Номер 45.9, страница 90, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

45.9. Пусть $f(x) = \frac{(5x+4)^{13}}{(x-3)^6}$. Решите неравенство:

1) $f'(x) > 0;$

2) $f'(x) \ge 0;$

3) $f'(x) < 0;$

4) $f'(x) \le 0.$

Для решения данных неравенств необходимо сначала найти производную функции $f(x) = \frac{(5x + 4)^{13}}{(x - 3)^6}$, а затем исследовать ее знак.

Область определения исходной функции $f(x)$ и ее производной $f'(x)$ – все действительные числа, кроме $x=3$, так как знаменатель не может быть равен нулю.

Найдем производную $f'(x)$, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Пусть $u(x) = (5x + 4)^{13}$ и $v(x) = (x - 3)^6$.

Тогда их производные равны:

$u'(x) = ((5x + 4)^{13})' = 13(5x + 4)^{12} \cdot (5x+4)' = 13(5x + 4)^{12} \cdot 5 = 65(5x + 4)^{12}$.

$v'(x) = ((x - 3)^6)' = 6(x - 3)^5 \cdot (x-3)' = 6(x - 3)^5$.

Подставляем в формулу производной частного:

$f'(x) = \frac{65(5x + 4)^{12}(x - 3)^6 - (5x + 4)^{13} \cdot 6(x - 3)^5}{((x - 3)^6)^2}$

Вынесем общий множитель $(5x + 4)^{12}(x - 3)^5$ в числителе за скобки:

$f'(x) = \frac{(5x + 4)^{12}(x - 3)^5 [65(x - 3) - 6(5x + 4)]}{(x - 3)^{12}}$

Упростим выражение в квадратных скобках:

$65(x - 3) - 6(5x + 4) = 65x - 195 - 30x - 24 = 35x - 219$.

Подставим полученное выражение обратно и сократим дробь на $(x-3)^5$ (при $x \neq 3$):

$f'(x) = \frac{(5x + 4)^{12}(x - 3)^5(35x - 219)}{(x - 3)^{12}} = \frac{(5x + 4)^{12}(35x - 219)}{(x - 3)^7}$.

Теперь решим неравенства методом интервалов. Для этого найдем точки, в которых производная $f'(x)$ равна нулю или не существует.

$f'(x) = 0$ в случаях, когда числитель равен нулю:

$(5x + 4)^{12} = 0 \implies 5x + 4 = 0 \implies x = -4/5$.

$35x - 219 = 0 \implies x = 219/35$.

Производная $f'(x)$ не существует, когда знаменатель равен нулю:

$(x - 3)^7 = 0 \implies x - 3 = 0 \implies x = 3$.

Нанесем точки $x = -4/5$, $x = 3$ и $x = 219/35$ на числовую ось и определим знак $f'(x)$ в каждом интервале.Заметим, что множитель $(5x + 4)^{12}$ всегда неотрицателен (так как показатель степени четный) и не влияет на знак производной, кроме точки $x = -4/5$, где он обращает производную в ноль. Знак $f'(x)$ в интервалах совпадает со знаком выражения $\frac{35x - 219}{(x - 3)^7}$.

• При $x > 219/35$ (например, $x=10$): $\frac{(+)}{(+)} > 0$.

• При $3 < x < 219/35$ (например, $x=4$): $\frac{(-)}{(+)} < 0$.

• При $-4/5 < x < 3$ (например, $x=0$): $\frac{(-)}{(-)} > 0$.

• При $x < -4/5$ (например, $x=-1$): $\frac{(-)}{(-)} > 0$.

На основании этого анализа решим каждое неравенство.

1) $f'(x) > 0$;

Производная положительна на интервалах $(-\infty, -4/5)$, $(-4/5, 3)$ и $(219/35, \infty)$. Точка $x=-4/5$ не входит в решение, так как в ней производная равна нулю.

Ответ: $x \in (-\infty, -4/5) \cup (-4/5, 3) \cup (219/35, \infty)$.

2) $f'(x) \ge 0$;

К решению из пункта 1 добавим точки, где $f'(x) = 0$. Это точки $x = -4/5$ и $x = 219/35$. Объединение интервалов $(-\infty, -4/5) \cup (-4/5, 3)$ с точкой $x = -4/5$ дает интервал $(-\infty, 3)$. Точка $x=3$ не включается, так как в ней производная не определена. Интервал $(219/35, \infty)$ с точкой $x=219/35$ дает $[219/35, \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, 3) \cup [219/35, \infty)$.

3) $f'(x) < 0$;

Производная отрицательна на интервале $(3, 219/35)$.

Ответ: $x \in (3, 219/35)$.

4) $f'(x) \le 0$;

К решению из пункта 3 добавим точки, где $f'(x) = 0$. Это точки $x = -4/5$ и $x = 219/35$. Объединяя интервал $(3, 219/35)$ с точкой $x = 219/35$, получаем полуинтервал $(3, 219/35]$. Также необходимо включить в решение изолированную точку $x = -4/5$.

Ответ: $x \in \{-4/5\} \cup (3, 219/35]$.