Номер 43.18, страница 82, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

43.18. 1) Напишите уравнения касательных к графику функции $y = x^2 - 4x + 3$, проходящих через точку A(2; -5), не принадлежащую этому графику.

2) Напишите уравнения касательных к графику функции $y = x^2 - 2x$, проходящих через точку A(1; -5), не принадлежащую этому графику.

1) Дана функция $y = x^2 - 4x + 3$ и точка $A(2; -5)$. Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке $x_0$ имеет вид:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Сначала найдем производную функции:

$f'(x) = (x^2 - 4x + 3)' = 2x - 4$.

Пусть $x_0$ — абсцисса точки касания. Тогда $f(x_0) = x_0^2 - 4x_0 + 3$ и $f'(x_0) = 2x_0 - 4$.

Подставим эти выражения в уравнение касательной:

$y = (x_0^2 - 4x_0 + 3) + (2x_0 - 4)(x - x_0)$.

Так как касательная проходит через точку $A(2; -5)$, ее координаты $(x=2, y=-5)$ должны удовлетворять уравнению касательной. Подставим их:

$-5 = (x_0^2 - 4x_0 + 3) + (2x_0 - 4)(2 - x_0)$.

Теперь решим это уравнение относительно $x_0$:

$-5 = x_0^2 - 4x_0 + 3 + 4x_0 - 2x_0^2 - 8 + 4x_0$

$-5 = -x_0^2 + 4x_0 - 5$

$x_0^2 - 4x_0 = 0$

$x_0(x_0 - 4) = 0$.

Отсюда получаем два значения для абсциссы точки касания: $x_0 = 0$ и $x_0 = 4$.

Найдем уравнения для каждой касательной.

При $x_0 = 0$:

$f(0) = 0^2 - 4 \cdot 0 + 3 = 3$

$f'(0) = 2 \cdot 0 - 4 = -4$

Уравнение касательной: $y = 3 - 4(x - 0)$, то есть $y = -4x + 3$.

При $x_0 = 4$:

$f(4) = 4^2 - 4 \cdot 4 + 3 = 16 - 16 + 3 = 3$

$f'(4) = 2 \cdot 4 - 4 = 4$

Уравнение касательной: $y = 3 + 4(x - 4)$, то есть $y = 3 + 4x - 16$, что дает $y = 4x - 13$.

Ответ: $y = -4x + 3$ и $y = 4x - 13$.

2) Дана функция $y = x^2 - 2x$ и точка $A(1; -5)$. Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке $x_0$ имеет вид:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (x^2 - 2x)' = 2x - 2$.

Пусть $x_0$ — абсцисса точки касания. Тогда $f(x_0) = x_0^2 - 2x_0$ и $f'(x_0) = 2x_0 - 2$.

Уравнение касательной:

$y = (x_0^2 - 2x_0) + (2x_0 - 2)(x - x_0)$.

Так как касательная проходит через точку $A(1; -5)$, ее координаты $(x=1, y=-5)$ должны удовлетворять этому уравнению. Подставим их:

$-5 = (x_0^2 - 2x_0) + (2x_0 - 2)(1 - x_0)$.

Решим полученное уравнение относительно $x_0$:

$-5 = x_0^2 - 2x_0 + 2x_0 - 2x_0^2 - 2 + 2x_0$

$-5 = -x_0^2 + 2x_0 - 2$

$x_0^2 - 2x_0 - 3 = 0$.

Используя теорему Виета или решив через дискриминант, находим корни: $x_0 = 3$ и $x_0 = -1$.

Теперь найдем уравнения для каждой касательной.

При $x_0 = 3$:

$f(3) = 3^2 - 2 \cdot 3 = 9 - 6 = 3$

$f'(3) = 2 \cdot 3 - 2 = 4$

Уравнение касательной: $y = 3 + 4(x - 3)$, то есть $y = 3 + 4x - 12$, что дает $y = 4x - 9$.

При $x_0 = -1$:

$f(-1) = (-1)^2 - 2 \cdot (-1) = 1 + 2 = 3$

$f'(-1) = 2 \cdot (-1) - 2 = -4$

Уравнение касательной: $y = 3 - 4(x - (-1))$, то есть $y = 3 - 4(x + 1)$, что дает $y = -4x - 1$.

Ответ: $y = 4x - 9$ и $y = -4x - 1$.