac{1}{2}\left(\frac{x^2 - 2x}{3x + 2}\right)^{-1/2} \cdot \frac{3x^2 + 4x - 4}{(3x + 2)^2}$.

Упростим выражение, помня что $a^{-1/2} = 1/\sqrt{a}$:

$f'(x) = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{3x+2}{x^2-2x}} \cdot \frac{3x^2+4x-4}{(3x+2)^2} = \frac{1}{2} \frac{\sqrt{3x+2}}{\sqrt{x^2-2x}} \cdot \frac{3x^2+4x-4}{(3x+2)^2}$.

Сокращая $\sqrt{3x+2}$ и $(3x+2)^2$, получаем $(3x+2)^{3/2}$ в знаменателе:

$f'(x) = \frac{3x^2+4x-4}{2\sqrt{x^2-2x}(3x+2)\sqrt{3x+2}} = \frac{3x^2+4x-4}{2\sqrt{x^2-2x}\sqrt{(3x+2)^3}}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{3x^2+4x-4}{2\sqrt{(x^2-2x)(3x+2)^3}}$.

2) Дана функция $f(x) = (x^2 - 3)\sqrt{3x - 1}$.

Для нахождения производной этой функции, мы будем использовать правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = x^2 - 3$ и $v(x) = \sqrt{3x - 1}$.

Находим производные $u'(x)$ и $v'(x)$.

$u'(x) = (x^2 - 3)' = 2x$.

Для нахождения $v'(x)$ используем цепное правило, представив корень как степень $1/2$:

$v'(x) = (\sqrt{3x - 1})' = ((3x-1)^{1/2})' = \frac{1}{2}(3x-1)^{-1/2} \cdot (3x - 1)' = \frac{1}{2\sqrt{3x - 1}} \cdot 3 = \frac{3}{2\sqrt{3x - 1}}$.

Теперь подставляем найденные производные в формулу произведения:

$f'(x) = u'v + uv' = 2x \cdot \sqrt{3x - 1} + (x^2 - 3) \cdot \frac{3}{2\sqrt{3x - 1}}$.

Приведем выражение к общему знаменателю $2\sqrt{3x - 1}$:

$f'(x) = \frac{2x \sqrt{3x - 1} \cdot 2\sqrt{3x - 1} + 3(x^2 - 3)}{2\sqrt{3x - 1}}$.

Упростим числитель, учитывая что $\sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a$:

$f'(x) = \frac{4x(3x - 1) + 3(x^2 - 3)}{2\sqrt{3x - 1}} = \frac{12x^2 - 4x + 3x^2 - 9}{2\sqrt{3x - 1}} = \frac{15x^2 - 4x - 9}{2\sqrt{3x - 1}}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{15x^2 - 4x - 9}{2\sqrt{3x - 1}}$.

3) Дана функция $f(x) = 3x \cdot \left(\frac{1}{4}x - 5x^3\right)^2$.

Для упрощения нахождения производной, сначала раскроем скобки и упростим выражение для функции $f(x)$.

Возведем в квадрат выражение в скобках по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$\left(\frac{1}{4}x - 5x^3\right)^2 = \left(\frac{1}{4}x\right)^2 - 2 \cdot \left(\frac{1}{4}x\right) \cdot (5x^3) + (5x^3)^2 = \frac{1}{16}x^2 - \frac{10}{4}x^4 + 25x^6 = \frac{1}{16}x^2 - \frac{5}{2}x^4 + 25x^6$.

Теперь умножим результат на $3x$:

$f(x) = 3x \left(\frac{1}{16}x^2 - \frac{5}{2}x^4 + 25x^6\right) = \frac{3}{16}x^3 - \frac{15}{2}x^5 + 75x^7$.

Теперь найти производную этой степенной функции просто, используя правило $(cx^n)' = c \cdot nx^{n-1}$ для каждого слагаемого:

$f'(x) = \left(\frac{3}{16}x^3\right)' - \left(\frac{15}{2}x^5\right)' + (75x^7)'$.

