Страница 82, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

9.16. Упростите выражение:

1) $\frac{(1 - \cos(2\pi - \alpha)) \cdot (1 + \cos(2\pi + \alpha))}{\sin\alpha}$;

2) $\frac{(1 - \sin\alpha) \cdot (1 + \sin(2\pi + \alpha))}{\cos(\pi - \alpha)}$;

3) $\frac{\operatorname{tg}(\pi - \alpha) \cdot \cos(\pi + \alpha)}{\sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)}$;

4) $\frac{\operatorname{ctg}(\pi + \alpha) \cdot \sin(\pi + \alpha)}{\sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha)}$.

1) Для упрощения выражения $\frac{(1 - \cos(2\pi - \alpha)) \cdot (1 + \cos(2\pi + \alpha))}{\sin\alpha}$ воспользуемся формулами приведения и основными тригонометрическими тождествами.

Сначала применим формулы приведения:

$\cos(2\pi - \alpha) = \cos\alpha$ (так как $2\pi$ — это полный оборот, и косинус — четная функция).

$\cos(2\pi + \alpha) = \cos\alpha$ (так как период функции косинуса равен $2\pi$).

Подставим эти значения в исходное выражение:

$\frac{(1 - \cos\alpha) \cdot (1 + \cos\alpha)}{\sin\alpha}$

В числителе мы видим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$. Применим ее:

$(1 - \cos\alpha)(1 + \cos\alpha) = 1^2 - \cos^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, мы можем выразить $1 - \cos^2\alpha$ как $\sin^2\alpha$.

Заменим числитель на $\sin^2\alpha$:

$\frac{\sin^2\alpha}{\sin\alpha}$

Сократим дробь:

$\sin\alpha$

Ответ: $\sin\alpha$

2) Упростим выражение $\frac{(1 - \sin\alpha) \cdot (1 + \sin(2\pi + \alpha))}{\cos(\pi - \alpha)}$.

Применим формулы приведения:

$\sin(2\pi + \alpha) = \sin\alpha$ (период функции синуса равен $2\pi$).

$\cos(\pi - \alpha) = -\cos\alpha$ (угол $\pi - \alpha$ находится во II четверти, где косинус отрицателен).

Подставим упрощенные выражения в исходную дробь:

$\frac{(1 - \sin\alpha) \cdot (1 + \sin\alpha)}{-\cos\alpha}$

Применим формулу разности квадратов к числителю:

$1 - \sin^2\alpha$

По основному тригонометрическому тождеству, $1 - \sin^2\alpha = \cos^2\alpha$.

Заменим числитель:

$\frac{\cos^2\alpha}{-\cos\alpha}$

Сократим дробь:

$-\cos\alpha$

Ответ: $-\cos\alpha$

3) Упростим выражение $\frac{\text{tg}(\pi - \alpha) \cdot \cos(\pi + \alpha)}{\sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)}$.

Применим формулы приведения для каждого тригонометрического выражения:

$\text{tg}(\pi - \alpha) = -\text{tg}\alpha$ (угол $\pi - \alpha$ находится во II четверти, где тангенс отрицателен).

$\cos(\pi + \alpha) = -\cos\alpha$ (угол $\pi + \alpha$ находится в III четверти, где косинус отрицателен).

$\sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos\alpha$ (формула кофункции; угол $\frac{\pi}{2} - \alpha$ в I четверти, где синус положителен).

Подставим эти выражения в исходную дробь:

$\frac{(-\text{tg}\alpha) \cdot (-\cos\alpha)}{\cos\alpha} = \frac{\text{tg}\alpha \cdot \cos\alpha}{\cos\alpha}$

Сократим $\cos\alpha$ в числителе и знаменателе:

$\text{tg}\alpha$

Ответ: $\text{tg}\alpha$

4) Упростим выражение $\frac{\text{ctg}(\pi + \alpha) \cdot \sin(\pi + \alpha)}{\sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha)}$.

Применим формулы приведения:

$\text{ctg}(\pi + \alpha) = \text{ctg}\alpha$ (угол $\pi + \alpha$ находится в III четверти, где котангенс положителен).

$\sin(\pi + \alpha) = -\sin\alpha$ (угол $\pi + \alpha$ находится в III четверти, где синус отрицателен).

$\sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\cos\alpha$ (угол $\frac{3\pi}{2} - \alpha$ находится в III четверти, где синус отрицателен, и функция меняется на кофункцию).

Подставим упрощенные выражения в дробь:

$\frac{\text{ctg}\alpha \cdot (-\sin\alpha)}{-\cos\alpha} = \frac{\text{ctg}\alpha \cdot \sin\alpha}{\cos\alpha}$

Зная, что $\text{ctg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$, выполним замену в числителе:

$\frac{\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} \cdot \sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\cos\alpha}{\cos\alpha}$

Сократим дробь:

$1$

Ответ: $1$

9.17. В какой координатной четверти может находиться угол $ \alpha $, если:

1) $ | \sin \alpha | > \sin \alpha $;

2) $ | \cos \alpha | = \cos \alpha $;

3) $ | \cos \alpha | > \cos \alpha $;

4) $ | \operatorname{tg} \alpha | > \operatorname{tg} \alpha $;

5) $ | \operatorname{ctg} \alpha | = \operatorname{ctg} \alpha $;

6) $ | \operatorname{ctg} \alpha | < \operatorname{ctg} \alpha $?

1) $|sin \alpha| > sin \alpha$;

Решение: Неравенство вида $|x| > x$ справедливо тогда и только тогда, когда $x$ является отрицательным числом, то есть $x < 0$. Применительно к данной задаче, это означает, что $sin \alpha < 0$. Синус угла — это ордината (координата y) точки на единичной окружности. Синус принимает отрицательные значения в тех четвертях, где ордината отрицательна. Это III и IV координатные четверти.

