Номер 44.2, страница 85, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

44.2. Найдите значение производной функции в точке $x_0$:

1) $f(x) = 2\cos x + \sin x, x_0 = \frac{\pi}{3};$

2) $f(x) = 2x - \cos x + 3\sin x, x_0 = \frac{\pi}{4};$

3) $f(x) = x^2 - 2\cos x + \sin x, x_0 = \frac{3\pi}{4};$

4) $f(x) = \frac{2}{x} + 2\cos x + 4\sin x, x_0 = \frac{2\pi}{3}.$

1)Для функции $f(x) = 2\cos x + \sin x$ в точке $x_0 = \frac{\pi}{3}$.

Чтобы найти значение производной в точке, сначала необходимо найти саму производную функции $f'(x)$.

Используем правила дифференцирования: $(u+v)' = u' + v'$, $(c \cdot u)' = c \cdot u'$, и производные тригонометрических функций: $(\cos x)' = -\sin x$, $(\sin x)' = \cos x$.

$f'(x) = (2\cos x + \sin x)' = 2(\cos x)' + (\sin x)' = 2(-\sin x) + \cos x = -2\sin x + \cos x$.

Теперь подставим значение $x_0 = \frac{\pi}{3}$ в найденную производную:

$f'(\frac{\pi}{3}) = -2\sin(\frac{\pi}{3}) + \cos(\frac{\pi}{3})$.

Используем значения синуса и косинуса для данного угла: $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.

$f'(\frac{\pi}{3}) = -2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} = -\sqrt{3} + \frac{1}{2}$.

Ответ: $-\sqrt{3} + \frac{1}{2}$.

2)Для функции $f(x) = 2x - \cos x + 3\sin x$ в точке $x_0 = \frac{\pi}{4}$.

Находим производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (2x - \cos x + 3\sin x)' = (2x)' - (\cos x)' + (3\sin x)'$.

Используя правила дифференцирования, получаем:

$f'(x) = 2 - (-\sin x) + 3\cos x = 2 + \sin x + 3\cos x$.

Подставляем значение $x_0 = \frac{\pi}{4}$ в выражение для производной:

$f'(\frac{\pi}{4}) = 2 + \sin(\frac{\pi}{4}) + 3\cos(\frac{\pi}{4})$.

Значения синуса и косинуса для $\frac{\pi}{4}$ равны: $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

$f'(\frac{\pi}{4}) = 2 + \frac{\sqrt{2}}{2} + 3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2 + \frac{\sqrt{2} + 3\sqrt{2}}{2} = 2 + \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2 + 2\sqrt{2}$.

Ответ: $2 + 2\sqrt{2}$.

3)Для функции $f(x) = x^2 - 2\cos x + \sin x$ в точке $x_0 = \frac{3\pi}{4}$.

Находим производную функции $f(x)$, используя производную степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и тригонометрических функций:

$f'(x) = (x^2 - 2\cos x + \sin x)' = (x^2)' - 2(\cos x)' + (\sin x)' = 2x - 2(-\sin x) + \cos x = 2x + 2\sin x + \cos x$.

Подставляем значение $x_0 = \frac{3\pi}{4}$:

$f'(\frac{3\pi}{4}) = 2(\frac{3\pi}{4}) + 2\sin(\frac{3\pi}{4}) + \cos(\frac{3\pi}{4})$.

Находим значения тригонометрических функций: $\sin(\frac{3\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\cos(\frac{3\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

$f'(\frac{3\pi}{4}) = 2 \cdot \frac{3\pi}{4} + 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3\pi}{2} + \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3\pi}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3\pi + \sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{3\pi + \sqrt{2}}{2}$.

4)Для функции $f(x) = \frac{2}{x} + 2\cos x + 4\sin x$ в точке $x_0 = \frac{2\pi}{3}$.

Находим производную функции $f(x)$. Производная от $\frac{2}{x}$ равна $(\frac{2}{x})' = (2x^{-1})' = 2(-1)x^{-2} = -\frac{2}{x^2}$.

$f'(x) = (\frac{2}{x} + 2\cos x + 4\sin x)' = -\frac{2}{x^2} - 2\sin x + 4\cos x$.

Подставляем значение $x_0 = \frac{2\pi}{3}$:

$f'(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{2}{(\frac{2\pi}{3})^2} - 2\sin(\frac{2\pi}{3}) + 4\cos(\frac{2\pi}{3})$.

Вычисляем значения: $(\frac{2\pi}{3})^2 = \frac{4\pi^2}{9}$, $\sin(\frac{2\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$.

$f'(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{2}{4\pi^2/9} - 2(\frac{\sqrt{3}}{2}) + 4(-\frac{1}{2}) = -2 \cdot \frac{9}{4\pi^2} - \sqrt{3} - 2 = -\frac{9}{2\pi^2} - \sqrt{3} - 2$.

Ответ: $-\frac{9}{2\pi^2} - \sqrt{3} - 2$.