Номер 45.10, страница 90, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

45.10. Найдите производную функции:

1) $f(x) = \sin^2 3x;$

2) $f(x) = \cos^4 2x;$

3) $f(x) = \operatorname{tg}^{-5} (-x);$

4) $f(x) = \operatorname{ctg}^{-3} (1 - x);$

5) $f(x) = \arcsin 2x;$

6) $f(x) = \arccos 5x;$

7) $f(x) = \operatorname{arctg} 3x;$

8) $f(x) = x^2 - \arccos 2x.$

1) Для функции $f(x) = \sin^2{3x}$, которую можно записать как $f(x) = (\sin{3x})^2$, мы используем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило). Пусть внешняя функция $g(u) = u^2$ и внутренняя функция $u(x) = \sin{3x}$. Производная $f'(x)$ будет равна $g'(u) \cdot u'(x)$.

Сначала находим производную внешней функции: $(u^2)' = 2u = 2\sin{3x}$.

Затем находим производную внутренней функции $(\sin{3x})'$. Это тоже сложная функция, где $v(x) = 3x$. Её производная равна $(\sin{v})' \cdot v' = \cos{v} \cdot 3 = 3\cos{3x}$.

Теперь перемножаем результаты:

$f'(x) = 2\sin{3x} \cdot 3\cos{3x} = 6\sin{3x}\cos{3x}$.

Используя тригонометрическую формулу синуса двойного угла $\sin{2\alpha} = 2\sin{\alpha}\cos{\alpha}$, мы можем упростить выражение. В нашем случае $\alpha = 3x$.

$f'(x) = 3 \cdot (2\sin{3x}\cos{3x}) = 3\sin(2 \cdot 3x) = 3\sin{6x}$.

Ответ: $f'(x) = 3\sin{6x}$.

2) Функция $f(x) = \cos^4{2x}$ записывается как $f(x) = (\cos{2x})^4$. Применяем цепное правило. Внешняя функция $g(u)=u^4$, внутренняя $u(x)=\cos(2x)$.

$f'(x) = 4(\cos{2x})^{4-1} \cdot (\cos{2x})' = 4\cos^3{2x} \cdot (\cos{2x})'$.

Находим производную $(\cos{2x})'$, которая также является сложной функцией. Внутренняя функция $v(x) = 2x$.

$(\cos{2x})' = -\sin{2x} \cdot (2x)' = -\sin{2x} \cdot 2 = -2\sin{2x}$.

Подставляем это в выражение для $f'(x)$:

$f'(x) = 4\cos^3{2x} \cdot (-2\sin{2x}) = -8\sin{2x}\cos^3{2x}$.

Ответ: $f'(x) = -8\sin{2x}\cos^3{2x}$.

3) Функция $f(x) = \operatorname{tg}^{-5}(-x)$ может быть записана как $f(x) = (\operatorname{tg}(-x))^{-5}$. Воспользуемся свойством нечетности тангенса: $\operatorname{tg}(-x) = -\operatorname{tg}(x)$.

$f(x) = (-\operatorname{tg}(x))^{-5} = (-1)^{-5}(\operatorname{tg}(x))^{-5} = -(\operatorname{tg}(x))^{-5}$.

Теперь дифференцируем как сложную степенную функцию:

$f'(x) = -(-5)(\operatorname{tg}(x))^{-5-1} \cdot (\operatorname{tg}(x))' = 5(\operatorname{tg}(x))^{-6} \cdot (\operatorname{tg}(x))'$.

Производная тангенса $(\operatorname{tg}(x))' = \frac{1}{\cos^2{x}}$.

$f'(x) = 5\operatorname{tg}^{-6}(x) \cdot \frac{1}{\cos^2{x}} = \frac{5}{\operatorname{tg}^6(x)\cos^2(x)}$.

Для упрощения выразим тангенс через синус и косинус: $\operatorname{tg}(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$.

$f'(x) = \frac{5}{\left(\frac{\sin^6(x)}{\cos^6(x)}\right)\cos^2(x)} = \frac{5\cos^6(x)}{\sin^6(x)\cos^2(x)} = \frac{5\cos^4(x)}{\sin^6(x)}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{5\cos^4(x)}{\sin^6(x)}$.