Ответ: III или IV четверть.

2) $|cos \alpha| = cos \alpha$;

Решение: Равенство вида $|x| = x$ справедливо тогда и только тогда, когда $x$ является неотрицательным числом, то есть $x \ge 0$. В данном случае это означает, что $cos \alpha \ge 0$. Косинус угла — это абсцисса (координата x) точки на единичной окружности. Косинус принимает неотрицательные значения в тех четвертях, где абсцисса неотрицательна. Это I и IV координатные четверти (включая граничные значения на оси OY, где $cos \alpha = 0$).

Ответ: I или IV четверть.

3) $|cos \alpha| > cos \alpha$;

Решение: Неравенство вида $|x| > x$ справедливо тогда и только тогда, когда $x < 0$. В данном случае это означает, что $cos \alpha < 0$. Косинус угла — это абсцисса (координата x) точки на единичной окружности. Косинус принимает отрицательные значения в тех четвертях, где абсцисса отрицательна. Это II и III координатные четверти.

Ответ: II или III четверть.

4) $|\operatorname{tg} \alpha| > \operatorname{tg} \alpha$;

Решение: Неравенство вида $|x| > x$ справедливо тогда и только тогда, когда $x < 0$. В данном случае это означает, что $\operatorname{tg} \alpha < 0$. Тангенс угла ($\operatorname{tg} \alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha}$) отрицателен, когда синус и косинус имеют разные знаки. Это происходит во II четверти (где $sin \alpha > 0$ и $cos \alpha < 0$) и в IV четверти (где $sin \alpha < 0$ и $cos \alpha > 0$).

Ответ: II или IV четверть.

5) $|\operatorname{ctg} \alpha| = \operatorname{ctg} \alpha$;

Решение: Равенство вида $|x| = x$ справедливо тогда и только тогда, когда $x \ge 0$. В данном случае это означает, что $\operatorname{ctg} \alpha \ge 0$. Котангенс угла ($\operatorname{ctg} \alpha = \frac{cos \alpha}{sin \alpha}$) положителен, когда синус и косинус имеют одинаковые знаки. Это происходит в I четверти (где $sin \alpha > 0$ и $cos \alpha > 0$) и в III четверти (где $sin \alpha < 0$ и $cos \alpha < 0$).

Ответ: I или III четверть.

6) $|\operatorname{ctg} \alpha| < \operatorname{ctg} \alpha?$

Решение: Неравенство вида $|x| < x$ не имеет решений для любого действительного числа $x$, так как модуль числа никогда не может быть строго меньше самого числа.

- Если $x \ge 0$, то $|x| = x$, и неравенство принимает вид $x < x$, что является ложным.

- Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Так как $x$ отрицательно, то $-x$ положительно. Неравенство $-x < x$ ложно, так как положительное число не может быть меньше отрицательного.

Следовательно, не существует такого угла $\alpha$, для которого бы выполнялось данное условие.

Ответ: Таких углов не существует.

ОБЪЯСНИТЕ

Как из функций $f(u) = \sqrt{u}$ и $u = kx + b$; $u = ax^2 + bx + c$; $u = \frac{ax+b}{cx+d}$ получили новые функции: $f(x) = \sqrt{kx+b}$; $f(x) = \sqrt{ax^2+bx+c}$; $f(x) = \sqrt{\frac{ax+b}{cx+d}}$?

Новые функции $f(x)$ получены с помощью операции композиции функций, или создания сложной функции. Это означает, что одна функция (внутренняя, $u(x)$) подставляется в качестве аргумента в другую функцию (внешнюю, $f(u)$). В данном случае внешней функцией всегда является $f(u) = \sqrt{u}$, а в качестве внутренней функции $u$ последовательно выступают три разных выражения, зависящих от $x$. Процесс получения новой функции $f(x)$ заключается в подстановке выражения для $u$ в функцию $f(u)$.

$f(x) = \sqrt{kx+b}$

Даны внешняя функция $f(u) = \sqrt{u}$ и внутренняя функция $u = kx+b$. Чтобы получить итоговую функцию $f(x)$, мы заменяем аргумент $u$ в выражении $f(u)$ на выражение для $u(x)$.

Подставляем $kx+b$ вместо $u$ в $f(u) = \sqrt{u}$:

$f(x) = f(u(x)) = \sqrt{kx+b}$

Ответ: Функция $f(x) = \sqrt{kx+b}$ получена путем подстановки линейной функции $u = kx+b$ в качестве аргумента в функцию $f(u) = \sqrt{u}$.

$f(x) = \sqrt{ax^2+bx+c}$

Здесь внешняя функция та же: $f(u) = \sqrt{u}$. Внутренняя функция является квадратичной: $u = ax^2+bx+c$.

Выполняем подстановку: заменяем $u$ в выражении $\sqrt{u}$ на многочлен $ax^2+bx+c$.

$f(x) = f(u(x)) = \sqrt{ax^2+bx+c}$

Ответ: Функция $f(x) = \sqrt{ax^2+bx+c}$ получена путем подстановки квадратичной функции $u = ax^2+bx+c$ в качестве аргумента в функцию $f(u) = \sqrt{u}$.

$f(x) = \sqrt{\frac{ax+b}{cx+d}}$

Внешняя функция по-прежнему $f(u) = \sqrt{u}$. Внутренняя функция является дробно-линейной: $u = \frac{ax+b}{cx+d}$.

Подставляя выражение для $u(x)$ в $f(u)$, мы получаем искомую сложную функцию $f(x)$.

$f(x) = f(u(x)) = \sqrt{\frac{ax+b}{cx+d}}$

Ответ: Функция $f(x) = \sqrt{\frac{ax+b}{cx+d}}$ получена путем подстановки дробно-линейной функции $u = \frac{ax+b}{cx+d}$ в качестве аргумента в функцию $f(u) = \sqrt{u}$.

