Номер 43.9, страница 81, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

43.9. Напишите уравнения касательных к графику функции:

1) $y = x^2 - 3x$ в точках графика функции с ординатой 4;

2) $y = -x^2 + 5x$ в точках графика функции с ординатой 6.

1) Дана функция $f(x) = x^2 - 3x$ и ордината точек касания $y_0 = 4$.

Общее уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Сначала найдем абсциссы $x_0$ точек касания, решив уравнение $f(x_0) = y_0$:

$x_0^2 - 3x_0 = 4$

$x_0^2 - 3x_0 - 4 = 0$

Решая это квадратное уравнение, находим корни: $x_{0,1} = -1$ и $x_{0,2} = 4$. Таким образом, существуют две точки касания: $(-1, 4)$ и $(4, 4)$.

Далее найдем производную функции:

$f'(x) = (x^2 - 3x)' = 2x - 3$

Теперь найдем уравнения касательных для каждой точки.

Для точки касания $(-1, 4)$:

Абсцисса $x_0 = -1$. Угловой коэффициент касательной (значение производной в точке) равен:

$k_1 = f'(-1) = 2(-1) - 3 = -5$

Уравнение касательной:

$y = f(-1) + f'(-1)(x - (-1)) = 4 - 5(x + 1) = 4 - 5x - 5 = -5x - 1$

Для точки касания $(4, 4)$:

Абсцисса $x_0 = 4$. Угловой коэффициент касательной равен:

$k_2 = f'(4) = 2(4) - 3 = 5$

Уравнение касательной:

$y = f(4) + f'(4)(x - 4) = 4 + 5(x - 4) = 4 + 5x - 20 = 5x - 16$

Ответ: $y = -5x - 1$ и $y = 5x - 16$.

2) Дана функция $f(x) = -x^2 + 5x$ и ордината точек касания $y_0 = 6$.

Сначала найдем абсциссы $x_0$ точек касания, решив уравнение $f(x_0) = y_0$:

$-x_0^2 + 5x_0 = 6$

$x_0^2 - 5x_0 + 6 = 0$

Решая это квадратное уравнение, находим корни: $x_{0,1} = 2$ и $x_{0,2} = 3$. Таким образом, существуют две точки касания: $(2, 6)$ и $(3, 6)$.

Далее найдем производную функции:

$f'(x) = (-x^2 + 5x)' = -2x + 5$

Теперь найдем уравнения касательных для каждой точки.

Для точки касания $(2, 6)$:

Абсцисса $x_0 = 2$. Угловой коэффициент касательной равен:

$k_1 = f'(2) = -2(2) + 5 = 1$

Уравнение касательной:

$y = f(2) + f'(2)(x - 2) = 6 + 1(x - 2) = 6 + x - 2 = x + 4$

Для точки касания $(3, 6)$:

Абсцисса $x_0 = 3$. Угловой коэффициент касательной равен:

$k_2 = f'(3) = -2(3) + 5 = -1$

Уравнение касательной:

$y = f(3) + f'(3)(x - 3) = 6 - 1(x - 3) = 6 - x + 3 = -x + 9$

Ответ: $y = x + 4$ и $y = -x + 9$.