Номер 44.8, страница 86, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

44.8. Найдите производную функции:

1) $f(x) = 2\sin x \cdot \cos x$;

2) $f(x) = 2\sin x (\cos x + 1)$;

3) $f(x) = \sin x \cdot \operatorname{ctg} x$;

4) $f(x) = 2\sin x (2x^2 - 1)$;

5) $f(x) = 2\operatorname{tg} x \cdot \cos x$;

6) $f(x) = 2\sin x (x + \cos x)$.

1) Для функции $f(x) = 2\sin x \cos x$ удобно сначала применить тригонометрическую формулу синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$. Таким образом, функция упрощается до $f(x) = \sin(2x)$. Далее найдем производную этой сложной функции по правилу дифференцирования сложной функции $(g(h(x)))' = g'(h(x)) \cdot h'(x)$, где $g(u) = \sin u$ и $h(x) = 2x$. Производная $(\sin(2x))'$ равна $\cos(2x) \cdot (2x)'$, что дает $2\cos(2x)$.

Ответ: $2\cos(2x)$

2) Для функции $f(x) = 2\sin x (\cos x + 1)$ сначала раскроем скобки, получив $f(x) = 2\sin x \cos x + 2\sin x$. Затем применим формулу синуса двойного угла к первому слагаемому: $f(x) = \sin(2x) + 2\sin x$. Теперь найдем производную как сумму производных: $f'(x) = (\sin(2x))' + (2\sin x)'$. Производная первого слагаемого равна $2\cos(2x)$, а второго — $2\cos x$. Таким образом, итоговая производная равна $f'(x) = 2\cos(2x) + 2\cos x$.

Ответ: $2\cos(2x) + 2\cos x$

3) Для функции $f(x) = \sin x \cdot \ctg x$ сначала упростим выражение, используя определение котангенса $\ctg x = \frac{\cos x}{\sin x}$. Область определения функции задается условием $\sin x \neq 0$, и на этой области мы можем сократить $\sin x$, получив $f(x) = \cos x$. Производная этой функции находится элементарно: $f'(x) = (\cos x)' = -\sin x$.

Ответ: $-\sin x$

4) Для нахождения производной функции $f(x) = 2\sin x (2x^2 - 1)$ воспользуемся правилом производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$. Обозначим $u(x) = 2\sin x$ и $v(x) = 2x^2 - 1$. Их производные равны $u'(x) = 2\cos x$ и $v'(x) = 4x$. Подставляя в формулу, получаем: $f'(x) = (2\cos x)(2x^2 - 1) + (2\sin x)(4x)$. После раскрытия скобок имеем: $f'(x) = 4x^2\cos x - 2\cos x + 8x\sin x$.

Ответ: $4x^2\cos x - 2\cos x + 8x\sin x$

5) Для функции $f(x) = 2\tg x \cdot \cos x$ сначала упростим выражение, используя определение тангенса $\tg x = \frac{\sin x}{\cos x}$. Область определения функции задается условием $\cos x \neq 0$, и на этой области мы можем сократить $\cos x$, получив $f(x) = 2\sin x$. Производная этой простой функции равна $f'(x) = (2\sin x)' = 2\cos x$.

Ответ: $2\cos x$

6) Для нахождения производной функции $f(x) = 2\sin x (x + \cos x)$ применим правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$. Обозначим $u(x) = 2\sin x$ и $v(x) = x + \cos x$. Их производные равны $u'(x) = 2\cos x$ и $v'(x) = (x)' + (\cos x)' = 1 - \sin x$. Подставляя в формулу, получаем: $f'(x) = (2\cos x)(x + \cos x) + (2\sin x)(1 - \sin x)$. Раскроем скобки: $f'(x) = 2x\cos x + 2\cos^2 x + 2\sin x - 2\sin^2 x$. Далее сгруппируем слагаемые: $f'(x) = 2x\cos x + 2\sin x + 2(\cos^2 x - \sin^2 x)$. Используя формулу косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$, окончательно получаем $f'(x) = 2x\cos x + 2\sin x + 2\cos(2x)$.

Ответ: $2x\cos x + 2\sin x + 2\cos(2x)$