43.11. Найдите уравнения касательных к графику функции $y = \frac{x^3}{3} - 3$, которые параллельны прямой:

1) $y = 4x - 1$;

2) $y = x + 31$;

3) $y = 9x - 10$.

Общая задача состоит в том, чтобы найти уравнения касательных к графику функции $y = f(x) = \frac{x^3}{3} - 3$, которые параллельны заданным прямым.

Условие параллельности двух прямых заключается в равенстве их угловых коэффициентов. Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной функции в этой точке, то есть $k = f'(x_0)$.

Сначала найдем производную данной функции:

$f'(x) = (\frac{x^3}{3} - 3)' = \frac{1}{3} \cdot (x^3)' - (3)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 - 0 = x^2$.

Таким образом, угловой коэффициент касательной в точке $x_0$ равен $k = x_0^2$. Уравнение касательной в точке $(x_0, y_0)$ имеет вид $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

1) y = 4x - 1;

Угловой коэффициент данной прямой $y = 4x - 1$ равен $k=4$. Поскольку искомая касательная параллельна этой прямой, ее угловой коэффициент также должен быть равен 4.

Найдем абсциссы точек касания $x_0$ из условия $f'(x_0) = 4$:

$x_0^2 = 4$

Отсюда получаем два значения: $x_0 = 2$ и $x_0 = -2$. Это означает, что существуют две касательные, удовлетворяющие условию.

Случай 1: $x_0 = 2$.

Найдем ординату точки касания:

$y_0 = f(2) = \frac{2^3}{3} - 3 = \frac{8}{3} - 3 = \frac{8 - 9}{3} = -\frac{1}{3}$.

Точка касания — $(2; -\frac{1}{3})$.

Уравнение касательной:

$y = y_0 + k(x - x_0) = -\frac{1}{3} + 4(x - 2) = -\frac{1}{3} + 4x - 8 = 4x - \frac{25}{3}$.

Случай 2: $x_0 = -2$.

Найдем ординату точки касания:

$y_0 = f(-2) = \frac{(-2)^3}{3} - 3 = \frac{-8}{3} - 3 = \frac{-8 - 9}{3} = -\frac{17}{3}$.

Точка касания — $(-2; -\frac{17}{3})$.

Уравнение касательной:

$y = y_0 + k(x - x_0) = -\frac{17}{3} + 4(x - (-2)) = -\frac{17}{3} + 4x + 8 = 4x + \frac{7}{3}$.

Ответ: $y = 4x - \frac{25}{3}$ и $y = 4x + \frac{7}{3}$.

2) y = x + 31;

Угловой коэффициент данной прямой $y = x + 31$ равен $k=1$. Следовательно, угловой коэффициент касательной также равен 1.

Найдем абсциссы точек касания $x_0$ из условия $f'(x_0) = 1$:

$x_0^2 = 1$

Отсюда $x_0 = 1$ и $x_0 = -1$.

Случай 1: $x_0 = 1$.

Найдем ординату точки касания:

$y_0 = f(1) = \frac{1^3}{3} - 3 = \frac{1}{3} - 3 = \frac{1 - 9}{3} = -\frac{8}{3}$.

Точка касания — $(1; -\frac{8}{3})$.

Уравнение касательной:

$y = y_0 + k(x - x_0) = -\frac{8}{3} + 1(x - 1) = x - 1 - \frac{8}{3} = x - \frac{11}{3}$.

Случай 2: $x_0 = -1$.

Найдем ординату точки касания:

$y_0 = f(-1) = \frac{(-1)^3}{3} - 3 = \frac{-1}{3} - 3 = \frac{-1 - 9}{3} = -\frac{10}{3}$.

Точка касания — $(-1; -\frac{10}{3})$.

Уравнение касательной:

$y = y_0 + k(x - x_0) = -\frac{10}{3} + 1(x - (-1)) = x + 1 - \frac{10}{3} = x - \frac{7}{3}$.

Ответ: $y = x - \frac{11}{3}$ и $y = x - \frac{7}{3}$.

3) y = 9x - 10.

Угловой коэффициент данной прямой $y = 9x - 10$ равен $k=9$. Следовательно, угловой коэффициент касательной также равен 9.

Найдем абсциссы точек касания $x_0$ из условия $f'(x_0) = 9$:

$x_0^2 = 9$

Отсюда $x_0 = 3$ и $x_0 = -3$.

Случай 1: $x_0 = 3$.

Найдем ординату точки касания:

$y_0 = f(3) = \frac{3^3}{3} - 3 = \frac{27}{3} - 3 = 9 - 3 = 6$.

Точка касания — $(3; 6)$.

Уравнение касательной:

$y = y_0 + k(x - x_0) = 6 + 9(x - 3) = 6 + 9x - 27 = 9x - 21$.

Случай 2: $x_0 = -3$.

Найдем ординату точки касания:

$y_0 = f(-3) = \frac{(-3)^3}{3} - 3 = \frac{-27}{3} - 3 = -9 - 3 = -12$.

Точка касания — $(-3; -12)$.

Уравнение касательной:

$y = y_0 + k(x - x_0) = -12 + 9(x - (-3)) = -12 + 9x + 27 = 9x + 15$.

Ответ: $y = 9x - 21$ и $y = 9x + 15$.

1) $y - 4x - 1$, 2) $y - x + 31$, 3) $y - 9x - 10$.

43.12. Найдите уравнения касательных к графику функции $y=1-\frac{1}{x}$,

которые параллельны прямой:

1) $y = x + 2$;

2) $y = 4x - $

3) $y = 0,5x - 10$.

Общий алгоритм нахождения уравнений касательных, параллельных заданной прямой, выглядит следующим образом:

1. Найти производную функции $f(x)$, к графику которой строятся касательные. В нашем случае $f(x) = 1 - \frac{1}{x}$.

