Номер 45.6, страница 90, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

45.6. Найдите производную функции:

1) $f(x) = \sqrt{\frac{x^2 - 2x}{3x+2}}$;

2) $f(x) = (x^2 - 3)\sqrt{3x - 1}$;

3) $f(x) = 3x \cdot \left(\frac{1}{4}x - 5x^3\right)^2$;

4) $f(x) = (\sqrt{2x - 3} - x)^4$.

1) Дана функция $f(x) = \sqrt{\frac{x^2 - 2x}{3x + 2}}$.

Для нахождения производной этой функции, мы будем использовать правило дифференцирования сложной функции (цепное правило) и правило дифференцирования частного.

Представим функцию в виде $f(x) = \left(\frac{x^2 - 2x}{3x + 2}\right)^{1/2}$.

По цепному правилу $(u^n)' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'$. В нашем случае $u = \frac{x^2 - 2x}{3x + 2}$ и $n = 1/2$.

$f'(x) = \frac{1}{2}\left(\frac{x^2 - 2x}{3x + 2}\right)^{-1/2} \cdot \left(\frac{x^2 - 2x}{3x + 2}\right)'$.

Теперь найдем производную частного $u' = \left(\frac{x^2 - 2x}{3x + 2}\right)'$ по формуле $\left(\frac{g}{h}\right)' = \frac{g'h - gh'}{h^2}$, где $g(x) = x^2 - 2x$ и $h(x) = 3x + 2$.

Находим производные $g'(x) = 2x - 2$ и $h'(x) = 3$.

Подставляем в формулу производной частного:

$u' = \frac{(2x - 2)(3x + 2) - (x^2 - 2x)(3)}{(3x + 2)^2}$

Раскроем скобки в числителе:

$u' = \frac{6x^2 + 4x - 6x - 4 - (3x^2 - 6x)}{(3x + 2)^2} = \frac{6x^2 - 2x - 4 - 3x^2 + 6x}{(3x + 2)^2} = \frac{3x^2 + 4x - 4}{(3x + 2)^2}$.

Теперь подставим найденное $u'$ обратно в выражение для $f'(x)$:

$f'(x) = \frac{1}{2}\left(\frac{x^2 - 2x}{3x + 2}\right)^{-1/2} \cdot \frac{3x^2 + 4x - 4}{(3x + 2)^2}$.

Упростим выражение, помня что $a^{-1/2} = 1/\sqrt{a}$:

$f'(x) = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{3x+2}{x^2-2x}} \cdot \frac{3x^2+4x-4}{(3x+2)^2} = \frac{1}{2} \frac{\sqrt{3x+2}}{\sqrt{x^2-2x}} \cdot \frac{3x^2+4x-4}{(3x+2)^2}$.

Сокращая $\sqrt{3x+2}$ и $(3x+2)^2$, получаем $(3x+2)^{3/2}$ в знаменателе:

$f'(x) = \frac{3x^2+4x-4}{2\sqrt{x^2-2x}(3x+2)\sqrt{3x+2}} = \frac{3x^2+4x-4}{2\sqrt{x^2-2x}\sqrt{(3x+2)^3}}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{3x^2+4x-4}{2\sqrt{(x^2-2x)(3x+2)^3}}$.

2) Дана функция $f(x) = (x^2 - 3)\sqrt{3x - 1}$.

Для нахождения производной этой функции, мы будем использовать правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = x^2 - 3$ и $v(x) = \sqrt{3x - 1}$.

Находим производные $u'(x)$ и $v'(x)$.

$u'(x) = (x^2 - 3)' = 2x$.

Для нахождения $v'(x)$ используем цепное правило, представив корень как степень $1/2$:

$v'(x) = (\sqrt{3x - 1})' = ((3x-1)^{1/2})' = \frac{1}{2}(3x-1)^{-1/2} \cdot (3x - 1)' = \frac{1}{2\sqrt{3x - 1}} \cdot 3 = \frac{3}{2\sqrt{3x - 1}}$.

Теперь подставляем найденные производные в формулу произведения:

$f'(x) = u'v + uv' = 2x \cdot \sqrt{3x - 1} + (x^2 - 3) \cdot \frac{3}{2\sqrt{3x - 1}}$.

