Номер 45.5, страница 90, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

45.5. Из функций $f(x)$ и $g(x)$ составьте сложные функции $f(g(x))$, $f(f(x))$, $g(g(x)):$

1) $f(x) = x - 1, g(x) = \sqrt{3x - 2};$

2) $f(x) = 3 - 2x^3, g(x) = \frac{1}{x - 2};$

3) $f(x) = \frac{2x}{3x - 1}, g(x) = \frac{1}{x^2 + 2};$

4) $f(x) = \sqrt{x^3 - 2x}, g(x) = \frac{1}{x^3};$

5) $f(x) = \sin3x + 5x, g(x) = x^2 - 1;$

6) $f(x) = \cos5x - 6, g(x) = \tan7x.$

1) Даны функции $f(x) = x - 1$ и $g(x) = \sqrt{3x - 2}$. Составим сложные функции.

Для нахождения $f(g(x))$ подставляем $g(x)$ в $f(x)$:

$f(g(x)) = f(\sqrt{3x - 2}) = (\sqrt{3x - 2}) - 1 = \sqrt{3x - 2} - 1$.

Для нахождения $f(f(x))$ подставляем $f(x)$ в $f(x)$:

$f(f(x)) = f(x - 1) = (x - 1) - 1 = x - 2$.

Для нахождения $g(g(x))$ подставляем $g(x)$ в $g(x)$:

$g(g(x)) = g(\sqrt{3x - 2}) = \sqrt{3(\sqrt{3x - 2}) - 2} = \sqrt{3\sqrt{3x - 2} - 2}$.

Ответ: $f(g(x)) = \sqrt{3x - 2} - 1$; $f(f(x)) = x - 2$; $g(g(x)) = \sqrt{3\sqrt{3x - 2} - 2}$.

2) Даны функции $f(x) = 3 - 2x^4$ и $g(x) = \frac{1}{x - 2}$. Составим сложные функции.

Для нахождения $f(g(x))$ подставляем $g(x)$ в $f(x)$:

$f(g(x)) = f(\frac{1}{x - 2}) = 3 - 2(\frac{1}{x - 2})^4 = 3 - \frac{2}{(x - 2)^4}$.

Для нахождения $f(f(x))$ подставляем $f(x)$ в $f(x)$:

$f(f(x)) = f(3 - 2x^4) = 3 - 2(3 - 2x^4)^4$.

Для нахождения $g(g(x))$ подставляем $g(x)$ в $g(x)$:

$g(g(x)) = g(\frac{1}{x - 2}) = \frac{1}{(\frac{1}{x - 2}) - 2} = \frac{1}{\frac{1 - 2(x - 2)}{x - 2}} = \frac{1}{\frac{1 - 2x + 4}{x - 2}} = \frac{x - 2}{5 - 2x}$.

Ответ: $f(g(x)) = 3 - \frac{2}{(x - 2)^4}$; $f(f(x)) = 3 - 2(3 - 2x^4)^4$; $g(g(x)) = \frac{x - 2}{5 - 2x}$.

3) Даны функции $f(x) = \frac{2x}{3x - 1}$ и $g(x) = \frac{1}{x^2 + 2}$. Составим сложные функции.

Для нахождения $f(g(x))$ подставляем $g(x)$ в $f(x)$:

$f(g(x)) = f(\frac{1}{x^2 + 2}) = \frac{2(\frac{1}{x^2 + 2})}{3(\frac{1}{x^2 + 2}) - 1} = \frac{\frac{2}{x^2 + 2}}{\frac{3 - (x^2 + 2)}{x^2 + 2}} = \frac{2}{3 - x^2 - 2} = \frac{2}{1 - x^2}$.

Для нахождения $f(f(x))$ подставляем $f(x)$ в $f(x)$:

$f(f(x)) = f(\frac{2x}{3x - 1}) = \frac{2(\frac{2x}{3x - 1})}{3(\frac{2x}{3x - 1}) - 1} = \frac{\frac{4x}{3x - 1}}{\frac{6x - (3x - 1)}{3x - 1}} = \frac{4x}{6x - 3x + 1} = \frac{4x}{3x + 1}$.