2. Угловой коэффициент $k$ касательной к графику функции в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной в этой точке, то есть $k = f'(x_0)$.

3. Условием параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов. Поэтому, чтобы найти абсциссу точки касания $x_0$, нужно приравнять значение производной $f'(x_0)$ к угловому коэффициенту $k$ данной прямой.

4. После нахождения $x_0$ нужно вычислить соответствующую ординату точки касания: $y_0 = f(x_0)$.

5. Подставить найденные значения $x_0$, $y_0$ и $k$ в уравнение касательной: $y = y_0 + k(x - x_0)$.

Найдем производную функции $f(x) = 1 - \frac{1}{x}$. Запишем ее как $f(x) = 1 - x^{-1}$.

Тогда производная будет равна: $f'(x) = (1 - x^{-1})' = 0 - (-1)x^{-2} = x^{-2} = \frac{1}{x^2}$.

1) Касательные, параллельные прямой $y = x + 2$

Угловой коэффициент данной прямой $k = 1$. Касательная должна иметь такой же угловой коэффициент. Найдем абсциссу(ы) точки касания $x_0$ из уравнения $f'(x_0) = 1$:

$\frac{1}{x_0^2} = 1$

$x_0^2 = 1$

Отсюда получаем две возможные абсциссы: $x_0 = 1$ и $x_0 = -1$.

Случай 1: $x_0 = 1$

Находим ординату точки касания: $y_0 = f(1) = 1 - \frac{1}{1} = 0$.

Уравнение касательной: $y - 0 = 1 \cdot (x - 1)$, что дает $y = x - 1$.

Случай 2: $x_0 = -1$

Находим ординату точки касания: $y_0 = f(-1) = 1 - \frac{1}{-1} = 1 + 1 = 2$.

Уравнение касательной: $y - 2 = 1 \cdot (x - (-1))$, что дает $y - 2 = x + 1$, или $y = x + 3$.

Ответ: $y = x - 1$ и $y = x + 3$.

2) Касательные, параллельные прямой $y = 4x - 3$

Угловой коэффициент данной прямой $k = 4$. Найдем $x_0$ из уравнения $f'(x_0) = 4$:

$\frac{1}{x_0^2} = 4$

$x_0^2 = \frac{1}{4}$

Отсюда $x_0 = \frac{1}{2}$ и $x_0 = -\frac{1}{2}$.

Случай 1: $x_0 = \frac{1}{2}$

Находим ординату: $y_0 = f(\frac{1}{2}) = 1 - \frac{1}{1/2} = 1 - 2 = -1$.

Уравнение касательной: $y - (-1) = 4(x - \frac{1}{2})$, то есть $y + 1 = 4x - 2$, или $y = 4x - 3$.

Случай 2: $x_0 = -\frac{1}{2}$

Находим ординату: $y_0 = f(-\frac{1}{2}) = 1 - \frac{1}{-1/2} = 1 + 2 = 3$.

Уравнение касательной: $y - 3 = 4(x - (-\frac{1}{2}))$, то есть $y - 3 = 4x + 2$, или $y = 4x + 5$.

Ответ: $y = 4x - 3$ и $y = 4x + 5$.

3) Касательные, параллельные прямой $y = 0,5x - 10$

Угловой коэффициент данной прямой $k = 0,5 = \frac{1}{2}$. Найдем $x_0$ из уравнения $f'(x_0) = \frac{1}{2}$:

$\frac{1}{x_0^2} = \frac{1}{2}$

$x_0^2 = 2$

Отсюда $x_0 = \sqrt{2}$ и $x_0 = -\sqrt{2}$.

Случай 1: $x_0 = \sqrt{2}$

Находим ординату: $y_0 = f(\sqrt{2}) = 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Уравнение касательной: $y - (1 - \frac{\sqrt{2}}{2}) = 0,5(x - \sqrt{2})$.

$y = 0,5x - 0,5\sqrt{2} + 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} = 0,5x + 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = 0,5x + 1 - \sqrt{2}$.

Случай 2: $x_0 = -\sqrt{2}$

Находим ординату: $y_0 = f(-\sqrt{2}) = 1 - \frac{1}{-\sqrt{2}} = 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Уравнение касательной: $y - (1 + \frac{\sqrt{2}}{2}) = 0,5(x - (-\sqrt{2}))$.

$y = 0,5x + 0,5\sqrt{2} + 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} = 0,5x + 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = 0,5x + 1 + \sqrt{2}$.

Ответ: $y = 0,5x + 1 - \sqrt{2}$ и $y = 0,5x + 1 + \sqrt{2}$.

43.13. По графику функции (рис. 43.5)

найдите точки, в которых:

1) касательная параллельна оси $Ox$.
Запишите ее уравнение;

2) касательная не существует.
Запишите координаты этих точек.

Рис. 43.5

1) касательная параллельна оси Ox. Запишите ее уравнение;

Касательная к графику функции параллельна оси Ox (горизонтальна) в тех точках, где производная функции равна нулю. Визуально это соответствует гладким (без изломов) вершинам и впадинам на графике, то есть точкам локальных экстремумов.

Анализируя график, находим две такие точки:

- Точка локального минимума (гладкая впадина). Ее координаты по графику: $(-1.5, -2)$. Касательная в этой точке — это горизонтальная прямая, проходящая через $y = -2$. Ее уравнение: $y = -2$.

- Точка локального максимума (гладкая вершина). Ее координаты по графику: $(0, 3)$. Касательная в этой точке — это горизонтальная прямая, проходящая через $y = 3$. Ее уравнение: $y = 3$.

Ответ: касательная параллельна оси Ox в точках с координатами $(-1.5, -2)$ и $(0, 3)$. Уравнения этих касательных: $y = -2$ и $y = 3$.

