Номер 42.18, страница 78, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

42.18. Постройте график функции:

1) $y = 1 + \sqrt{x + 3}$;$

2) $y = 2 - \sqrt{x - 1}$;$

3) $y = |1 - \sqrt{x + 3}|$;$

4) $y = |\sqrt{x - 1} - 2|$.$

1) $y = 1 + \sqrt{x + 3}$

Для построения графика этой функции воспользуемся методом преобразования графика базовой функции $y = \sqrt{x}$. График функции $y = \sqrt{x}$ представляет собой ветвь параболы, начинающуюся в точке $(0, 0)$ и проходящую через точки $(1, 1)$, $(4, 2)$, $(9, 3)$.

1. Сначала выполним сдвиг графика $y = \sqrt{x}$ на 3 единицы влево по оси абсцисс. Это преобразование соответствует замене $x$ на $x+3$. Получим график функции $y = \sqrt{x + 3}$. Его начальная точка теперь находится в $(-3, 0)$.

2. Затем сдвинем полученный график на 1 единицу вверх по оси ординат. Это преобразование соответствует прибавлению 1 ко всей функции. Получим искомый график $y = 1 + \sqrt{x + 3}$.

Область определения функции: $x + 3 \ge 0$, то есть $x \ge -3$.

Найдем координаты нескольких точек для точности построения:

- Начальная точка: при $x = -3$, $y = 1 + \sqrt{-3 + 3} = 1 + 0 = 1$. Точка $(-3, 1)$.

- При $x = -2$, $y = 1 + \sqrt{-2 + 3} = 1 + 1 = 2$. Точка $(-2, 2)$.

- При $x = 1$, $y = 1 + \sqrt{1 + 3} = 1 + 2 = 3$. Точка $(1, 3)$.

- При $x = 6$, $y = 1 + \sqrt{6 + 3} = 1 + 3 = 4$. Точка $(6, 4)$.

Соединив эти точки плавной кривой, получим график функции.

Ответ: График функции $y = 1 + \sqrt{x + 3}$ — это график функции $y = \sqrt{x}$, смещенный на 3 единицы влево и на 1 единицу вверх. Это кривая, выходящая из точки $(-3, 1)$ и возрастающая на всей области определения $x \ge -3$.

2) $y = 2 - \sqrt{x - 1}$

Построение этого графика также выполним путем преобразования графика функции $y = \sqrt{x}$.

1. Сдвигаем график $y = \sqrt{x}$ на 1 единицу вправо по оси абсцисс, заменяя $x$ на $x-1$. Получаем график $y = \sqrt{x - 1}$. Его начальная точка — $(1, 0)$.

2. Отражаем полученный график симметрично относительно оси абсцисс. Это соответствует умножению функции на -1. Получаем график $y = -\sqrt{x - 1}$. Теперь кривая идет вниз из точки $(1, 0)$.

3. Сдвигаем график $y = -\sqrt{x - 1}$ на 2 единицы вверх по оси ординат, прибавляя 2 ко всей функции. Получаем искомый график $y = 2 - \sqrt{x - 1}$.

Область определения функции: $x - 1 \ge 0$, то есть $x \ge 1$.

Найдем координаты нескольких точек:

- Начальная точка: при $x = 1$, $y = 2 - \sqrt{1 - 1} = 2 - 0 = 2$. Точка $(1, 2)$.

- При $x = 2$, $y = 2 - \sqrt{2 - 1} = 2 - 1 = 1$. Точка $(2, 1)$.

- При $x = 5$, $y = 2 - \sqrt{5 - 1} = 2 - 2 = 0$. Точка $(5, 0)$ (пересечение с осью Ox).

- При $x = 10$, $y = 2 - \sqrt{10 - 1} = 2 - 3 = -1$. Точка $(10, -1)$.

Соединив точки плавной кривой, получим график.

Ответ: График функции $y = 2 - \sqrt{x - 1}$ — это график $y = \sqrt{x}$, смещенный на 1 единицу вправо, отраженный относительно оси Ox и смещенный на 2 единицы вверх. Это кривая, выходящая из точки $(1, 2)$ и убывающая на всей области определения $x \ge 1$.