$f'(x) = \frac{3}{16} \cdot 3x^2 - \frac{15}{2} \cdot 5x^4 + 75 \cdot 7x^6$.

$f'(x) = \frac{9}{16}x^2 - \frac{75}{2}x^4 + 525x^6$.

Ответ: $f'(x) = \frac{9}{16}x^2 - \frac{75}{2}x^4 + 525x^6$.

4) Дана функция $f(x) = (\sqrt{2x - 3} - x)^4$.

Это сложная функция, для нахождения ее производной будем использовать цепное правило $(u^n)' = n u^{n-1} u'$.

Здесь внешняя функция - это возведение в степень 4, а внутренняя функция $u(x) = \sqrt{2x - 3} - x$.

$f'(x) = 4(\sqrt{2x - 3} - x)^{4-1} \cdot (\sqrt{2x - 3} - x)'$.

$f'(x) = 4(\sqrt{2x - 3} - x)^3 \cdot (\sqrt{2x - 3} - x)'$.

Теперь найдем производную внутренней функции $u'(x) = (\sqrt{2x - 3} - x)'$.

$u'(x) = (\sqrt{2x - 3})' - (x)'$.

Производная первого слагаемого $(\sqrt{2x-3})'$ также находится по цепному правилу:

$(\sqrt{2x - 3})' = ((2x - 3)^{1/2})' = \frac{1}{2}(2x - 3)^{-1/2} \cdot (2x - 3)' = \frac{1}{2\sqrt{2x-3}} \cdot 2 = \frac{1}{\sqrt{2x-3}}$.

Производная второго слагаемого $(x)' = 1$.

Таким образом, $u'(x) = \frac{1}{\sqrt{2x-3}} - 1$.

Подставим найденную производную $u'(x)$ в выражение для $f'(x)$:

$f'(x) = 4(\sqrt{2x - 3} - x)^3 \left(\frac{1}{\sqrt{2x-3}} - 1\right)$.

Ответ: $f'(x) = 4\left(\frac{1}{\sqrt{2x-3}} - 1\right)(\sqrt{2x - 3} - x)^3$.

45.7. Найдите значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0 = 1$:

1)

$f(x) = \left(\frac{2}{x^3} + x^8\right)^5$;

2)

$f(x) = \left(\frac{1}{x} - x^4\right)^{10}$;

3)

$f(x) = (5x^2 - 3x)^4$;

4)

$f(x) = (5x^5 - 4x^4)^{23}$.

1) Для нахождения значения производной функции $f(x) = (\frac{2}{x^3} + x^8)^5$ в точке $x_0 = 1$ сначала найдем ее производную $f'(x)$.

Это сложная функция вида $y = u^n$, где $u(x) = \frac{2}{x^3} + x^8 = 2x^{-3} + x^8$ и $n=5$.

Производная такой функции находится по формуле: $f'(x) = n \cdot u^{n-1} \cdot u'(x)$.

Найдем производную внутренней функции $u'(x)$:

$u'(x) = (2x^{-3} + x^8)' = 2 \cdot (-3)x^{-3-1} + 8x^{8-1} = -6x^{-4} + 8x^7 = -\frac{6}{x^4} + 8x^7$.

Теперь найдем производную исходной функции:

$f'(x) = 5 \cdot (\frac{2}{x^3} + x^8)^{5-1} \cdot (-\frac{6}{x^4} + 8x^7) = 5(\frac{2}{x^3} + x^8)^4(-\frac{6}{x^4} + 8x^7)$.

Подставим значение $x_0 = 1$ в выражение для производной:

$f'(1) = 5(\frac{2}{1^3} + 1^8)^4(-\frac{6}{1^4} + 8 \cdot 1^7) = 5(2+1)^4(-6+8) = 5 \cdot 3^4 \cdot 2 = 10 \cdot 81 = 810$.