2) касательная не существует. Запишите координаты этих точек.

Касательная к графику функции не существует в точках, где функция не является дифференцируемой. На графике это "точки излома" (острые углы), где наклон графика резко меняется.

Анализируя график, находим следующие точки излома:

- Точка с координатами $(-3, 3)$. Здесь находится острый пик, где сходятся два отрезка прямой с разными наклонами.

- Точка с координатами $(-2, 0)$. В этой точке отрезок прямой соединяется с криволинейным участком, образуя угол.

- Точка с координатами $(1, 0)$. В этой точке криволинейный участок, касательная к которому в этой точке горизонтальна (производная слева равна 0), соединяется с отрезком прямой, наклон которого равен $(3-0)/(3-1) = 1.5$ (производная справа равна 1.5). Так как $0 \neq 1.5$, это точка излома.

- Точка с координатами $(3, 3)$. Здесь также находится острый пик, где сходятся два отрезка прямой с разными наклонами.

Ответ: касательная не существует в точках с координатами $(-3, 3)$, $(-2, 0)$, $(1, 0)$ и $(3, 3)$.

43.14. Составьте уравнения касательных к графику функции $y = x^4 - 2x^2 + 2x - 1$, параллельных прямой $y = 2x - 1$.

Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

По условию, касательные должны быть параллельны прямой $y = 2x - 1$. Параллельные прямые имеют одинаковые угловые коэффициенты. Угловой коэффициент прямой $y = 2x - 1$ равен $2$.

Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке $x_0$ равен значению производной в этой точке, то есть $k = f'(x_0)$. Следовательно, нам нужно найти такие значения $x_0$, для которых выполняется равенство $f'(x_0) = 2$.

Найдем производную функции $f(x) = x^4 - 2x^2 + 2x - 1$:

$f'(x) = (x^4 - 2x^2 + 2x - 1)' = 4x^3 - 4x + 2$.

Теперь решим уравнение $f'(x) = 2$:

$4x^3 - 4x + 2 = 2$

$4x^3 - 4x = 0$

Вынесем общий множитель $4x$ за скобки:

$4x(x^2 - 1) = 0$

Разложим выражение в скобках по формуле разности квадратов:

$4x(x - 1)(x + 1) = 0$

Это уравнение имеет три корня, которые являются абсциссами точек касания:

$x_1 = 0$

$x_2 = 1$

$x_3 = -1$

Теперь найдем ординаты точек касания, подставив найденные значения $x$ в исходную функцию $y = x^4 - 2x^2 + 2x - 1$:

1. Для $x_1 = 0$:

$y_1 = 0^4 - 2(0)^2 + 2(0) - 1 = -1$. Точка касания $A(0, -1)$.

2. Для $x_2 = 1$:

$y_2 = 1^4 - 2(1)^2 + 2(1) - 1 = 1 - 2 + 2 - 1 = 0$. Точка касания $B(1, 0)$.

3. Для $x_3 = -1$:

$y_3 = (-1)^4 - 2(-1)^2 + 2(-1) - 1 = 1 - 2 - 2 - 1 = -4$. Точка касания $C(-1, -4)$.

Составим уравнения касательных для каждой точки, используя формулу $y = y_0 + k(x - x_0)$ с угловым коэффициентом $k=2$:

1. Для точки $A(0, -1)$:

$y = -1 + 2(x - 0) \implies y = 2x - 1$.

2. Для точки $B(1, 0)$:

$y = 0 + 2(x - 1) \implies y = 2x - 2$.

3. Для точки $C(-1, -4)$:

$y = -4 + 2(x - (-1)) \implies y = -4 + 2(x + 1) \implies y = -4 + 2x + 2 \implies y = 2x - 2$.

Таким образом, мы получили два разных уравнения касательных.

Ответ: $y = 2x - 1$ и $y = 2x - 2$.

Рис. 43.5

43.15. Составьте уравнения касательных к графику функции $y = 3 + 5x - 2x^3$, образующих с положительным направлением оси $Ox$ угол в $135^\circ$.

Общее уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Угловой коэффициент $k$ касательной связан с углом наклона $\alpha$, который касательная образует с положительным направлением оси Ox, по формуле $k = \tan(\alpha)$. По условию задачи, угол $\alpha = 135^\circ$.

Найдем угловой коэффициент касательных:

$k = \tan(135^\circ) = \tan(180^\circ - 45^\circ) = -\tan(45^\circ) = -1$.

С другой стороны, угловой коэффициент касательной в точке $x_0$ равен значению производной функции в этой точке: $k = f'(x_0)$.

Найдем производную функции $y = 3 + 5x - 2x^3$:

$y' = f'(x) = (3 + 5x - 2x^3)' = 5 - 6x^2$.

Чтобы найти абсциссы точек касания $x_0$, приравняем значение производной к найденному угловому коэффициенту $k = -1$:

$f'(x_0) = -1$

$5 - 6x_0^2 = -1$

$6x_0^2 = 5 + 1$

$6x_0^2 = 6$

$x_0^2 = 1$

Это уравнение имеет два корня: $x_{0_1} = 1$ и $x_{0_2} = -1$. Следовательно, существуют две касательные, удовлетворяющие условию.

Теперь найдем ординаты $y_0$ для каждой точки касания и составим уравнения касательных.

1. Для точки с абсциссой $x_0 = 1$:

Найдем ординату точки касания, подставив $x_0 = 1$ в исходную функцию:

$y_0 = 3 + 5(1) - 2(1)^3 = 3 + 5 - 2 = 6$.

Точка касания: $(1, 6)$.

Составим уравнение касательной, используя точку $(1, 6)$ и угловой коэффициент $k = -1$:

$y - y_0 = k(x - x_0)$

$y - 6 = -1(x - 1)$

$y - 6 = -x + 1$

$y = -x + 7$.

