Номер 45.3, страница 89, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

45.3.

1) $f(x) = \sqrt{2x - 5};$

2) $f(x) = \sqrt{2x^2 - x};$

3) $f(x) = \sqrt{2 - 5x};$

4) $f(x) = \sqrt{3x^2 - 5x};$

5) $f(x) = \sqrt{3x^2 - 5x + 1};$

6) $f(x) = \sqrt{2 - 3x^2 + 5x}.$

Для нахождения области определения функции, содержащей квадратный корень, необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным.

1) $f(x) = \sqrt{2x-5}$

Подкоренное выражение должно быть больше или равно нулю:

$2x - 5 \ge 0$

Перенесем 5 в правую часть:

$2x \ge 5$

Разделим обе части на 2:

$x \ge \frac{5}{2}$ или $x \ge 2.5$

Ответ: $D(f) = [2.5; +\infty)$.

2) $f(x) = \sqrt{2x^2-x}$

Решим неравенство:

$2x^2 - x \ge 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(2x - 1) \ge 0$

Найдем корни уравнения $x(2x - 1) = 0$. Корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = 0.5$.

Графиком функции $y = 2x^2-x$ является парабола с ветвями вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен. Значения функции неотрицательны при $x$, находящихся левее меньшего корня и правее большего корня, включая сами корни.

Ответ: $D(f) = (-\infty; 0] \cup [0.5; +\infty)$.

3) $f(x) = \sqrt{2-5x}$

Решим неравенство:

$2 - 5x \ge 0$

$2 \ge 5x$

$x \le \frac{2}{5}$ или $x \le 0.4$

Ответ: $D(f) = (-\infty; 0.4]$.

4) $f(x) = \sqrt{3x^2-5x}$

Решим неравенство:

$3x^2 - 5x \ge 0$

$x(3x - 5) \ge 0$

Корни уравнения $x(3x - 5) = 0$: $x_1 = 0$ и $x_2 = \frac{5}{3}$.

Парабола $y = 3x^2-5x$ имеет ветви, направленные вверх. Неравенство выполняется для значений $x$ вне интервала между корнями.

Ответ: $D(f) = (-\infty; 0] \cup [\frac{5}{3}; +\infty)$.

5) $f(x) = \sqrt{3x^2-5x+1}$

Решим неравенство:

$3x^2 - 5x + 1 \ge 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $3x^2 - 5x + 1 = 0$ с помощью дискриминанта.

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 25 - 12 = 13$

Корни: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{13}}{6}$.

$x_1 = \frac{5 - \sqrt{13}}{6}$, $x_2 = \frac{5 + \sqrt{13}}{6}$.

Ветви параболы $y = 3x^2 - 5x + 1$ направлены вверх, поэтому неравенство $\ge 0$ выполняется на промежутках левее меньшего корня и правее большего.

Ответ: $D(f) = (-\infty; \frac{5 - \sqrt{13}}{6}] \cup [\frac{5 + \sqrt{13}}{6}; +\infty)$.

6) $f(x) = \sqrt{2-3x^2+5x}$

Решим неравенство:

$-3x^2 + 5x + 2 \ge 0$

Умножим обе части на -1 и сменим знак неравенства:

$3x^2 - 5x - 2 \le 0$

Найдем корни уравнения $3x^2 - 5x - 2 = 0$.

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49$

Корни: $x_1 = \frac{5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{5 - 7}{6} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}$; $x_2 = \frac{5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{5 + 7}{6} = \frac{12}{6} = 2$.

Ветви параболы $y = 3x^2 - 5x - 2$ направлены вверх, поэтому неравенство $\le 0$ выполняется между корнями.

Ответ: $D(f) = [-\frac{1}{3}; 2]$.