Ответ: 810

2) Для функции $f(x) = (\frac{1}{x} - x^4)^{10}$ найдем значение производной в точке $x_0 = 1$.

Это сложная функция, где $u(x) = \frac{1}{x} - x^4 = x^{-1} - x^4$ и $n=10$.

Найдем производную внутренней функции $u'(x)$:

$u'(x) = (x^{-1} - x^4)' = -1 \cdot x^{-1-1} - 4x^{4-1} = -x^{-2} - 4x^3 = -\frac{1}{x^2} - 4x^3$.

Производная исходной функции:

$f'(x) = 10 \cdot (\frac{1}{x} - x^4)^{10-1} \cdot (-\frac{1}{x^2} - 4x^3) = 10(\frac{1}{x} - x^4)^9(-\frac{1}{x^2} - 4x^3)$.

Подставим значение $x_0 = 1$:

$f'(1) = 10(\frac{1}{1} - 1^4)^9(-\frac{1}{1^2} - 4 \cdot 1^3) = 10(1-1)^9(-1-4) = 10 \cdot 0^9 \cdot (-5) = 10 \cdot 0 \cdot (-5) = 0$.

Ответ: 0

3) Для функции $f(x) = (5x^2 - 3x)^4$ найдем значение производной в точке $x_0 = 1$.

Это сложная функция, где $u(x) = 5x^2 - 3x$ и $n=4$.

Найдем производную внутренней функции $u'(x)$:

$u'(x) = (5x^2 - 3x)' = 5 \cdot 2x - 3 = 10x - 3$.

Производная исходной функции:

$f'(x) = 4 \cdot (5x^2 - 3x)^{4-1} \cdot (10x - 3) = 4(5x^2 - 3x)^3(10x - 3)$.

Подставим значение $x_0 = 1$:

$f'(1) = 4(5 \cdot 1^2 - 3 \cdot 1)^3(10 \cdot 1 - 3) = 4(5-3)^3(10-3) = 4 \cdot 2^3 \cdot 7 = 4 \cdot 8 \cdot 7 = 224$.

Ответ: 224

4) Для функции $f(x) = (5x^5 - 4x^4)^{23}$ найдем значение производной в точке $x_0 = 1$.

Это сложная функция, где $u(x) = 5x^5 - 4x^4$ и $n=23$.

Найдем производную внутренней функции $u'(x)$:

$u'(x) = (5x^5 - 4x^4)' = 5 \cdot 5x^4 - 4 \cdot 4x^3 = 25x^4 - 16x^3$.

Производная исходной функции:

$f'(x) = 23 \cdot (5x^5 - 4x^4)^{23-1} \cdot (25x^4 - 16x^3) = 23(5x^5 - 4x^4)^{22}(25x^4 - 16x^3)$.

Подставим значение $x_0 = 1$:

$f'(1) = 23(5 \cdot 1^5 - 4 \cdot 1^4)^{22}(25 \cdot 1^4 - 16 \cdot 1^3) = 23(5-4)^{22}(25-16) = 23 \cdot 1^{22} \cdot 9 = 23 \cdot 1 \cdot 9 = 207$.

Ответ: 207

45.8. Дана функция $f(x) = \frac{(2x - 1)^8}{(x + 1)^5}$. Решите неравенство:

1) $f'(x) > 0;$

2) $f'(x) \ge 0;$

3) $f'(x) < 0;$

4) $f'(x) \le 0.$

1) $f'(x) > 0$

Дана функция $f(x) = \frac{(2x-1)^8}{(x+1)^5}$. Область определения функции: $x \neq -1$.

Найдем первую производную функции $f(x)$ используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Пусть $u(x) = (2x-1)^8$ и $v(x) = (x+1)^5$.

Тогда $u'(x) = 8(2x-1)^7 \cdot (2x-1)' = 16(2x-1)^7$.

$v'(x) = 5(x+1)^4 \cdot (x+1)' = 5(x+1)^4$.