4) Для функции $f(x) = \operatorname{ctg}^{-3}(1-x)$, сначала упростим выражение. Так как $\operatorname{ctg}(y) = 1/\operatorname{tg}(y)$, то $\operatorname{ctg}^{-1}(y) = \operatorname{tg}(y)$.

$f(x) = (\operatorname{ctg}(1-x))^{-3} = (\operatorname{tg}(1-x))^3 = \operatorname{tg}^3(1-x)$.

Это сложная функция. Пусть $u(x) = \operatorname{tg}(1-x)$, тогда $f(x) = u^3$.

$f'(x) = 3(\operatorname{tg}(1-x))^2 \cdot (\operatorname{tg}(1-x))'$.

Найдем производную $(\operatorname{tg}(1-x))'$. Пусть $v(x) = 1-x$.

$(\operatorname{tg}(v))' = \frac{1}{\cos^2(v)} \cdot v' = \frac{1}{\cos^2(1-x)} \cdot (1-x)' = \frac{1}{\cos^2(1-x)} \cdot (-1) = -\frac{1}{\cos^2(1-x)}$.

Подставляем обратно:

$f'(x) = 3\operatorname{tg}^2(1-x) \cdot \left(-\frac{1}{\cos^2(1-x)}\right) = -\frac{3\operatorname{tg}^2(1-x)}{\cos^2(1-x)}$.

Можно также выразить тангенс через синус и косинус для окончательного ответа:

$f'(x) = -\frac{3\frac{\sin^2(1-x)}{\cos^2(1-x)}}{\cos^2(1-x)} = -\frac{3\sin^2(1-x)}{\cos^4(1-x)}$.

Ответ: $f'(x) = -\frac{3\sin^2(1-x)}{\cos^4(1-x)}$.

5) Для функции $f(x) = \arcsin(2x)$ используем формулу производной арксинуса сложной функции $(\arcsin(u))' = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \cdot u'$.

В данном случае $u(x) = 2x$, поэтому $u' = (2x)' = 2$.

Подставляем в формулу:

$f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-(2x)^2}} \cdot 2 = \frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}$.

6) Для функции $f(x) = \arccos(5x)$ используем формулу производной арккосинуса сложной функции $(\arccos(u))' = -\frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \cdot u'$.

Здесь $u(x) = 5x$, значит $u' = (5x)' = 5$.

Подставляем в формулу:

$f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1-(5x)^2}} \cdot 5 = -\frac{5}{\sqrt{1-25x^2}}$.

Ответ: $f'(x) = -\frac{5}{\sqrt{1-25x^2}}$.

7) Для функции $f(x) = \operatorname{arctg}(3x)$ (арктангенс) используем формулу производной арктангенса сложной функции $(\operatorname{arctg}(u))' = \frac{1}{1+u^2} \cdot u'$.

Здесь $u(x) = 3x$, следовательно $u' = (3x)' = 3$.

Подставляем в формулу:

$f'(x) = \frac{1}{1+(3x)^2} \cdot 3 = \frac{3}{1+9x^2}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{3}{1+9x^2}$.

8) Для функции $f(x) = x^2 - \arccos(2x)$ используем правило дифференцирования разности: $(g(x) - h(x))' = g'(x) - h'(x)$.

Найдем производную каждого слагаемого отдельно.

Производная первого слагаемого: $(x^2)' = 2x$.

Производная второго слагаемого $(\arccos(2x))'$ является производной сложной функции. Используем формулу $(\arccos(u))' = -\frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \cdot u'$, где $u=2x$ и $u'=2$.

$(\arccos(2x))' = -\frac{1}{\sqrt{1-(2x)^2}} \cdot 2 = -\frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}$.

Теперь объединяем результаты, вычитая производную второго слагаемого из производной первого:

$f'(x) = (x^2)' - (\arccos(2x))' = 2x - \left(-\frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}\right) = 2x + \frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}$.

Ответ: $f'(x) = 2x + \frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}$.