2. Для точки с абсциссой $x_0 = -1$:

Найдем ординату точки касания, подставив $x_0 = -1$ в исходную функцию:

$y_0 = 3 + 5(-1) - 2(-1)^3 = 3 - 5 - 2(-1) = 3 - 5 + 2 = 0$.

Точка касания: $(-1, 0)$.

Составим уравнение касательной, используя точку $(-1, 0)$ и угловой коэффициент $k = -1$:

$y - y_0 = k(x - x_0)$

$y - 0 = -1(x - (-1))$

$y = -1(x + 1)$

$y = -x - 1$.

Ответ: $y = -x + 7$ и $y = -x - 1$.

43.16. Напишите уравнение касательной к графику функции $y = x^2 - 3$ в точке с абсциссой $x = 2$.

Общий вид уравнения касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ задается формулой: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

В нашем случае дана функция $f(x) = x^2 - 3$ и абсцисса точки касания $x_0 = 2$.

1. Найдем значение функции в точке касания, то есть ординату этой точки. Для этого подставим $x_0 = 2$ в уравнение функции:

$f(x_0) = f(2) = 2^2 - 3 = 4 - 3 = 1$.

Таким образом, точка касания имеет координаты $(2; 1)$.

2. Найдем производную функции $f(x)$, чтобы определить угловой коэффициент касательной. Используя правила дифференцирования, получаем:

$f'(x) = (x^2 - 3)' = (x^2)' - (3)' = 2x - 0 = 2x$.

3. Вычислим значение производной в точке $x_0 = 2$. Это и будет угловой коэффициент касательной $k$:

$k = f'(x_0) = f'(2) = 2 \cdot 2 = 4$.

4. Теперь у нас есть все необходимые данные: $x_0 = 2$, $f(x_0) = 1$ и $f'(x_0) = 4$. Подставим их в общую формулу уравнения касательной:

$y = 1 + 4(x - 2)$.

5. Упростим полученное уравнение, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые:

$y = 1 + 4x - 8$

$y = 4x - 7$.

Ответ: $y = 4x - 7$

43.17. Найдите уравнение касательной к графику функции $y = 1 - 2\sqrt{x}$, параллельной прямой, заданной уравнением $x + y - 2 = 0$.

Для нахождения уравнения касательной нам нужно знать координаты точки касания $(x_0; y_0)$ и угловой коэффициент касательной $k$. Уравнение касательной в общем виде: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$, где $f'(x_0)$ - это и есть угловой коэффициент $k$.

1. Определим угловой коэффициент касательной. По условию, касательная параллельна прямой, заданной уравнением $x + y - 2 = 0$. У параллельных прямых угловые коэффициенты равны. Преобразуем уравнение данной прямой к виду $y = kx + b$, чтобы найти ее угловой коэффициент $k$:

$y = -x + 2$

Отсюда видно, что угловой коэффициент данной прямой равен -1. Следовательно, угловой коэффициент искомой касательной также равен $k = -1$.

2. Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке $x_0$ равен значению производной этой функции в данной точке: $k = f'(x_0)$. Найдем производную функции $y = f(x) = 1 - 2\sqrt{x}$:

$f'(x) = (1 - 2\sqrt{x})' = (1)' - (2x^{1/2})' = 0 - 2 \cdot \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = -x^{-1/2} = -\frac{1}{\sqrt{x}}$.

3. Теперь найдем абсциссу точки касания $x_0$, приравняв производную к найденному угловому коэффициенту:

$f'(x_0) = -1$

$-\frac{1}{\sqrt{x_0}} = -1$

$\sqrt{x_0} = 1$

$x_0 = 1$

4. Найдем ординату точки касания $y_0$, подставив значение $x_0 = 1$ в исходное уравнение функции:

$y_0 = f(x_0) = 1 - 2\sqrt{1} = 1 - 2 \cdot 1 = -1$.

Итак, точка касания имеет координаты $(1; -1)$.

5. Теперь, зная точку касания $(1; -1)$ и угловой коэффициент $k = -1$, составим уравнение касательной, используя формулу $y - y_0 = k(x - x_0)$:

$y - (-1) = -1(x - 1)$

$y + 1 = -x + 1$

$y = -x$

Ответ: $y = -x$

43.18. 1) Напишите уравнения касательных к графику функции $y = x^2 - 4x + 3$, проходящих через точку A(2; -5), не принадлежащую этому графику.

2) Напишите уравнения касательных к графику функции $y = x^2 - 2x$, проходящих через точку A(1; -5), не принадлежащую этому графику.

1) Дана функция $y = x^2 - 4x + 3$ и точка $A(2; -5)$. Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке $x_0$ имеет вид:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Сначала найдем производную функции:

$f'(x) = (x^2 - 4x + 3)' = 2x - 4$.

Пусть $x_0$ — абсцисса точки касания. Тогда $f(x_0) = x_0^2 - 4x_0 + 3$ и $f'(x_0) = 2x_0 - 4$.

Подставим эти выражения в уравнение касательной:

$y = (x_0^2 - 4x_0 + 3) + (2x_0 - 4)(x - x_0)$.

Так как касательная проходит через точку $A(2; -5)$, ее координаты $(x=2, y=-5)$ должны удовлетворять уравнению касательной. Подставим их:

$-5 = (x_0^2 - 4x_0 + 3) + (2x_0 - 4)(2 - x_0)$.

Теперь решим это уравнение относительно $x_0$:

$-5 = x_0^2 - 4x_0 + 3 + 4x_0 - 2x_0^2 - 8 + 4x_0$

$-5 = -x_0^2 + 4x_0 - 5$

$x_0^2 - 4x_0 = 0$

$x_0(x_0 - 4) = 0$.