Подставляем в формулу производной частного:

$f'(x) = \frac{16(2x-1)^7(x+1)^5 - (2x-1)^8 \cdot 5(x+1)^4}{((x+1)^5)^2} = \frac{(2x-1)^7(x+1)^4(16(x+1) - 5(2x-1))}{(x+1)^{10}}$

Упростим выражение в скобках в числителе:

$16(x+1) - 5(2x-1) = 16x + 16 - 10x + 5 = 6x + 21 = 3(2x+7)$.

Таким образом, производная равна:

$f'(x) = \frac{(2x-1)^7(x+1)^4 \cdot 3(2x+7)}{(x+1)^{10}} = \frac{3(2x-1)^7(2x+7)}{(x+1)^6}$.

Теперь решим неравенство $f'(x) > 0$:

$\frac{3(2x-1)^7(2x+7)}{(x+1)^6} > 0$.

Знаменатель $(x+1)^6$ всегда положителен при $x \neq -1$. Константа $3$ положительна. Следовательно, знак неравенства зависит от знака числителя $(2x-1)^7(2x+7)$.

Так как степень 7 нечетная, знак $(2x-1)^7$ совпадает со знаком $(2x-1)$. Неравенство равносильно следующему:

$(2x-1)(2x+7) > 0$.

Найдем корни выражения: $2x-1=0 \implies x = 1/2$ и $2x+7=0 \implies x = -7/2$.

Это парабола с ветвями вверх, поэтому она положительна вне интервала между корнями. Решение неравенства:

$x \in (-\infty, -7/2) \cup (1/2, \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -7/2) \cup (1/2, \infty)$.

2) $f'(x) \ge 0$

Используем найденную производную $f'(x) = \frac{3(2x-1)^7(2x+7)}{(x+1)^6}$.

Необходимо решить неравенство $f'(x) \ge 0$.

Это неравенство включает в себя случаи, когда $f'(x) > 0$ и когда $f'(x) = 0$.

Из пункта 1) мы знаем, что $f'(x) > 0$ при $x \in (-\infty, -7/2) \cup (1/2, \infty)$.

Найдем, при каких значениях $x$ производная равна нулю: $f'(x) = 0$.

$\frac{3(2x-1)^7(2x+7)}{(x+1)^6} = 0$.

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

$(2x-1)^7(2x+7) = 0$.

Это выполняется при $2x-1=0$ или $2x+7=0$.

Отсюда $x = 1/2$ и $x = -7/2$.

Объединяя решения для $f'(x) > 0$ и $f'(x) = 0$, получаем:

$x \in (-\infty, -7/2] \cup [1/2, \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -7/2] \cup [1/2, \infty)$.

3) $f''(x) < 0$

Найдем вторую производную, продифференцировав $f'(x) = \frac{3(2x-1)^7(2x+7)}{(x+1)^6}$.

Пусть $g(x) = 3(2x-1)^7(2x+7)$ и $h(x) = (x+1)^6$.

$g'(x) = 3 \cdot [(16(2x-1)^6)(2x+7) + (2x-1)^7(2)] = 6(2x-1)^6[8(2x+7) + (2x-1)] = 6(2x-1)^6(16x+56+2x-1) = 6(2x-1)^6(18x+55)$.

Проверка расчета g'(x): $g'(x) = 3 \cdot [(7(2x-1)^6 \cdot 2)(2x+7) + (2x-1)^7(2)] = 6(2x-1)^6[7(2x+7) + (2x-1)] = 6(2x-1)^6(14x+49+2x-1) = 6(2x-1)^6(16x+48) = 96(x+3)(2x-1)^6$.

$h'(x) = 6(x+1)^5$.

