Номер 43.3, страница 81, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

43.3. Напишите уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$

в точках его пересечения с осью абсцисс:

1) $f(x) = 4 - x^2$;

2) $f(x) = x^2 - 9$;

3) $f(x) = 4x - x^2$;

4) $f(x) = 4x - x^2 - 3$.

1) $f(x) = 4 - x^2$

Сначала найдем точки пересечения графика функции с осью абсцисс (осью Ox). Для этого приравняем функцию к нулю:$f(x) = 0 \implies 4 - x^2 = 0$.$x^2 = 4$, откуда получаем два корня: $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$.Это абсциссы точек касания. В этих точках $y = 0$.Уравнение касательной в точке $x_0$ имеет вид $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$. Поскольку $f(x_0) = 0$, уравнение упрощается до $y = f'(x_0)(x - x_0)$.Найдем производную функции: $f'(x) = (4 - x^2)' = -2x$.Теперь напишем уравнения касательных для каждой точки.

Для точки $x_1 = -2$:Найдем угловой коэффициент касательной: $k_1 = f'(-2) = -2(-2) = 4$.Уравнение касательной: $y = 4(x - (-2)) = 4(x + 2) = 4x + 8$.

Для точки $x_2 = 2$:Найдем угловой коэффициент касательной: $k_2 = f'(2) = -2(2) = -4$.Уравнение касательной: $y = -4(x - 2) = -4x + 8$.

Ответ: $y = 4x + 8$ и $y = -4x + 8$.

2) $f(x) = x^2 - 9$

Находим точки пересечения с осью Ox:$f(x) = 0 \implies x^2 - 9 = 0$.$x^2 = 9$, откуда $x_1 = -3$ и $x_2 = 3$.Найдем производную функции: $f'(x) = (x^2 - 9)' = 2x$.Напишем уравнения касательных для каждой точки, используя формулу $y = f'(x_0)(x - x_0)$.

Для точки $x_1 = -3$:Угловой коэффициент: $k_1 = f'(-3) = 2(-3) = -6$.Уравнение касательной: $y = -6(x - (-3)) = -6(x + 3) = -6x - 18$.

Для точки $x_2 = 3$:Угловой коэффициент: $k_2 = f'(3) = 2(3) = 6$.Уравнение касательной: $y = 6(x - 3) = 6x - 18$.

Ответ: $y = -6x - 18$ и $y = 6x - 18$.

3) $f(x) = 4x - x^2$

Находим точки пересечения с осью Ox:$f(x) = 0 \implies 4x - x^2 = 0$.$x(4 - x) = 0$, откуда $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$.Найдем производную функции: $f'(x) = (4x - x^2)' = 4 - 2x$.Напишем уравнения касательных для каждой точки.

Для точки $x_1 = 0$:Угловой коэффициент: $k_1 = f'(0) = 4 - 2(0) = 4$.Уравнение касательной: $y = 4(x - 0) = 4x$.

Для точки $x_2 = 4$:Угловой коэффициент: $k_2 = f'(4) = 4 - 2(4) = 4 - 8 = -4$.Уравнение касательной: $y = -4(x - 4) = -4x + 16$.

Ответ: $y = 4x$ и $y = -4x + 16$.

4) $f(x) = 4x - x^2 - 3$

Находим точки пересечения с осью Ox:$f(x) = 0 \implies 4x - x^2 - 3 = 0$.Умножим на -1: $x^2 - 4x + 3 = 0$.Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 4, а произведение равно 3. Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$.Найдем производную функции: $f'(x) = (4x - x^2 - 3)' = 4 - 2x$.Напишем уравнения касательных для каждой точки.

Для точки $x_1 = 1$:Угловой коэффициент: $k_1 = f'(1) = 4 - 2(1) = 2$.Уравнение касательной: $y = 2(x - 1) = 2x - 2$.

Для точки $x_2 = 3$:Угловой коэффициент: $k_2 = f'(3) = 4 - 2(3) = 4 - 6 = -2$.Уравнение касательной: $y = -2(x - 3) = -2x + 6$.

Ответ: $y = 2x - 2$ и $y = -2x + 6$.