Отсюда получаем два значения для абсциссы точки касания: $x_0 = 0$ и $x_0 = 4$.

Найдем уравнения для каждой касательной.

При $x_0 = 0$:

$f(0) = 0^2 - 4 \cdot 0 + 3 = 3$

$f'(0) = 2 \cdot 0 - 4 = -4$

Уравнение касательной: $y = 3 - 4(x - 0)$, то есть $y = -4x + 3$.

При $x_0 = 4$:

$f(4) = 4^2 - 4 \cdot 4 + 3 = 16 - 16 + 3 = 3$

$f'(4) = 2 \cdot 4 - 4 = 4$

Уравнение касательной: $y = 3 + 4(x - 4)$, то есть $y = 3 + 4x - 16$, что дает $y = 4x - 13$.

Ответ: $y = -4x + 3$ и $y = 4x - 13$.

2) Дана функция $y = x^2 - 2x$ и точка $A(1; -5)$. Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке $x_0$ имеет вид:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (x^2 - 2x)' = 2x - 2$.

Пусть $x_0$ — абсцисса точки касания. Тогда $f(x_0) = x_0^2 - 2x_0$ и $f'(x_0) = 2x_0 - 2$.

Уравнение касательной:

$y = (x_0^2 - 2x_0) + (2x_0 - 2)(x - x_0)$.

Так как касательная проходит через точку $A(1; -5)$, ее координаты $(x=1, y=-5)$ должны удовлетворять этому уравнению. Подставим их:

$-5 = (x_0^2 - 2x_0) + (2x_0 - 2)(1 - x_0)$.

Решим полученное уравнение относительно $x_0$:

$-5 = x_0^2 - 2x_0 + 2x_0 - 2x_0^2 - 2 + 2x_0$

$-5 = -x_0^2 + 2x_0 - 2$

$x_0^2 - 2x_0 - 3 = 0$.

Используя теорему Виета или решив через дискриминант, находим корни: $x_0 = 3$ и $x_0 = -1$.

Теперь найдем уравнения для каждой касательной.

При $x_0 = 3$:

$f(3) = 3^2 - 2 \cdot 3 = 9 - 6 = 3$

$f'(3) = 2 \cdot 3 - 2 = 4$

Уравнение касательной: $y = 3 + 4(x - 3)$, то есть $y = 3 + 4x - 12$, что дает $y = 4x - 9$.

При $x_0 = -1$:

$f(-1) = (-1)^2 - 2 \cdot (-1) = 1 + 2 = 3$

$f'(-1) = 2 \cdot (-1) - 2 = -4$

Уравнение касательной: $y = 3 - 4(x - (-1))$, то есть $y = 3 - 4(x + 1)$, что дает $y = -4x - 1$.

Ответ: $y = 4x - 9$ и $y = -4x - 1$.

*43.19. На параболе, заданной формулой $y = x^2 - 4$, взяты две точки с абсциссами $x_1 = 1$, $x_2 = 3$. Через эти точки проведена прямая. В какой точке параболы касательная будет параллельна проведенной прямой?

Для решения задачи нам нужно найти точку на параболе $y = x^2 - 4$, в которой касательная будет параллельна прямой, проходящей через две другие точки этой же параболы с абсциссами $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$.

Сначала определим координаты этих двух точек на параболе.

Для точки с абсциссой $x_1 = 1$, найдем соответствующую ординату $y_1$:$y_1 = x_1^2 - 4 = 1^2 - 4 = 1 - 4 = -3$.Таким образом, первая точка имеет координаты $A(1, -3)$.

Для точки с абсциссой $x_2 = 3$, найдем соответствующую ординату $y_2$:$y_2 = x_2^2 - 4 = 3^2 - 4 = 9 - 4 = 5$.Таким образом, вторая точка имеет координаты $B(3, 5)$.

Теперь найдем угловой коэффициент $k_{сек}$ прямой (секущей), проходящей через точки A и B. Угловой коэффициент прямой, проходящей через две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, находится по формуле:$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.Подставим координаты точек A и B:$k_{сек} = \frac{5 - (-3)}{3 - 1} = \frac{8}{2} = 4$.

Условие параллельности касательной и проведенной прямой означает, что их угловые коэффициенты должны быть равны. Угловой коэффициент касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной $f'(x_0)$ в этой точке.

Найдем производную функции $y = f(x) = x^2 - 4$:$f'(x) = (x^2 - 4)' = 2x$.Следовательно, угловой коэффициент касательной $k_{кас}$ в некоторой точке с абсциссой $x_0$ равен $k_{кас} = 2x_0$.

Приравняем угловые коэффициенты касательной и секущей, чтобы найти абсциссу $x_0$ искомой точки:$k_{кас} = k_{сек}$$2x_0 = 4$$x_0 = 2$.

Мы нашли абсциссу искомой точки. Теперь найдем ее ординату $y_0$, подставив значение $x_0 = 2$ в уравнение параболы:$y_0 = x_0^2 - 4 = 2^2 - 4 = 4 - 4 = 0$.

Итак, искомая точка на параболе, в которой касательная параллельна заданной прямой, имеет координаты $(2, 0)$.

Ответ: $(2, 0)$.

43.20. При каком значении $a$ касательная к параболе $y = ax^2 + x - 3$ в точке $M(1; a - 2)$ параллельна прямой, заданной формулой $y - 2x = 12$?

43.21. Найти

Для того чтобы касательная к параболе была параллельна заданной прямой, их угловые коэффициенты (наклоны) должны быть равны.

Сначала найдем угловой коэффициент прямой, заданной формулой $y - 2x = 12$. Для этого приведем уравнение к стандартному виду $y = kx + b$, где $k$ – это угловой коэффициент:

$y = 2x + 12$.

Отсюда угловой коэффициент прямой равен $2$.