$f''(x) = \frac{g'h - gh'}{h^2} = \frac{96(x+3)(2x-1)^6(x+1)^6 - 3(2x-1)^7(2x+7) \cdot 6(x+1)^5}{(x+1)^{12}}$

$f''(x) = \frac{6(2x-1)^6(x+1)^5 [16(x+3)(x+1) - 3(2x-1)(2x+7)]}{(x+1)^{12}}$

Упростим выражение в квадратных скобках:

$16(x^2+4x+3) - 3(4x^2+12x-7) = 16x^2+64x+48 - 12x^2-36x+21 = 4x^2+28x+69$.

Проверим знак этого квадратного трехчлена. Дискриминант $\Delta = b^2 - 4ac = 28^2 - 4(4)(69) = 784 - 1104 = -320 < 0$. Так как старший коэффициент $4 > 0$, выражение $4x^2+28x+69$ всегда положительно.

Вторая производная имеет вид:

$f''(x) = \frac{6(2x-1)^6(x+1)^5(4x^2+28x+69)}{(x+1)^{12}} = \frac{6(2x-1)^6(4x^2+28x+69)}{(x+1)^7}$.

Решим неравенство $f''(x) < 0$:

$\frac{6(2x-1)^6(4x^2+28x+69)}{(x+1)^7} < 0$.

Знак этого выражения определяется знаком знаменателя $(x+1)^7$, так как множители в числителе $6$, $(2x-1)^6$ (при $x \neq 1/2$) и $(4x^2+28x+69)$ положительны.

Знак $(x+1)^7$ совпадает со знаком $(x+1)$.

Неравенство сводится к $x+1 < 0$, то есть $x < -1$.

Ответ: $x \in (-\infty, -1)$.

4) $f''(x) \le 0$

Используем найденную вторую производную $f''(x) = \frac{6(2x-1)^6(4x^2+28x+69)}{(x+1)^7}$.

Необходимо решить неравенство $f''(x) \le 0$.

Это неравенство включает случаи, когда $f''(x) < 0$ и когда $f''(x) = 0$.

Из пункта 3) мы знаем, что $f''(x) < 0$ при $x \in (-\infty, -1)$.

Найдем, при каких значениях $x$ вторая производная равна нулю: $f''(x) = 0$.

$\frac{6(2x-1)^6(4x^2+28x+69)}{(x+1)^7} = 0$.

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю. Так как $4x^2+28x+69 > 0$, равенство возможно только если $(2x-1)^6 = 0$.

Это выполняется при $2x-1=0$, то есть $x = 1/2$.

Объединяя решения для $f''(x) < 0$ и $f''(x) = 0$, получаем множество решений:

$x \in (-\infty, -1) \cup \{1/2\}$.

Ответ: $x \in (-\infty, -1) \cup \{1/2\}$.

45.9. Пусть $f(x) = \frac{(5x+4)^{13}}{(x-3)^6}$. Решите неравенство:

1) $f'(x) > 0;$

2) $f'(x) \ge 0;$

3) $f'(x) < 0;$

4) $f'(x) \le 0.$

Для решения данных неравенств необходимо сначала найти производную функции $f(x) = \frac{(5x + 4)^{13}}{(x - 3)^6}$, а затем исследовать ее знак.

Область определения исходной функции $f(x)$ и ее производной $f'(x)$ – все действительные числа, кроме $x=3$, так как знаменатель не может быть равен нулю.

Найдем производную $f'(x)$, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Пусть $u(x) = (5x + 4)^{13}$ и $v(x) = (x - 3)^6$.

Тогда их производные равны:

$u'(x) = ((5x + 4)^{13})' = 13(5x + 4)^{12} \cdot (5x+4)' = 13(5x + 4)^{12} \cdot 5 = 65(5x + 4)^{12}$.

$v'(x) = ((x - 3)^6)' = 6(x - 3)^5 \cdot (x-3)' = 6(x - 3)^5$.

