Номер 43.13, страница 82, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

43.13. По графику функции (рис. 43.5)

найдите точки, в которых:

1) касательная параллельна оси $Ox$.
Запишите ее уравнение;

2) касательная не существует.
Запишите координаты этих точек.

Рис. 43.5

1) касательная параллельна оси Ox. Запишите ее уравнение;

Касательная к графику функции параллельна оси Ox (горизонтальна) в тех точках, где производная функции равна нулю. Визуально это соответствует гладким (без изломов) вершинам и впадинам на графике, то есть точкам локальных экстремумов.

Анализируя график, находим две такие точки:

- Точка локального минимума (гладкая впадина). Ее координаты по графику: $(-1.5, -2)$. Касательная в этой точке — это горизонтальная прямая, проходящая через $y = -2$. Ее уравнение: $y = -2$.

- Точка локального максимума (гладкая вершина). Ее координаты по графику: $(0, 3)$. Касательная в этой точке — это горизонтальная прямая, проходящая через $y = 3$. Ее уравнение: $y = 3$.

Ответ: касательная параллельна оси Ox в точках с координатами $(-1.5, -2)$ и $(0, 3)$. Уравнения этих касательных: $y = -2$ и $y = 3$.

2) касательная не существует. Запишите координаты этих точек.

Касательная к графику функции не существует в точках, где функция не является дифференцируемой. На графике это "точки излома" (острые углы), где наклон графика резко меняется.

Анализируя график, находим следующие точки излома:

- Точка с координатами $(-3, 3)$. Здесь находится острый пик, где сходятся два отрезка прямой с разными наклонами.

- Точка с координатами $(-2, 0)$. В этой точке отрезок прямой соединяется с криволинейным участком, образуя угол.

- Точка с координатами $(1, 0)$. В этой точке криволинейный участок, касательная к которому в этой точке горизонтальна (производная слева равна 0), соединяется с отрезком прямой, наклон которого равен $(3-0)/(3-1) = 1.5$ (производная справа равна 1.5). Так как $0 \neq 1.5$, это точка излома.

- Точка с координатами $(3, 3)$. Здесь также находится острый пик, где сходятся два отрезка прямой с разными наклонами.

Ответ: касательная не существует в точках с координатами $(-3, 3)$, $(-2, 0)$, $(1, 0)$ и $(3, 3)$.