Номер 43.7, страница 81, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Составьте уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ (43.7–43.8):

43.7. 1) $y = 3x^2 - 2x - 2$, $x_0 = -1;$ 2) $y = 2\sqrt{x} - 10$, $x_0 = 16;$
3) $y = 2x + \frac{1}{x}$, $x_0 = 1;$ 4) $y = x + \sqrt{x}$, $x_0 = 1.$

1) $y = 3x^2 - 2x - 2$, $x_0 = -1$

Уравнение касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0$:

$f(x_0) = f(-1) = 3(-1)^2 - 2(-1) - 2 = 3 \cdot 1 + 2 - 2 = 3$.

Таким образом, точка касания имеет координаты $(-1; 3)$.

2. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (3x^2 - 2x - 2)' = 6x - 2$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0$, которое равно угловому коэффициенту касательной:

$f'(x_0) = f'(-1) = 6(-1) - 2 = -6 - 2 = -8$.

4. Подставим найденные значения $f(x_0) = 3$, $f'(x_0) = -8$ и $x_0 = -1$ в уравнение касательной:

$y = 3 + (-8)(x - (-1))$

$y = 3 - 8(x + 1)$

$y = 3 - 8x - 8$

$y = -8x - 5$.

Ответ: $y = -8x - 5$.

2) $y = 2\sqrt{x} - 10$, $x_0 = 16$

1. Найдем значение функции в точке $x_0$:

$f(x_0) = f(16) = 2\sqrt{16} - 10 = 2 \cdot 4 - 10 = 8 - 10 = -2$.

Точка касания: $(16; -2)$.

2. Найдем производную функции $f(x)$. Для удобства представим $\sqrt{x}$ как $x^{1/2}$:

$f'(x) = (2x^{1/2} - 10)' = 2 \cdot \frac{1}{2}x^{-1/2} = x^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{x}}$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0$:

$f'(x_0) = f'(16) = \frac{1}{\sqrt{16}} = \frac{1}{4}$.

4. Подставим найденные значения в уравнение касательной $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$:

$y = -2 + \frac{1}{4}(x - 16)$

$y = -2 + \frac{1}{4}x - \frac{16}{4}$

$y = -2 + \frac{1}{4}x - 4$

$y = \frac{1}{4}x - 6$.

Ответ: $y = \frac{1}{4}x - 6$.

3) $y = 2x + \frac{1}{x}$, $x_0 = 1$

1. Найдем значение функции в точке $x_0$:

$f(x_0) = f(1) = 2(1) + \frac{1}{1} = 2 + 1 = 3$.

Точка касания: $(1; 3)$.

2. Найдем производную функции $f(x)$. Для удобства представим $\frac{1}{x}$ как $x^{-1}$:

$f'(x) = (2x + x^{-1})' = 2 - 1 \cdot x^{-2} = 2 - \frac{1}{x^2}$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0$:

$f'(x_0) = f'(1) = 2 - \frac{1}{1^2} = 2 - 1 = 1$.

4. Подставим найденные значения в уравнение касательной $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$:

$y = 3 + 1 \cdot (x - 1)$

$y = 3 + x - 1$

$y = x + 2$.

Ответ: $y = x + 2$.

4) $y = x + \sqrt{x}$, $x_0 = 1$

1. Найдем значение функции в точке $x_0$:

$f(x_0) = f(1) = 1 + \sqrt{1} = 1 + 1 = 2$.

Точка касания: $(1; 2)$.

2. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (x + \sqrt{x})' = (x + x^{1/2})' = 1 + \frac{1}{2}x^{-1/2} = 1 + \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0$:

$f'(x_0) = f'(1) = 1 + \frac{1}{2\sqrt{1}} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.

4. Подставим найденные значения в уравнение касательной $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$:

$y = 2 + \frac{3}{2}(x - 1)$

$y = 2 + \frac{3}{2}x - \frac{3}{2}$

$y = \frac{3}{2}x + \frac{4}{2} - \frac{3}{2}$

$y = \frac{3}{2}x + \frac{1}{2}$.

Ответ: $y = \frac{3}{2}x + \frac{1}{2}$.