Подставляем в формулу производной частного:

$f'(x) = \frac{65(5x + 4)^{12}(x - 3)^6 - (5x + 4)^{13} \cdot 6(x - 3)^5}{((x - 3)^6)^2}$

Вынесем общий множитель $(5x + 4)^{12}(x - 3)^5$ в числителе за скобки:

$f'(x) = \frac{(5x + 4)^{12}(x - 3)^5 [65(x - 3) - 6(5x + 4)]}{(x - 3)^{12}}$

Упростим выражение в квадратных скобках:

$65(x - 3) - 6(5x + 4) = 65x - 195 - 30x - 24 = 35x - 219$.

Подставим полученное выражение обратно и сократим дробь на $(x-3)^5$ (при $x \neq 3$):

$f'(x) = \frac{(5x + 4)^{12}(x - 3)^5(35x - 219)}{(x - 3)^{12}} = \frac{(5x + 4)^{12}(35x - 219)}{(x - 3)^7}$.

Теперь решим неравенства методом интервалов. Для этого найдем точки, в которых производная $f'(x)$ равна нулю или не существует.

$f'(x) = 0$ в случаях, когда числитель равен нулю:

$(5x + 4)^{12} = 0 \implies 5x + 4 = 0 \implies x = -4/5$.

$35x - 219 = 0 \implies x = 219/35$.

Производная $f'(x)$ не существует, когда знаменатель равен нулю:

$(x - 3)^7 = 0 \implies x - 3 = 0 \implies x = 3$.

Нанесем точки $x = -4/5$, $x = 3$ и $x = 219/35$ на числовую ось и определим знак $f'(x)$ в каждом интервале.Заметим, что множитель $(5x + 4)^{12}$ всегда неотрицателен (так как показатель степени четный) и не влияет на знак производной, кроме точки $x = -4/5$, где он обращает производную в ноль. Знак $f'(x)$ в интервалах совпадает со знаком выражения $\frac{35x - 219}{(x - 3)^7}$.

• При $x > 219/35$ (например, $x=10$): $\frac{(+)}{(+)} > 0$.

• При $3 < x < 219/35$ (например, $x=4$): $\frac{(-)}{(+)} < 0$.

• При $-4/5 < x < 3$ (например, $x=0$): $\frac{(-)}{(-)} > 0$.

• При $x < -4/5$ (например, $x=-1$): $\frac{(-)}{(-)} > 0$.

На основании этого анализа решим каждое неравенство.

1) $f'(x) > 0$;

Производная положительна на интервалах $(-\infty, -4/5)$, $(-4/5, 3)$ и $(219/35, \infty)$. Точка $x=-4/5$ не входит в решение, так как в ней производная равна нулю.

Ответ: $x \in (-\infty, -4/5) \cup (-4/5, 3) \cup (219/35, \infty)$.

2) $f'(x) \ge 0$;

К решению из пункта 1 добавим точки, где $f'(x) = 0$. Это точки $x = -4/5$ и $x = 219/35$. Объединение интервалов $(-\infty, -4/5) \cup (-4/5, 3)$ с точкой $x = -4/5$ дает интервал $(-\infty, 3)$. Точка $x=3$ не включается, так как в ней производная не определена. Интервал $(219/35, \infty)$ с точкой $x=219/35$ дает $[219/35, \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, 3) \cup [219/35, \infty)$.

3) $f'(x) < 0$;

Производная отрицательна на интервале $(3, 219/35)$.

Ответ: $x \in (3, 219/35)$.

4) $f'(x) \le 0$;

К решению из пункта 3 добавим точки, где $f'(x) = 0$. Это точки $x = -4/5$ и $x = 219/35$. Объединяя интервал $(3, 219/35)$ с точкой $x = 219/35$, получаем полуинтервал $(3, 219/35]$. Также необходимо включить в решение изолированную точку $x = -4/5$.

Ответ: $x \in \{-4/5\} \cup (3, 219/35]$.