3) $y = |1 - \sqrt{x + 3}|$

Для построения графика функции с модулем $y = |f(x)|$ сначала строят график функции $y = f(x)$, а затем часть графика, расположенную ниже оси абсцисс (где $y < 0$), симметрично отражают относительно этой оси. Часть графика, расположенная выше или на оси абсцисс (где $y \ge 0$), остается без изменений.

1. Построим график вспомогательной функции $f(x) = 1 - \sqrt{x + 3}$. Это преобразование графика $y=\sqrt{x}$: сдвиг на 3 единицы влево ($y=\sqrt{x+3}$), симметричное отражение относительно оси Ox ($y=-\sqrt{x+3}$) и сдвиг на 1 единицу вверх ($y=1-\sqrt{x+3}$).

- Область определения: $x \ge -3$.- Начальная точка графика $f(x)$: $(-3, 1)$.- Точка пересечения с осью Ox: $1 - \sqrt{x + 3} = 0 \implies \sqrt{x + 3} = 1 \implies x + 3 = 1 \implies x = -2$. Точка $(-2, 0)$.- График $f(x)$ начинается в точке $(-3, 1)$ и убывает, проходя через точку $(-2, 0)$.2. Применим операцию модуля. На интервале $[-3, -2]$ функция $f(x)$ неотрицательна, поэтому ее график совпадает с искомым. При $x > -2$ функция $f(x)$ отрицательна, поэтому эту часть графика нужно отразить относительно оси Ox. Отраженная функция будет иметь вид $y = -(1 - \sqrt{x+3}) = \sqrt{x+3} - 1$.

В итоге, искомый график состоит из двух частей:

- $y = 1 - \sqrt{x + 3}$ при $-3 \le x \le -2$.

- $y = \sqrt{x + 3} - 1$ при $x > -2$.

Точка $(-2, 0)$ является точкой излома (касп).

Ключевые точки итогового графика: $(-3, 1)$, $(-2, 0)$, $(1, 1)$, $(6, 2)$.

Ответ: График функции $y = |1 - \sqrt{x + 3}|$ получается из графика $f(x) = 1 - \sqrt{x+3}$ отражением его отрицательной части ($x>-2$) относительно оси Ox. График начинается в точке $(-3, 1)$, убывает до точки $(-2, 0)$, а затем возрастает.

4) $y = |\sqrt{x - 1} - 2|$

Используем тот же алгоритм, что и в предыдущем пункте.

1. Построим график вспомогательной функции $f(x) = \sqrt{x - 1} - 2$. Это преобразование графика $y=\sqrt{x}$: сдвиг на 1 единицу вправо ($y=\sqrt{x-1}$) и сдвиг на 2 единицы вниз ($y=\sqrt{x-1}-2$).

- Область определения: $x \ge 1$.- Начальная точка графика $f(x)$: при $x=1$, $y=\sqrt{1-1}-2 = -2$. Точка $(1, -2)$.- Точка пересечения с осью Ox: $\sqrt{x - 1} - 2 = 0 \implies \sqrt{x - 1} = 2 \implies x - 1 = 4 \implies x = 5$. Точка $(5, 0)$.- График $f(x)$ начинается в точке $(1, -2)$ и возрастает, проходя через точку $(5, 0)$.2. Применим операцию модуля. На интервале $[1, 5)$ функция $f(x)$ отрицательна, поэтому эту часть графика нужно отразить относительно оси Ox. Отраженная функция будет иметь вид $y = -(\sqrt{x-1}-2) = 2 - \sqrt{x-1}$. На промежутке $[5, +\infty)$ функция $f(x)$ неотрицательна, поэтому ее график остается без изменений.

Искомый график состоит из двух частей:

- $y = 2 - \sqrt{x - 1}$ при $1 \le x < 5$.

- $y = \sqrt{x - 1} - 2$ при $x \ge 5$.

Точка $(5, 0)$ является точкой излома.

Ключевые точки итогового графика: $(1, 2)$ (отражение точки $(1, -2)$), $(2, 1)$, $(5, 0)$, $(10, 1)$.

Ответ: График функции $y = |\sqrt{x - 1} - 2|$ получается из графика $f(x) = \sqrt{x-1}-2$ отражением его отрицательной части ($1 \le x < 5$) относительно оси Ox. График начинается в точке $(1, 2)$, убывает до точки $(5, 0)$, а затем возрастает.