Приведем выражение к общему знаменателю $2\sqrt{3x - 1}$:

$f'(x) = \frac{2x \sqrt{3x - 1} \cdot 2\sqrt{3x - 1} + 3(x^2 - 3)}{2\sqrt{3x - 1}}$.

Упростим числитель, учитывая что $\sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a$:

$f'(x) = \frac{4x(3x - 1) + 3(x^2 - 3)}{2\sqrt{3x - 1}} = \frac{12x^2 - 4x + 3x^2 - 9}{2\sqrt{3x - 1}} = \frac{15x^2 - 4x - 9}{2\sqrt{3x - 1}}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{15x^2 - 4x - 9}{2\sqrt{3x - 1}}$.

3) Дана функция $f(x) = 3x \cdot \left(\frac{1}{4}x - 5x^3\right)^2$.

Для упрощения нахождения производной, сначала раскроем скобки и упростим выражение для функции $f(x)$.

Возведем в квадрат выражение в скобках по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$\left(\frac{1}{4}x - 5x^3\right)^2 = \left(\frac{1}{4}x\right)^2 - 2 \cdot \left(\frac{1}{4}x\right) \cdot (5x^3) + (5x^3)^2 = \frac{1}{16}x^2 - \frac{10}{4}x^4 + 25x^6 = \frac{1}{16}x^2 - \frac{5}{2}x^4 + 25x^6$.

Теперь умножим результат на $3x$:

$f(x) = 3x \left(\frac{1}{16}x^2 - \frac{5}{2}x^4 + 25x^6\right) = \frac{3}{16}x^3 - \frac{15}{2}x^5 + 75x^7$.

Теперь найти производную этой степенной функции просто, используя правило $(cx^n)' = c \cdot nx^{n-1}$ для каждого слагаемого:

$f'(x) = \left(\frac{3}{16}x^3\right)' - \left(\frac{15}{2}x^5\right)' + (75x^7)'$.

$f'(x) = \frac{3}{16} \cdot 3x^2 - \frac{15}{2} \cdot 5x^4 + 75 \cdot 7x^6$.

$f'(x) = \frac{9}{16}x^2 - \frac{75}{2}x^4 + 525x^6$.

Ответ: $f'(x) = \frac{9}{16}x^2 - \frac{75}{2}x^4 + 525x^6$.

4) Дана функция $f(x) = (\sqrt{2x - 3} - x)^4$.

Это сложная функция, для нахождения ее производной будем использовать цепное правило $(u^n)' = n u^{n-1} u'$.

Здесь внешняя функция - это возведение в степень 4, а внутренняя функция $u(x) = \sqrt{2x - 3} - x$.

$f'(x) = 4(\sqrt{2x - 3} - x)^{4-1} \cdot (\sqrt{2x - 3} - x)'$.

$f'(x) = 4(\sqrt{2x - 3} - x)^3 \cdot (\sqrt{2x - 3} - x)'$.

Теперь найдем производную внутренней функции $u'(x) = (\sqrt{2x - 3} - x)'$.

$u'(x) = (\sqrt{2x - 3})' - (x)'$.

Производная первого слагаемого $(\sqrt{2x-3})'$ также находится по цепному правилу:

$(\sqrt{2x - 3})' = ((2x - 3)^{1/2})' = \frac{1}{2}(2x - 3)^{-1/2} \cdot (2x - 3)' = \frac{1}{2\sqrt{2x-3}} \cdot 2 = \frac{1}{\sqrt{2x-3}}$.

Производная второго слагаемого $(x)' = 1$.

Таким образом, $u'(x) = \frac{1}{\sqrt{2x-3}} - 1$.

Подставим найденную производную $u'(x)$ в выражение для $f'(x)$:

$f'(x) = 4(\sqrt{2x - 3} - x)^3 \left(\frac{1}{\sqrt{2x-3}} - 1\right)$.

Ответ: $f'(x) = 4\left(\frac{1}{\sqrt{2x-3}} - 1\right)(\sqrt{2x - 3} - x)^3$.