Номер 45.1, страница 89, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Найдите производные сложных функций (45.1–45.4):

45.1. 1) $f(x) = \sin(3x)$; 2) $f(x) = \cos(1 - 2x)$;

3) $f(x) = \operatorname{tg}(5x)$; 4) $f(x) = \operatorname{ctg}(x - 2)$;

5) $f(x) = \sin(3 - 2x)$; 6) $f(x) = \operatorname{ctg}(5 - 3x)$.

Для нахождения производных сложных функций используется правило дифференцирования сложной функции (цепное правило): $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$. Это правило гласит, что производная сложной функции равна произведению производной внешней функции по её аргументу на производную внутренней функции по независимой переменной.

1) Дана функция $f(x) = \sin(3x)$.

Здесь внешняя функция — это синус, $f(u) = \sin(u)$, а внутренняя — $g(x) = 3x$.

Производная внешней функции: $(\sin(u))' = \cos(u)$.

Производная внутренней функции: $(3x)' = 3$.

Применяя цепное правило, получаем:

$f'(x) = (\sin(3x))' = \cos(3x) \cdot (3x)' = \cos(3x) \cdot 3 = 3\cos(3x)$.

Ответ: $3\cos(3x)$.

2) Дана функция $f(x) = \cos(1 - 2x)$.

Внешняя функция: $f(u) = \cos(u)$. Внутренняя функция: $g(x) = 1 - 2x$.

Производная внешней функции: $(\cos(u))' = -\sin(u)$.

Производная внутренней функции: $(1 - 2x)' = -2$.

По цепному правилу:

$f'(x) = (\cos(1 - 2x))' = -\sin(1 - 2x) \cdot (1 - 2x)' = -\sin(1 - 2x) \cdot (-2) = 2\sin(1 - 2x)$.

Ответ: $2\sin(1 - 2x)$.

3) Дана функция $f(x) = \text{tg}(5x)$.

Внешняя функция: $f(u) = \text{tg}(u)$. Внутренняя функция: $g(x) = 5x$.

Производная внешней функции: $(\text{tg}(u))' = \frac{1}{\cos^2(u)}$.

Производная внутренней функции: $(5x)' = 5$.

По цепному правилу:

$f'(x) = (\text{tg}(5x))' = \frac{1}{\cos^2(5x)} \cdot (5x)' = \frac{1}{\cos^2(5x)} \cdot 5 = \frac{5}{\cos^2(5x)}$.

Ответ: $\frac{5}{\cos^2(5x)}$.

4) Дана функция $f(x) = \text{ctg}(x - 2)$.

Внешняя функция: $f(u) = \text{ctg}(u)$. Внутренняя функция: $g(x) = x - 2$.

Производная внешней функции: $(\text{ctg}(u))' = -\frac{1}{\sin^2(u)}$.

Производная внутренней функции: $(x - 2)' = 1$.

По цепному правилу:

$f'(x) = (\text{ctg}(x - 2))' = -\frac{1}{\sin^2(x - 2)} \cdot (x - 2)' = -\frac{1}{\sin^2(x - 2)} \cdot 1 = -\frac{1}{\sin^2(x - 2)}$.

Ответ: $-\frac{1}{\sin^2(x - 2)}$.

5) Дана функция $f(x) = \sin(3 - 2x)$.

Внешняя функция: $f(u) = \sin(u)$. Внутренняя функция: $g(x) = 3 - 2x$.

Производная внешней функции: $(\sin(u))' = \cos(u)$.

Производная внутренней функции: $(3 - 2x)' = -2$.

По цепному правилу:

$f'(x) = (\sin(3 - 2x))' = \cos(3 - 2x) \cdot (3 - 2x)' = \cos(3 - 2x) \cdot (-2) = -2\cos(3 - 2x)$.

Ответ: $-2\cos(3 - 2x)$.

6) Дана функция $f(x) = \text{ctg}(5 - 3x)$.

Внешняя функция: $f(u) = \text{ctg}(u)$. Внутренняя функция: $g(x) = 5 - 3x$.

Производная внешней функции: $(\text{ctg}(u))' = -\frac{1}{\sin^2(u)}$.

Производная внутренней функции: $(5 - 3x)' = -3$.

По цепному правилу:

$f'(x) = (\text{ctg}(5 - 3x))' = -\frac{1}{\sin^2(5 - 3x)} \cdot (5 - 3x)' = -\frac{1}{\sin^2(5 - 3x)} \cdot (-3) = \frac{3}{\sin^2(5 - 3x)}$.

Ответ: $\frac{3}{\sin^2(5 - 3x)}$.