Номер 43.25, страница 83, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

43.25. Найдите производную функции:

1) $y = (x - 3) \cdot x^3$;

2) $y = (x^3 - 2x) \sqrt{2x}$.

1) Дана функция $y = (x - 3) \cdot x^3$.

Для нахождения производной этой функции можно пойти двумя путями: использовать правило производной произведения или сначала упростить выражение. Второй способ в данном случае проще.

Сначала раскроем скобки, чтобы представить функцию в виде многочлена:

$y = x \cdot x^3 - 3 \cdot x^3 = x^4 - 3x^3$.

Теперь найдем производную, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и правило разности $(u-v)' = u' - v'$:

$y' = (x^4 - 3x^3)' = (x^4)' - (3x^3)'$.

Применяем правило для каждого слагаемого:

$(x^4)' = 4x^{4-1} = 4x^3$.

$(3x^3)' = 3 \cdot (x^3)' = 3 \cdot 3x^{3-1} = 9x^2$.

Подставляем найденные производные обратно в выражение:

$y' = 4x^3 - 9x^2$.

Ответ: $y' = 4x^3 - 9x^2$.

2) Дана функция $y = (x^3 - 2x) \sqrt{2x}$.

Для нахождения производной этой функции, как и в предыдущем случае, сначала упростим исходное выражение. Представим $\sqrt{2x}$ в виде степени: $\sqrt{2x} = (2x)^{1/2} = \sqrt{2} \cdot x^{1/2}$.

Теперь умножим многочлен в скобках на этот множитель:

$y = (x^3 - 2x) \cdot \sqrt{2}x^{1/2} = \sqrt{2}(x^3 \cdot x^{1/2} - 2x \cdot x^{1/2})$.

Используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, получаем:

$y = \sqrt{2}(x^{3 + 1/2} - 2x^{1 + 1/2}) = \sqrt{2}(x^{7/2} - 2x^{3/2})$.

Теперь находим производную полученной функции. Используем правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:

$y' = \left(\sqrt{2}(x^{7/2} - 2x^{3/2})\right)' = \sqrt{2} \left( (x^{7/2})' - 2(x^{3/2})' \right)$.

$y' = \sqrt{2} \left( \frac{7}{2}x^{7/2 - 1} - 2 \cdot \frac{3}{2}x^{3/2 - 1} \right) = \sqrt{2} \left( \frac{7}{2}x^{5/2} - 3x^{1/2} \right)$.

Упростим полученное выражение. Вынесем за скобки общий множитель $x^{1/2}$:

$y' = \sqrt{2} \cdot x^{1/2} \left( \frac{7}{2}x^{5/2-1/2} - 3 \right) = \sqrt{2x} \left( \frac{7}{2}x^2 - 3 \right)$.

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:

$y' = \sqrt{2x} \left( \frac{7x^2 - 6}{2} \right) = \frac{(7x^2 - 6)\sqrt{2x}}{2}$.

Ответ: $y' = \frac{(7x^2 - 6)\sqrt{2x}}{2}$.