Номер 45.7, страница 90, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

45.7. Найдите значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0 = 1$:

1)

$f(x) = \left(\frac{2}{x^3} + x^8\right)^5$;

2)

$f(x) = \left(\frac{1}{x} - x^4\right)^{10}$;

3)

$f(x) = (5x^2 - 3x)^4$;

4)

$f(x) = (5x^5 - 4x^4)^{23}$.

1) Для нахождения значения производной функции $f(x) = (\frac{2}{x^3} + x^8)^5$ в точке $x_0 = 1$ сначала найдем ее производную $f'(x)$.

Это сложная функция вида $y = u^n$, где $u(x) = \frac{2}{x^3} + x^8 = 2x^{-3} + x^8$ и $n=5$.

Производная такой функции находится по формуле: $f'(x) = n \cdot u^{n-1} \cdot u'(x)$.

Найдем производную внутренней функции $u'(x)$:

$u'(x) = (2x^{-3} + x^8)' = 2 \cdot (-3)x^{-3-1} + 8x^{8-1} = -6x^{-4} + 8x^7 = -\frac{6}{x^4} + 8x^7$.

Теперь найдем производную исходной функции:

$f'(x) = 5 \cdot (\frac{2}{x^3} + x^8)^{5-1} \cdot (-\frac{6}{x^4} + 8x^7) = 5(\frac{2}{x^3} + x^8)^4(-\frac{6}{x^4} + 8x^7)$.

Подставим значение $x_0 = 1$ в выражение для производной:

$f'(1) = 5(\frac{2}{1^3} + 1^8)^4(-\frac{6}{1^4} + 8 \cdot 1^7) = 5(2+1)^4(-6+8) = 5 \cdot 3^4 \cdot 2 = 10 \cdot 81 = 810$.

Ответ: 810

2) Для функции $f(x) = (\frac{1}{x} - x^4)^{10}$ найдем значение производной в точке $x_0 = 1$.

Это сложная функция, где $u(x) = \frac{1}{x} - x^4 = x^{-1} - x^4$ и $n=10$.

Найдем производную внутренней функции $u'(x)$:

$u'(x) = (x^{-1} - x^4)' = -1 \cdot x^{-1-1} - 4x^{4-1} = -x^{-2} - 4x^3 = -\frac{1}{x^2} - 4x^3$.

Производная исходной функции:

$f'(x) = 10 \cdot (\frac{1}{x} - x^4)^{10-1} \cdot (-\frac{1}{x^2} - 4x^3) = 10(\frac{1}{x} - x^4)^9(-\frac{1}{x^2} - 4x^3)$.

Подставим значение $x_0 = 1$:

$f'(1) = 10(\frac{1}{1} - 1^4)^9(-\frac{1}{1^2} - 4 \cdot 1^3) = 10(1-1)^9(-1-4) = 10 \cdot 0^9 \cdot (-5) = 10 \cdot 0 \cdot (-5) = 0$.

Ответ: 0

3) Для функции $f(x) = (5x^2 - 3x)^4$ найдем значение производной в точке $x_0 = 1$.

Это сложная функция, где $u(x) = 5x^2 - 3x$ и $n=4$.

Найдем производную внутренней функции $u'(x)$:

$u'(x) = (5x^2 - 3x)' = 5 \cdot 2x - 3 = 10x - 3$.

Производная исходной функции:

$f'(x) = 4 \cdot (5x^2 - 3x)^{4-1} \cdot (10x - 3) = 4(5x^2 - 3x)^3(10x - 3)$.

Подставим значение $x_0 = 1$:

$f'(1) = 4(5 \cdot 1^2 - 3 \cdot 1)^3(10 \cdot 1 - 3) = 4(5-3)^3(10-3) = 4 \cdot 2^3 \cdot 7 = 4 \cdot 8 \cdot 7 = 224$.

Ответ: 224

4) Для функции $f(x) = (5x^5 - 4x^4)^{23}$ найдем значение производной в точке $x_0 = 1$.

Это сложная функция, где $u(x) = 5x^5 - 4x^4$ и $n=23$.

Найдем производную внутренней функции $u'(x)$:

$u'(x) = (5x^5 - 4x^4)' = 5 \cdot 5x^4 - 4 \cdot 4x^3 = 25x^4 - 16x^3$.

Производная исходной функции:

$f'(x) = 23 \cdot (5x^5 - 4x^4)^{23-1} \cdot (25x^4 - 16x^3) = 23(5x^5 - 4x^4)^{22}(25x^4 - 16x^3)$.

Подставим значение $x_0 = 1$:

$f'(1) = 23(5 \cdot 1^5 - 4 \cdot 1^4)^{22}(25 \cdot 1^4 - 16 \cdot 1^3) = 23(5-4)^{22}(25-16) = 23 \cdot 1^{22} \cdot 9 = 23 \cdot 1 \cdot 9 = 207$.

Ответ: 207