Номер 45.4, страница 90, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

45.4. 1)

$f(x) = (5x^2 + 7)^6;$

2)

$f(x) = \sqrt{1 - x^2};$

3)

$f(x) = \frac{5}{1 - 2x};$

4)

$f(x) = \frac{2}{(2x + 3)^4}.$

1) Для нахождения производной функции $f(x) = (5x^2 + 7)^6$ воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции (цепным правилом): $(u(v(x)))' = u'(v(x)) \cdot v'(x)$.

В данном случае, внешняя функция $u(v) = v^6$, а внутренняя функция $v(x) = 5x^2 + 7$.

Находим производную внешней функции по ее аргументу: $u'(v) = (v^6)' = 6v^5$.

Находим производную внутренней функции по $x$: $v'(x) = (5x^2 + 7)' = 5 \cdot (x^2)' + (7)' = 5 \cdot 2x + 0 = 10x$.

Теперь подставляем наши функции и их производные в формулу цепного правила:

$f'(x) = 6(5x^2 + 7)^5 \cdot (5x^2 + 7)' = 6(5x^2 + 7)^5 \cdot 10x$.

Упростим выражение:

$f'(x) = 60x(5x^2 + 7)^5$.

Ответ: $f'(x) = 60x(5x^2 + 7)^5$.

2) Для нахождения производной функции $f(x) = \sqrt{1 - x^2}$ представим ее в виде степенной функции: $f(x) = (1 - x^2)^{1/2}$.

Используем правило дифференцирования сложной функции. Здесь внешняя функция $u(v) = v^{1/2}$, а внутренняя $v(x) = 1 - x^2$.

Производная внешней функции: $u'(v) = (v^{1/2})' = \frac{1}{2}v^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{v}}$.

Производная внутренней функции: $v'(x) = (1 - x^2)' = (1)' - (x^2)' = 0 - 2x = -2x$.

Применяем цепное правило:

$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{1 - x^2}} \cdot (1 - x^2)' = \frac{1}{2\sqrt{1 - x^2}} \cdot (-2x)$.

Сокращаем и упрощаем выражение:

$f'(x) = \frac{-2x}{2\sqrt{1 - x^2}} = -\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}$.

Ответ: $f'(x) = -\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}$.

3) Для нахождения производной функции $f(x) = \frac{5}{1 - 2x}$ представим ее в виде степенной функции: $f(x) = 5(1 - 2x)^{-1}$.

Это сложная функция. Внешняя функция $u(v) = 5v^{-1}$, внутренняя $v(x) = 1 - 2x$.

Находим производную внешней функции: $u'(v) = (5v^{-1})' = 5 \cdot (-1)v^{-2} = -5v^{-2}$.

Находим производную внутренней функции: $v'(x) = (1 - 2x)' = -2$.

По цепному правилу находим производную исходной функции:

$f'(x) = -5(1 - 2x)^{-2} \cdot (1 - 2x)' = -5(1 - 2x)^{-2} \cdot (-2)$.

Упростим полученное выражение:

$f'(x) = 10(1 - 2x)^{-2} = \frac{10}{(1 - 2x)^2}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{10}{(1 - 2x)^2}$.

4) Для нахождения производной функции $f(x) = \frac{2}{(2x + 3)^4}$ преобразуем ее к степенному виду: $f(x) = 2(2x + 3)^{-4}$.

Применим правило дифференцирования сложной функции. Внешняя функция $u(v) = 2v^{-4}$, внутренняя функция $v(x) = 2x + 3$.

Производная внешней функции: $u'(v) = (2v^{-4})' = 2 \cdot (-4)v^{-5} = -8v^{-5}$.

Производная внутренней функции: $v'(x) = (2x + 3)' = 2$.

По цепному правилу:

$f'(x) = -8(2x + 3)^{-5} \cdot (2x + 3)' = -8(2x + 3)^{-5} \cdot 2$.

Упрощая, получаем:

$f'(x) = -16(2x + 3)^{-5} = -\frac{16}{(2x + 3)^5}$.

Ответ: $f'(x) = -\frac{16}{(2x + 3)^5}$.