Номер 43.21, страница 82, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

43.21. Найдите уравнение прямой, проходящей через точку $A(1; 3)$, касающейся графика функции $y = 8\sqrt{x} - 7$ и пересекающей в двух различных точках график функции $y = x^2 + 4x - 1$.

Пусть искомая прямая задается уравнением $y = kx + b$. Поскольку прямая проходит через точку $A(1; 3)$, ее координаты должны удовлетворять уравнению прямой: $3 = k \cdot 1 + b$, откуда $b = 3 - k$. Таким образом, уравнение прямой можно записать в виде $y = kx + 3 - k$. Это уравнение описывает семейство прямых, проходящих через точку $A(1; 3)$ с угловым коэффициентом $k$.

Далее, найдем значение $k$, при котором прямая из этого семейства касается графика функции $f(x) = 8\sqrt{x} - 7$. Условие касания прямой и кривой в точке с абсциссой $x_0$ заключается в выполнении двух условий: равенство значений функций и равенство производной угловому коэффициенту прямой.

Найдем производную функции $f(x)$:$f'(x) = (8\sqrt{x} - 7)' = (8x^{1/2} - 7)' = 8 \cdot \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{4}{\sqrt{x}}$.В точке касания $x_0$ угловой коэффициент прямой равен значению производной: $k = f'(x_0) = \frac{4}{\sqrt{x_0}}$.

Также в точке касания $x_0$ значения ординат прямой и функции совпадают:$kx_0 + 3 - k = 8\sqrt{x_0} - 7$.Подставим в это уравнение выражение для $k$:$\frac{4}{\sqrt{x_0}} \cdot x_0 + 3 - \frac{4}{\sqrt{x_0}} = 8\sqrt{x_0} - 7$.$4\sqrt{x_0} + 3 - \frac{4}{\sqrt{x_0}} = 8\sqrt{x_0} - 7$.

Решим полученное уравнение относительно $\sqrt{x_0}$. Перенесем все члены в одну сторону:$4\sqrt{x_0} + \frac{4}{\sqrt{x_0}} - 10 = 0$.Сделаем замену $t = \sqrt{x_0}$ (при этом $t > 0$, так как $x_0$ находится под корнем и в знаменателе).$4t + \frac{4}{t} - 10 = 0$.Умножим обе части уравнения на $t$ (поскольку $t \ne 0$):$4t^2 - 10t + 4 = 0$.Разделим уравнение на 2:$2t^2 - 5t + 2 = 0$.Найдем корни этого квадратного уравнения. Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$.$t_1 = \frac{5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{1}{2}$,$t_2 = \frac{5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 3}{4} = 2$.

Мы получили два возможных значения для $t$. Найдем соответствующие им угловые коэффициенты $k$:Если $t = \frac{1}{2}$, то $k_1 = \frac{4}{t} = \frac{4}{1/2} = 8$.Если $t = 2$, то $k_2 = \frac{4}{t} = \frac{4}{2} = 2$.

Теперь найдем уравнения двух прямых, которые проходят через точку $A(1; 3)$ и касаются графика $f(x) = 8\sqrt{x} - 7$:1. Для $k=8$: $y = 8x + 3 - 8 \implies y = 8x - 5$.2. Для $k=2$: $y = 2x + 3 - 2 \implies y = 2x + 1$.

Нам осталось проверить, какая из этих двух прямых пересекает график функции $y = x^2 + 4x - 1$ в двух различных точках. Для этого система уравнений, состоящая из уравнения прямой и уравнения параболы, должна иметь два различных решения. Это эквивалентно тому, что соответствующее квадратное уравнение должно иметь положительный дискриминант.

Проверка для прямой $y = 8x - 5$:Приравняем уравнения прямой и параболы:$8x - 5 = x^2 + 4x - 1$.$x^2 + 4x - 8x - 1 + 5 = 0$.$x^2 - 4x + 4 = 0$.Найдем дискриминант: $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 16 - 16 = 0$.Поскольку $D=0$, уравнение имеет одно решение, что означает, что прямая касается параболы и имеет с ней одну общую точку. Это не удовлетворяет условию задачи.

Проверка для прямой $y = 2x + 1$:Приравняем уравнения прямой и параболы:$2x + 1 = x^2 + 4x - 1$.$x^2 + 4x - 2x - 1 - 1 = 0$.$x^2 + 2x - 2 = 0$.Найдем дискриминант: $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 4 + 8 = 12$.Поскольку $D = 12 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Это означает, что прямая пересекает параболу в двух различных точках. Это удовлетворяет условию задачи.

Таким образом, единственная прямая, удовлетворяющая всем заданным условиям, это $y = 2x + 1$.

Ответ: $y = 2x + 1$.