Номер 43.11, страница 82, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

43.11. Найдите уравнения касательных к графику функции $y = \frac{x^3}{3} - 3$, которые параллельны прямой:

1) $y = 4x - 1$;

2) $y = x + 31$;

3) $y = 9x - 10$.

Общая задача состоит в том, чтобы найти уравнения касательных к графику функции $y = f(x) = \frac{x^3}{3} - 3$, которые параллельны заданным прямым.

Условие параллельности двух прямых заключается в равенстве их угловых коэффициентов. Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной функции в этой точке, то есть $k = f'(x_0)$.

Сначала найдем производную данной функции:

$f'(x) = (\frac{x^3}{3} - 3)' = \frac{1}{3} \cdot (x^3)' - (3)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 - 0 = x^2$.

Таким образом, угловой коэффициент касательной в точке $x_0$ равен $k = x_0^2$. Уравнение касательной в точке $(x_0, y_0)$ имеет вид $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

1) y = 4x - 1;

Угловой коэффициент данной прямой $y = 4x - 1$ равен $k=4$. Поскольку искомая касательная параллельна этой прямой, ее угловой коэффициент также должен быть равен 4.

Найдем абсциссы точек касания $x_0$ из условия $f'(x_0) = 4$:

$x_0^2 = 4$

Отсюда получаем два значения: $x_0 = 2$ и $x_0 = -2$. Это означает, что существуют две касательные, удовлетворяющие условию.

Случай 1: $x_0 = 2$.

Найдем ординату точки касания:

$y_0 = f(2) = \frac{2^3}{3} - 3 = \frac{8}{3} - 3 = \frac{8 - 9}{3} = -\frac{1}{3}$.

Точка касания — $(2; -\frac{1}{3})$.

Уравнение касательной:

$y = y_0 + k(x - x_0) = -\frac{1}{3} + 4(x - 2) = -\frac{1}{3} + 4x - 8 = 4x - \frac{25}{3}$.

Случай 2: $x_0 = -2$.

Найдем ординату точки касания:

$y_0 = f(-2) = \frac{(-2)^3}{3} - 3 = \frac{-8}{3} - 3 = \frac{-8 - 9}{3} = -\frac{17}{3}$.

Точка касания — $(-2; -\frac{17}{3})$.

Уравнение касательной:

$y = y_0 + k(x - x_0) = -\frac{17}{3} + 4(x - (-2)) = -\frac{17}{3} + 4x + 8 = 4x + \frac{7}{3}$.

Ответ: $y = 4x - \frac{25}{3}$ и $y = 4x + \frac{7}{3}$.

2) y = x + 31;

Угловой коэффициент данной прямой $y = x + 31$ равен $k=1$. Следовательно, угловой коэффициент касательной также равен 1.

Найдем абсциссы точек касания $x_0$ из условия $f'(x_0) = 1$:

$x_0^2 = 1$

Отсюда $x_0 = 1$ и $x_0 = -1$.

Случай 1: $x_0 = 1$.

Найдем ординату точки касания:

$y_0 = f(1) = \frac{1^3}{3} - 3 = \frac{1}{3} - 3 = \frac{1 - 9}{3} = -\frac{8}{3}$.

Точка касания — $(1; -\frac{8}{3})$.

Уравнение касательной:

$y = y_0 + k(x - x_0) = -\frac{8}{3} + 1(x - 1) = x - 1 - \frac{8}{3} = x - \frac{11}{3}$.

Случай 2: $x_0 = -1$.

Найдем ординату точки касания:

$y_0 = f(-1) = \frac{(-1)^3}{3} - 3 = \frac{-1}{3} - 3 = \frac{-1 - 9}{3} = -\frac{10}{3}$.

Точка касания — $(-1; -\frac{10}{3})$.

Уравнение касательной:

$y = y_0 + k(x - x_0) = -\frac{10}{3} + 1(x - (-1)) = x + 1 - \frac{10}{3} = x - \frac{7}{3}$.

Ответ: $y = x - \frac{11}{3}$ и $y = x - \frac{7}{3}$.

3) y = 9x - 10.

Угловой коэффициент данной прямой $y = 9x - 10$ равен $k=9$. Следовательно, угловой коэффициент касательной также равен 9.

Найдем абсциссы точек касания $x_0$ из условия $f'(x_0) = 9$:

$x_0^2 = 9$

Отсюда $x_0 = 3$ и $x_0 = -3$.

Случай 1: $x_0 = 3$.

Найдем ординату точки касания:

$y_0 = f(3) = \frac{3^3}{3} - 3 = \frac{27}{3} - 3 = 9 - 3 = 6$.

Точка касания — $(3; 6)$.

Уравнение касательной:

$y = y_0 + k(x - x_0) = 6 + 9(x - 3) = 6 + 9x - 27 = 9x - 21$.

Случай 2: $x_0 = -3$.

Найдем ординату точки касания:

$y_0 = f(-3) = \frac{(-3)^3}{3} - 3 = \frac{-27}{3} - 3 = -9 - 3 = -12$.

Точка касания — $(-3; -12)$.

Уравнение касательной:

$y = y_0 + k(x - x_0) = -12 + 9(x - (-3)) = -12 + 9x + 27 = 9x + 15$.

Ответ: $y = 9x - 21$ и $y = 9x + 15$.