Для нахождения $g(g(x))$ подставляем $g(x)$ в $g(x)$:

$g(g(x)) = g(\frac{1}{x^2 + 2}) = \frac{1}{(\frac{1}{x^2 + 2})^2 + 2} = \frac{1}{\frac{1 + 2(x^2 + 2)^2}{(x^2 + 2)^2}} = \frac{(x^2 + 2)^2}{1 + 2(x^4 + 4x^2 + 4)} = \frac{(x^2 + 2)^2}{2x^4 + 8x^2 + 9}$.

Ответ: $f(g(x)) = \frac{2}{1 - x^2}$; $f(f(x)) = \frac{4x}{3x + 1}$; $g(g(x)) = \frac{(x^2 + 2)^2}{2x^4 + 8x^2 + 9}$.

4) Даны функции $f(x) = \sqrt{x^3 - 2x}$ и $g(x) = \frac{1}{x^3}$. Составим сложные функции.

Для нахождения $f(g(x))$ подставляем $g(x)$ в $f(x)$:

$f(g(x)) = f(\frac{1}{x^3}) = \sqrt{(\frac{1}{x^3})^3 - 2(\frac{1}{x^3})} = \sqrt{\frac{1}{x^9} - \frac{2}{x^3}} = \sqrt{\frac{1 - 2x^6}{x^9}}$.

Для нахождения $f(f(x))$ подставляем $f(x)$ в $f(x)$:

$f(f(x)) = f(\sqrt{x^3 - 2x}) = \sqrt{(\sqrt{x^3 - 2x})^3 - 2(\sqrt{x^3 - 2x})} = \sqrt{(x^3 - 2x)\sqrt{x^3 - 2x} - 2\sqrt{x^3 - 2x}} = \sqrt{\sqrt{x^3 - 2x}(x^3 - 2x - 2)}$.

Для нахождения $g(g(x))$ подставляем $g(x)$ в $g(x)$:

$g(g(x)) = g(\frac{1}{x^3}) = \frac{1}{(\frac{1}{x^3})^3} = \frac{1}{\frac{1}{x^9}} = x^9$.

Ответ: $f(g(x)) = \sqrt{\frac{1 - 2x^6}{x^9}}$; $f(f(x)) = \sqrt{\sqrt{x^3 - 2x}(x^3 - 2x - 2)}$; $g(g(x)) = x^9$.

5) Даны функции $f(x) = \sin(3x) + 5x$ и $g(x) = x^2 - 1$. Составим сложные функции.

Для нахождения $f(g(x))$ подставляем $g(x)$ в $f(x)$:

$f(g(x)) = f(x^2 - 1) = \sin(3(x^2 - 1)) + 5(x^2 - 1) = \sin(3x^2 - 3) + 5x^2 - 5$.

Для нахождения $f(f(x))$ подставляем $f(x)$ в $f(x)$:

$f(f(x)) = f(\sin(3x) + 5x) = \sin(3(\sin(3x) + 5x)) + 5(\sin(3x) + 5x) = \sin(3\sin(3x) + 15x) + 5\sin(3x) + 25x$.

Для нахождения $g(g(x))$ подставляем $g(x)$ в $g(x)$:

$g(g(x)) = g(x^2 - 1) = (x^2 - 1)^2 - 1 = (x^4 - 2x^2 + 1) - 1 = x^4 - 2x^2$.

Ответ: $f(g(x)) = \sin(3x^2 - 3) + 5x^2 - 5$; $f(f(x)) = \sin(3\sin(3x) + 15x) + 5\sin(3x) + 25x$; $g(g(x)) = x^4 - 2x^2$.

6) Даны функции $f(x) = \cos(5x) - 6$ и $g(x) = \tan(7x)$. Составим сложные функции.

Для нахождения $f(g(x))$ подставляем $g(x)$ в $f(x)$:

$f(g(x)) = f(\tan(7x)) = \cos(5\tan(7x)) - 6$.

Для нахождения $f(f(x))$ подставляем $f(x)$ в $f(x)$:

$f(f(x)) = f(\cos(5x) - 6) = \cos(5(\cos(5x) - 6)) - 6 = \cos(5\cos(5x) - 30) - 6$.

Для нахождения $g(g(x))$ подставляем $g(x)$ в $g(x)$:

$g(g(x)) = g(\tan(7x)) = \tan(7(\tan(7x))) = \tan(7\tan(7x))$.

Ответ: $f(g(x)) = \cos(5\tan(7x)) - 6$; $f(f(x)) = \cos(5\cos(5x) - 30) - 6$; $g(g(x)) = \tan(7\tan(7x))$.