Далее найдем угловой коэффициент касательной. Он равен значению производной функции в точке касания. Функция задана уравнением параболы: $y(x) = ax^2 + x - 3$. Точка касания $M(1; a - 2)$ имеет абсциссу $x_0 = 1$.

Найдем производную функции $y(x)$:

$y'(x) = (ax^2 + x - 3)' = 2ax + 1$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$, чтобы найти угловой коэффициент касательной:

$k_{кас} = y'(1) = 2a \cdot 1 + 1 = 2a + 1$.

Так как по условию касательная параллельна прямой, их угловые коэффициенты должны быть равны. Приравняем их:

$2a + 1 = 2$.

Решим полученное уравнение относительно $a$:

$2a = 2 - 1$

$2a = 1$

$a = \frac{1}{2} = 0.5$.

Убедимся, что точка $M(1; a - 2)$ действительно лежит на параболе $y = ax^2 + x - 3$. Подставим ее координаты в уравнение:

$a - 2 = a(1)^2 + 1 - 3$

$a - 2 = a - 2$

Это тождество, верное для любого $a$, что подтверждает корректность постановки задачи.

Ответ: $0.5$.

43.21. Найдите уравнение прямой, проходящей через точку $A(1; 3)$, касающейся графика функции $y = 8\sqrt{x} - 7$ и пересекающей в двух различных точках график функции $y = x^2 + 4x - 1$.

Пусть искомая прямая задается уравнением $y = kx + b$. Поскольку прямая проходит через точку $A(1; 3)$, ее координаты должны удовлетворять уравнению прямой: $3 = k \cdot 1 + b$, откуда $b = 3 - k$. Таким образом, уравнение прямой можно записать в виде $y = kx + 3 - k$. Это уравнение описывает семейство прямых, проходящих через точку $A(1; 3)$ с угловым коэффициентом $k$.

Далее, найдем значение $k$, при котором прямая из этого семейства касается графика функции $f(x) = 8\sqrt{x} - 7$. Условие касания прямой и кривой в точке с абсциссой $x_0$ заключается в выполнении двух условий: равенство значений функций и равенство производной угловому коэффициенту прямой.

Найдем производную функции $f(x)$:$f'(x) = (8\sqrt{x} - 7)' = (8x^{1/2} - 7)' = 8 \cdot \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{4}{\sqrt{x}}$.В точке касания $x_0$ угловой коэффициент прямой равен значению производной: $k = f'(x_0) = \frac{4}{\sqrt{x_0}}$.

Также в точке касания $x_0$ значения ординат прямой и функции совпадают:$kx_0 + 3 - k = 8\sqrt{x_0} - 7$.Подставим в это уравнение выражение для $k$:$\frac{4}{\sqrt{x_0}} \cdot x_0 + 3 - \frac{4}{\sqrt{x_0}} = 8\sqrt{x_0} - 7$.$4\sqrt{x_0} + 3 - \frac{4}{\sqrt{x_0}} = 8\sqrt{x_0} - 7$.

Решим полученное уравнение относительно $\sqrt{x_0}$. Перенесем все члены в одну сторону:$4\sqrt{x_0} + \frac{4}{\sqrt{x_0}} - 10 = 0$.Сделаем замену $t = \sqrt{x_0}$ (при этом $t > 0$, так как $x_0$ находится под корнем и в знаменателе).$4t + \frac{4}{t} - 10 = 0$.Умножим обе части уравнения на $t$ (поскольку $t \ne 0$):$4t^2 - 10t + 4 = 0$.Разделим уравнение на 2:$2t^2 - 5t + 2 = 0$.Найдем корни этого квадратного уравнения. Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$.$t_1 = \frac{5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{1}{2}$,$t_2 = \frac{5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 3}{4} = 2$.

Мы получили два возможных значения для $t$. Найдем соответствующие им угловые коэффициенты $k$:Если $t = \frac{1}{2}$, то $k_1 = \frac{4}{t} = \frac{4}{1/2} = 8$.Если $t = 2$, то $k_2 = \frac{4}{t} = \frac{4}{2} = 2$.

Теперь найдем уравнения двух прямых, которые проходят через точку $A(1; 3)$ и касаются графика $f(x) = 8\sqrt{x} - 7$:1. Для $k=8$: $y = 8x + 3 - 8 \implies y = 8x - 5$.2. Для $k=2$: $y = 2x + 3 - 2 \implies y = 2x + 1$.

Нам осталось проверить, какая из этих двух прямых пересекает график функции $y = x^2 + 4x - 1$ в двух различных точках. Для этого система уравнений, состоящая из уравнения прямой и уравнения параболы, должна иметь два различных решения. Это эквивалентно тому, что соответствующее квадратное уравнение должно иметь положительный дискриминант.

Проверка для прямой $y = 8x - 5$:Приравняем уравнения прямой и параболы:$8x - 5 = x^2 + 4x - 1$.$x^2 + 4x - 8x - 1 + 5 = 0$.$x^2 - 4x + 4 = 0$.Найдем дискриминант: $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 16 - 16 = 0$.Поскольку $D=0$, уравнение имеет одно решение, что означает, что прямая касается параболы и имеет с ней одну общую точку. Это не удовлетворяет условию задачи.

Проверка для прямой $y = 2x + 1$:Приравняем уравнения прямой и параболы:$2x + 1 = x^2 + 4x - 1$.$x^2 + 4x - 2x - 1 - 1 = 0$.$x^2 + 2x - 2 = 0$.Найдем дискриминант: $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 4 + 8 = 12$.Поскольку $D = 12 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Это означает, что прямая пересекает параболу в двух различных точках. Это удовлетворяет условию задачи.

Таким образом, единственная прямая, удовлетворяющая всем заданным условиям, это $y = 2x + 1$.

Ответ: $y = 2x + 1$.