Номер 44.12, страница 86, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

44.12. Найдите предел функции:

1) $\lim_{x\to\infty} \frac{x+3}{x-2}$;

2) $\lim_{x\to 2} \frac{x^2 - x - 2}{x^3 - 4x}$;

3) $\lim_{x\to\infty} (\sqrt{x+11} - \sqrt{x})$;

4) $\lim_{x\to\infty} (\sqrt{x+6} - \sqrt{x})$;

5) $\lim_{x\to 0} \frac{\sin 3x}{2\operatorname{tg}x}$;

6) $\lim_{x\to 0} \frac{4\sin 3x}{\sin 2x}$.

1) Найдем предел функции $\lim_{x\to\infty} \frac{x+3}{x-2}$.

При $x \to \infty$ числитель и знаменатель дроби стремятся к бесконечности, что является неопределенностью вида $\frac{\infty}{\infty}$. Чтобы раскрыть эту неопределенность, разделим числитель и знаменатель на старшую степень переменной $x$, то есть на $x$.

$\lim_{x\to\infty} \frac{x+3}{x-2} = \lim_{x\to\infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{3}{x}}{\frac{x}{x} - \frac{2}{x}} = \lim_{x\to\infty} \frac{1 + \frac{3}{x}}{1 - \frac{2}{x}}$.

Поскольку при $x \to \infty$, величины $\frac{3}{x}$ и $\frac{2}{x}$ стремятся к нулю, получаем:

$\frac{1+0}{1-0} = 1$.

Ответ: 1

2) Найдем предел функции $\lim_{x\to2} \frac{x^2 - x - 2}{x^3 - 4x}$.

При подстановке $x=2$ в выражение, получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$:

Числитель: $2^2 - 2 - 2 = 4 - 2 - 2 = 0$.

Знаменатель: $2^3 - 4 \cdot 2 = 8 - 8 = 0$.

Для раскрытия неопределенности разложим числитель и знаменатель на множители.

Разложим числитель $x^2 - x - 2$. Найдем корни уравнения $x^2 - x - 2 = 0$. По теореме Виета корни $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$. Тогда $x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1)$.

Разложим знаменатель $x^3 - 4x$. Вынесем $x$ за скобки: $x(x^2 - 4)$. Применим формулу разности квадратов: $x(x-2)(x+2)$.

Подставим разложенные выражения в предел:

$\lim_{x\to2} \frac{(x-2)(x+1)}{x(x-2)(x+2)}$.

Поскольку $x \to 2$, то $x \ne 2$, и мы можем сократить дробь на $(x-2)$:

$\lim_{x\to2} \frac{x+1}{x(x+2)}$.

Теперь подставим $x=2$ в полученное выражение:

$\frac{2+1}{2(2+2)} = \frac{3}{2 \cdot 4} = \frac{3}{8}$.

Ответ: $\frac{3}{8}$

3) Найдем предел функции $\lim_{x\to\infty} (\sqrt{x+11} - \sqrt{x})$.

При $x \to \infty$ имеем неопределенность вида $\infty - \infty$. Для ее раскрытия умножим и разделим выражение на сопряженное ему, то есть на $(\sqrt{x+11} + \sqrt{x})$.

$\lim_{x\to\infty} (\sqrt{x+11} - \sqrt{x}) = \lim_{x\to\infty} \frac{(\sqrt{x+11} - \sqrt{x})(\sqrt{x+11} + \sqrt{x})}{\sqrt{x+11} + \sqrt{x}}$.

В числителе используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$\lim_{x\to\infty} \frac{(\sqrt{x+11})^2 - (\sqrt{x})^2}{\sqrt{x+11} + \sqrt{x}} = \lim_{x\to\infty} \frac{x+11-x}{\sqrt{x+11} + \sqrt{x}} = \lim_{x\to\infty} \frac{11}{\sqrt{x+11} + \sqrt{x}}$.

При $x \to \infty$ знаменатель $\sqrt{x+11} + \sqrt{x}$ стремится к $\infty$. Следовательно, предел равен:

$\frac{11}{\infty} = 0$.

Ответ: 0

4) Найдем предел функции $\lim_{x\to\infty} (\sqrt{x+6} - \sqrt{x})$.

Это также неопределенность вида $\infty - \infty$. Решается аналогично предыдущему примеру, умножением на сопряженное выражение $(\sqrt{x+6} + \sqrt{x})$.

$\lim_{x\to\infty} (\sqrt{x+6} - \sqrt{x}) = \lim_{x\to\infty} \frac{(\sqrt{x+6} - \sqrt{x})(\sqrt{x+6} + \sqrt{x})}{\sqrt{x+6} + \sqrt{x}}$.

Применяем формулу разности квадратов в числителе:

$\lim_{x\to\infty} \frac{(x+6)-x}{\sqrt{x+6} + \sqrt{x}} = \lim_{x\to\infty} \frac{6}{\sqrt{x+6} + \sqrt{x}}$.

При $x \to \infty$ знаменатель стремится к $\infty$, поэтому предел равен нулю.

$\frac{6}{\infty} = 0$.

Ответ: 0

5) Найдем предел функции $\lim_{x\to0} \frac{\sin 3x}{2\tan x}$.

При подстановке $x=0$ получаем неопределенность $\frac{0}{0}$. Для ее раскрытия воспользуемся первым замечательным пределом $\lim_{u\to0} \frac{\sin u}{u} = 1$.

Сначала заменим $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$:

$\lim_{x\to0} \frac{\sin 3x}{2 \frac{\sin x}{\cos x}} = \lim_{x\to0} \frac{\sin 3x \cos x}{2 \sin x}$.

Преобразуем выражение, чтобы использовать замечательный предел:

$\frac{1}{2} \lim_{x\to0} \cos x \cdot \lim_{x\to0} \frac{\sin 3x}{\sin x} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \lim_{x\to0} \frac{\frac{\sin 3x}{3x} \cdot 3x}{\frac{\sin x}{x} \cdot x} = \frac{1}{2} \lim_{x\to0} \left( \frac{\frac{\sin 3x}{3x}}{\frac{\sin x}{x}} \cdot \frac{3x}{x} \right)$.

Так как при $x \to 0$, $3x \to 0$, то $\lim_{x\to0} \frac{\sin 3x}{3x} = 1$ и $\lim_{x\to0} \frac{\sin x}{x} = 1$.

Получаем:

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1} \cdot 3 = \frac{3}{2}$.

Ответ: $\frac{3}{2}$

6) Найдем предел функции $\lim_{x\to0} \frac{4\sin 3x}{\sin 2x}$.

При $x=0$ имеем неопределенность $\frac{0}{0}$. Используем первый замечательный предел.

$\lim_{x\to0} \frac{4\sin 3x}{\sin 2x} = 4 \lim_{x\to0} \frac{\sin 3x}{\sin 2x}$.

Разделим и умножим числитель на $3x$, а знаменатель на $2x$:

$4 \lim_{x\to0} \frac{\frac{\sin 3x}{3x} \cdot 3x}{\frac{\sin 2x}{2x} \cdot 2x} = 4 \lim_{x\to0} \left( \frac{\frac{\sin 3x}{3x}}{\frac{\sin 2x}{2x}} \cdot \frac{3x}{2x} \right)$.

При $x \to 0$, имеем $\lim_{x\to0} \frac{\sin 3x}{3x} = 1$ и $\lim_{x\to0} \frac{\sin 2x}{2x} = 1$.

Тогда предел равен:

$4 \cdot \frac{1}{1} \cdot \frac{3}{2} = \frac{12}{2} = 6$.

Ответ: 6