Номер 45.11, страница 91, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

45.11. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке $x_0$:

1) $f(x) = 2\sin^2x + \sqrt{3}$, $x_0 = \frac{3\pi}{4}$; 2) $f(x) = \cos^2x - 1$, $x_0 = \frac{2\pi}{3}$;

3) $f(x) = \cos3x + 1$, $x_0 = \frac{\pi}{3}$; 4) $f(x) = \cos^23x - \sin^23x$, $x_0 = \frac{5\pi}{6}$;

5) $f(x) = \arccos3x$, $x_0 = \frac{1}{4}$; 6) $f(x) = \arcsin^2x$, $x_0 = \frac{1}{2}$.

Угловой коэффициент касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке $x_0$ равен значению производной функции в этой точке, то есть $k = f'(x_0)$.

1) Дана функция $f(x) = 2\sin^2x + \sqrt{3}$ и точка $x_0 = \frac{3\pi}{4}$.

Сначала найдем производную функции. Используя правило дифференцирования сложной функции и тот факт, что производная константы равна нулю, получаем:

$f'(x) = (2\sin^2x + \sqrt{3})' = 2 \cdot 2\sin x \cdot (\sin x)' + 0 = 4\sin x \cos x$.

Используя формулу синуса двойного угла $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin(2\alpha)$, упростим выражение для производной:

$f'(x) = 2(2\sin x \cos x) = 2\sin(2x)$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{3\pi}{4}$:

$k = f'(\frac{3\pi}{4}) = 2\sin(2 \cdot \frac{3\pi}{4}) = 2\sin(\frac{3\pi}{2}) = 2 \cdot (-1) = -2$.

Ответ: -2

2) Дана функция $f(x) = \cos^2x - 1$ и точка $x_0 = \frac{2\pi}{3}$.

Упростим функцию, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2x + \cos^2x = 1$, из которого следует, что $\cos^2x - 1 = -\sin^2x$.

Итак, $f(x) = -\sin^2x$.

Найдем производную этой функции:

$f'(x) = -(\sin^2x)' = -2\sin x \cdot (\sin x)' = -2\sin x \cos x$.

Применим формулу синуса двойного угла: $f'(x) = -\sin(2x)$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{2\pi}{3}$:

$k = f'(\frac{2\pi}{3}) = -\sin(2 \cdot \frac{2\pi}{3}) = -\sin(\frac{4\pi}{3})$.

Так как $\sin(\frac{4\pi}{3}) = \sin(\pi + \frac{\pi}{3}) = -\sin(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, то

$k = -(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

3) Дана функция $f(x) = \cos3x + 1$ и точка $x_0 = \frac{\pi}{3}$.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (\cos3x + 1)' = -\sin(3x) \cdot (3x)' + 0 = -3\sin(3x)$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{3}$:

$k = f'(\frac{\pi}{3}) = -3\sin(3 \cdot \frac{\pi}{3}) = -3\sin(\pi) = -3 \cdot 0 = 0$.

Ответ: 0

4) Дана функция $f(x) = \cos^23x - \sin^23x$ и точка $x_0 = \frac{5\pi}{6}$.

Упростим функцию, используя формулу косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$. Для $\alpha = 3x$ получаем:

$f(x) = \cos(2 \cdot 3x) = \cos(6x)$.

Найдем производную этой функции:

$f'(x) = (\cos(6x))' = -\sin(6x) \cdot (6x)' = -6\sin(6x)$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{5\pi}{6}$:

$k = f'(\frac{5\pi}{6}) = -6\sin(6 \cdot \frac{5\pi}{6}) = -6\sin(5\pi)$.

Поскольку $\sin(5\pi) = 0$, то $k = -6 \cdot 0 = 0$.

Ответ: 0

5) Дана функция $f(x) = \arccos3x$ и точка $x_0 = \frac{1}{4}$.

Найдем производную функции, используя формулу производной арккосинуса $(\arccos u)' = -\frac{u'}{\sqrt{1-u^2}}$. В нашем случае $u=3x$, $u'=3$.

$f'(x) = -\frac{3}{\sqrt{1-(3x)^2}} = -\frac{3}{\sqrt{1-9x^2}}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{1}{4}$:

$k = f'(\frac{1}{4}) = -\frac{3}{\sqrt{1-9(\frac{1}{4})^2}} = -\frac{3}{\sqrt{1-9 \cdot \frac{1}{16}}} = -\frac{3}{\sqrt{1-\frac{9}{16}}} = -\frac{3}{\sqrt{\frac{7}{16}}} = -\frac{3}{\frac{\sqrt{7}}{4}} = -3 \cdot \frac{4}{\sqrt{7}} = -\frac{12}{\sqrt{7}}$.

Ответ: $-\frac{12}{\sqrt{7}}$

6) Дана функция $f(x) = \arcsin^2x$ и точка $x_0 = \frac{1}{2}$.

Представим функцию как $f(x) = (\arcsin x)^2$. Найдем производную, используя правило дифференцирования сложной функции и производную арксинуса $(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$:

$f'(x) = 2(\arcsin x) \cdot (\arcsin x)' = \frac{2\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{1}{2}$:

$k = f'(\frac{1}{2}) = \frac{2\arcsin(\frac{1}{2})}{\sqrt{1-(\frac{1}{2})^2}}$.

Мы знаем, что $\arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$. Знаменатель равен $\sqrt{1-\frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Подставляем значения:

$k = \frac{2 \cdot \frac{\pi}{6}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\frac{\pi}{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\pi}{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\pi}{3\sqrt{3}}$.

Ответ: $\frac{2\pi}{3\sqrt{3}}$