45.10. Найдите производную функции:

1) $f(x) = \sin^2 3x;$

2) $f(x) = \cos^4 2x;$

3) $f(x) = \operatorname{tg}^{-5} (-x);$

4) $f(x) = \operatorname{ctg}^{-3} (1 - x);$

5) $f(x) = \arcsin 2x;$

6) $f(x) = \arccos 5x;$

7) $f(x) = \operatorname{arctg} 3x;$

8) $f(x) = x^2 - \arccos 2x.$

1) Для функции $f(x) = \sin^2{3x}$, которую можно записать как $f(x) = (\sin{3x})^2$, мы используем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило). Пусть внешняя функция $g(u) = u^2$ и внутренняя функция $u(x) = \sin{3x}$. Производная $f'(x)$ будет равна $g'(u) \cdot u'(x)$.

Сначала находим производную внешней функции: $(u^2)' = 2u = 2\sin{3x}$.

Затем находим производную внутренней функции $(\sin{3x})'$. Это тоже сложная функция, где $v(x) = 3x$. Её производная равна $(\sin{v})' \cdot v' = \cos{v} \cdot 3 = 3\cos{3x}$.

Теперь перемножаем результаты:

$f'(x) = 2\sin{3x} \cdot 3\cos{3x} = 6\sin{3x}\cos{3x}$.

Используя тригонометрическую формулу синуса двойного угла $\sin{2\alpha} = 2\sin{\alpha}\cos{\alpha}$, мы можем упростить выражение. В нашем случае $\alpha = 3x$.

$f'(x) = 3 \cdot (2\sin{3x}\cos{3x}) = 3\sin(2 \cdot 3x) = 3\sin{6x}$.

Ответ: $f'(x) = 3\sin{6x}$.

2) Функция $f(x) = \cos^4{2x}$ записывается как $f(x) = (\cos{2x})^4$. Применяем цепное правило. Внешняя функция $g(u)=u^4$, внутренняя $u(x)=\cos(2x)$.

$f'(x) = 4(\cos{2x})^{4-1} \cdot (\cos{2x})' = 4\cos^3{2x} \cdot (\cos{2x})'$.

Находим производную $(\cos{2x})'$, которая также является сложной функцией. Внутренняя функция $v(x) = 2x$.

$(\cos{2x})' = -\sin{2x} \cdot (2x)' = -\sin{2x} \cdot 2 = -2\sin{2x}$.

Подставляем это в выражение для $f'(x)$:

$f'(x) = 4\cos^3{2x} \cdot (-2\sin{2x}) = -8\sin{2x}\cos^3{2x}$.

Ответ: $f'(x) = -8\sin{2x}\cos^3{2x}$.

3) Функция $f(x) = \operatorname{tg}^{-5}(-x)$ может быть записана как $f(x) = (\operatorname{tg}(-x))^{-5}$. Воспользуемся свойством нечетности тангенса: $\operatorname{tg}(-x) = -\operatorname{tg}(x)$.

$f(x) = (-\operatorname{tg}(x))^{-5} = (-1)^{-5}(\operatorname{tg}(x))^{-5} = -(\operatorname{tg}(x))^{-5}$.

Теперь дифференцируем как сложную степенную функцию:

$f'(x) = -(-5)(\operatorname{tg}(x))^{-5-1} \cdot (\operatorname{tg}(x))' = 5(\operatorname{tg}(x))^{-6} \cdot (\operatorname{tg}(x))'$.

Производная тангенса $(\operatorname{tg}(x))' = \frac{1}{\cos^2{x}}$.

$f'(x) = 5\operatorname{tg}^{-6}(x) \cdot \frac{1}{\cos^2{x}} = \frac{5}{\operatorname{tg}^6(x)\cos^2(x)}$.

Для упрощения выразим тангенс через синус и косинус: $\operatorname{tg}(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$.

$f'(x) = \frac{5}{\left(\frac{\sin^6(x)}{\cos^6(x)}\right)\cos^2(x)} = \frac{5\cos^6(x)}{\sin^6(x)\cos^2(x)} = \frac{5\cos^4(x)}{\sin^6(x)}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{5\cos^4(x)}{\sin^6(x)}$.

4) Для функции $f(x) = \operatorname{ctg}^{-3}(1-x)$, сначала упростим выражение. Так как $\operatorname{ctg}(y) = 1/\operatorname{tg}(y)$, то $\operatorname{ctg}^{-1}(y) = \operatorname{tg}(y)$.

$f(x) = (\operatorname{ctg}(1-x))^{-3} = (\operatorname{tg}(1-x))^3 = \operatorname{tg}^3(1-x)$.

Это сложная функция. Пусть $u(x) = \operatorname{tg}(1-x)$, тогда $f(x) = u^3$.

$f'(x) = 3(\operatorname{tg}(1-x))^2 \cdot (\operatorname{tg}(1-x))'$.

Найдем производную $(\operatorname{tg}(1-x))'$. Пусть $v(x) = 1-x$.

$(\operatorname{tg}(v))' = \frac{1}{\cos^2(v)} \cdot v' = \frac{1}{\cos^2(1-x)} \cdot (1-x)' = \frac{1}{\cos^2(1-x)} \cdot (-1) = -\frac{1}{\cos^2(1-x)}$.

Подставляем обратно:

$f'(x) = 3\operatorname{tg}^2(1-x) \cdot \left(-\frac{1}{\cos^2(1-x)}\right) = -\frac{3\operatorname{tg}^2(1-x)}{\cos^2(1-x)}$.

Можно также выразить тангенс через синус и косинус для окончательного ответа:

$f'(x) = -\frac{3\frac{\sin^2(1-x)}{\cos^2(1-x)}}{\cos^2(1-x)} = -\frac{3\sin^2(1-x)}{\cos^4(1-x)}$.

Ответ: $f'(x) = -\frac{3\sin^2(1-x)}{\cos^4(1-x)}$.

5) Для функции $f(x) = \arcsin(2x)$ используем формулу производной арксинуса сложной функции $(\arcsin(u))' = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \cdot u'$.

В данном случае $u(x) = 2x$, поэтому $u' = (2x)' = 2$.

Подставляем в формулу:

$f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-(2x)^2}} \cdot 2 = \frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}$.

6) Для функции $f(x) = \arccos(5x)$ используем формулу производной арккосинуса сложной функции $(\arccos(u))' = -\frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \cdot u'$.

Здесь $u(x) = 5x$, значит $u' = (5x)' = 5$.

Подставляем в формулу:

$f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1-(5x)^2}} \cdot 5 = -\frac{5}{\sqrt{1-25x^2}}$.

Ответ: $f'(x) = -\frac{5}{\sqrt{1-25x^2}}$.

7) Для функции $f(x) = \operatorname{arctg}(3x)$ (арктангенс) используем формулу производной арктангенса сложной функции $(\operatorname{arctg}(u))' = \frac{1}{1+u^2} \cdot u'$.

Здесь $u(x) = 3x$, следовательно $u' = (3x)' = 3$.

Подставляем в формулу:

$f'(x) = \frac{1}{1+(3x)^2} \cdot 3 = \frac{3}{1+9x^2}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{3}{1+9x^2}$.

8) Для функции $f(x) = x^2 - \arccos(2x)$ используем правило дифференцирования разности: $(g(x) - h(x))' = g'(x) - h'(x)$.

Найдем производную каждого слагаемого отдельно.

Производная первого слагаемого: $(x^2)' = 2x$.

Производная второго слагаемого $(\arccos(2x))'$ является производной сложной функции. Используем формулу $(\arccos(u))' = -\frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \cdot u'$, где $u=2x$ и $u'=2$.

$(\arccos(2x))' = -\frac{1}{\sqrt{1-(2x)^2}} \cdot 2 = -\frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}$.

Теперь объединяем результаты, вычитая производную второго слагаемого из производной первого:

$f'(x) = (x^2)' - (\arccos(2x))' = 2x - \left(-\frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}\right) = 2x + \frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}$.

Ответ: $f'(x) = 2x + \frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}$.